回歸解題本質 找回迷路的原點

牛新榮

摘要：數學教學離不開解決問題，解決數學問題常常面臨著解題，在實際教學中長期形成的整齊劃一的操練、固定套路的模仿，重思路分析、解題過程書寫、方法的累加堆放，而輕解題后的反思總結、歸納概括、思想方法的提煉、學科素養的滲透等，不利于學生發現解題的價值所在，不利于學生對數學本質的發現，更不利于學生數學素養的自主養成和后天培養。回歸解題教學的本質要求，發現解題教學中迷失的路徑和位置，找回正確的解題原點和方向是當務之急、迫在眉睫的事情。

關鍵詞：解題本質? 回歸原點? 滲透素養

從安徽蚌埠到上海嘉定再到廣西桂林，一路追隨和學習了章建躍老師的核心素養統領下的數學教學變革。審視我親眼觀察到的義務教育階段下的數學課堂教學，發現有許多教學環節的設計脫離了核心素養培養的軌道，如解題教學環節，大家看到最多的課堂現象依然是教師在做“單口相聲”的表演，自我陶醉式的解題過程分析，所謂規范統一的解題格式、書寫要求，解題方法（特別是技巧性方法）的堆放疊加;甚至出現以班為單位整齊劃一的大量重復的習題訓練，仔細想來單調的、整齊劃一的操練只會培養個體在特定條件下按照既定程序做出套路式反應，練得越多越會變得自動化，進而形成無意識的解題習慣性動作。但是蘊含在其中的理性思考成分很少，數學學科的思維價值得不到充分體現，而且越是自動化，改變和遷移就變得越發困難，很顯然，上述現象的出現暴露了教者在解題的森林里迷了路。正確認識解題的數學本質和價值原點，通過正確方向的確立和合理方式的運用來提升數學解題素養進而達到數學育人之最終目標才是核心素養落地的正確選擇。

一、讓生活情境回歸它應有的抽象化過程

日常觀摩教學中，常看到教師通過創設情境來引出問題，讓學生感知數學來源于生活，引發學生的興趣和解決問題的欲望，這一意圖和價值值得肯定。但是也發現了一個常見的現象，教師引領學生都進入解題過程了，仍然是情境中的名詞不離口，導致生活中的問題不能完全數學化，看似數學來源于生活，生活中有數學，實質缺少將生活中的問題抽象成數學問題的過程，不利于數學核心素養之一——數學抽象能力的培養。例如，一位老師在講線段的基本事實“兩點之間線段最短”時，先創設情境出示兩個地方被障礙物阻擋，問題設置為“如何修路，才能從一個地方最快到達另一個地方？”，假設速度一定，“最快”表示時間最少，意味著路程最短，把兩個地方抽象為數學中的“點”，上述問題便轉化為數學中如何尋找兩個點之間最短路徑問題，這位老師在課堂教學一開始就說“如何設置路線才能確保兩個地方路線最短”，把連接的線段畫出后仍然在說“兩個地方線段最短”，看似教學語言的隨意，實際上是既沒有將生活問題抽象為數學問題，更沒有抽象為物理問題，失去了數學抽象能力培養的機會，也失去了學科間聯系的時機。

二、讓解題后的歸納概括理性回歸

數學離不開解題，我們一線教師在教學中形成了重視解題前的分析引導和解題中格式書寫以及解題后的變式訓練，但往往忽視了解題后的歸納概括，歸納思路是如何形成的、思想方法是如何運用的、解題中運用了哪些數學思想方法和數學模型等。比如我在給七年級上學期的學生講了一道幾何題。

題目：將長為10 cm的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個五邊形，問其中最長的一段的取值范圍。

得出答案后，我便設置了如下問題：仔細思考一下，你能發現解決這個問題我們運用了哪些數學模型？

生1表示運用了“兩點之間線段最短”這個幾何模型，分析如下：把最長線段的兩個端點拿出來，連接兩點成線段，其余四條邊可認為是連接兩點的折線，依據線段的基本事實即可。

生2表示運用了“不等式”這個代數模型，分析如下：假設最長邊長為x cm，則其余四條邊長之和為（10-x） cm，依據上述幾何模型可知x<10-x，解不等式可得最長邊的上限取值范圍。

生3表示運用了“正五邊形”這個幾何模型，分析如下：借用特殊和一般的關系，想到了五邊形中的最特殊情形——正五邊形，而周長為10 cm的正五邊形的邊長是2 cm，對于一般的五邊形，其最長邊長不會小于2 cm，從而找到最長邊的下限取值范圍。此時，另一學生補充說明：只要是邊長相等的五邊形即可，不一定就是正五邊形。

生4表示運用了“平均數”這個數據分析模型，分析如下：周長為10 cm，如果平均分的話，每一條邊長為2 cm，最長邊長不會低于平均數，就像班級中的數學最高分不會低于我們班級的數學平均分一樣。

上述問題的設置無疑引發了學生的思考，既思考出數學思想方法，又思考出數學學科核心素養之一——數學建模。數學解題的價值得到本質體現和原點回歸。

三、讓合情推理回歸合理的地位

小學時學過一首王安石的詩，全文如下：

梅 花

墻角數枝梅，凌寒獨自開。

遙知不是雪，為有暗香來。

文中“遙知不是雪，為有暗香來。”不正是數學中合情推理的體現嗎？實際上生活中運用合情推理的現象不少于演繹推理，但在日常教學中初中數學老師往往較多地關注幾何中的演繹推理和代數中的歸納推理，對于合情推理關注很少，發展學生的合情推理能力，既是義務教育課程標準的要求，又是發展學生數學核心素養的體現。

下面是我在培養學生合情推理能力時的兩個例題。

題目1：如果1+2+3+…+n的計算結果恰巧是在2011的右邊添上3個數字，問正整數n是多少？

解：設這三個數為abc

由題意得：n（n+1）2=2011000+abc

∴n（n+1）=4022000+2abc

因為0

∴4022000<4022000+2abc<4024000

即：4022000

至此問題已演變為關于n的一元二次不等式，超出七年級學生所學的知識范圍，如果利用合情推理，把n（n+1）理解為兩個連續正整數之積，把4022000近似為4000000，不難定位n為2000，對于2000×2000，若一個因數增加1，結果便增加2000，從4000000到4022000，一個因數要增加到11，考慮到n（n+1）近似于同步增加的因素，可先考慮增加5或6……這樣便找到正整數n為2005。

題目2：如何說明“直徑是最長的弦”？

生1：過圓上一點作一條直徑和一條非直徑的弦，連接圓心和非直徑弦的另一端點，利用三角形三邊關系證明。

生2：過圓上一點作一條直徑和一條非直徑的弦，過圓心向非直徑的弦作垂線段，利用斜邊大于直角邊，2倍斜邊等于直徑，2倍直角邊等于非直徑弦長。

從發展學生合情推理能力的角度，可引導學生發現弦長和弦心距的關系，得出弦心距為0時弦長最長，或者從圓的對稱性和反證法來得出直徑是最長的弦的結論。

教師教學中有意識設置類似的問題，合理引導，讓合情推理回歸合理的地位，發展學生合情推理的能力便會自然形成。

四、讓解題回歸到思維品質的培養和塑造

有這樣一道經典問題：兩個居民小區，中間一條道路連接，現在在路邊建一個超市，你建議建在哪里？

生1：把兩個小區抽象為兩個點，兩個小區之間連接的道路抽象為一條線段，超市應建在線段中點所在的位置。（這位學生既學會運用線段中點這個幾何模型，又考慮到了公平原則。）

生2：我同意生1同學的建模思想和公平原則的運用，但是為了更好地體現公平原則，我認為應考慮兩個小區的實際居民人數，依據人數的比例確立超市的位置，這樣既公平又人性化。（這位同學受權數對平均數的影響，并有一定的創新思維和應用意識。）

生3：我認為以上兩個同學的說法有其合理性的一面，但還有其要優化的一面，還應設計調查問卷表，調查兩個小區居民到超市的情況，收集數據并加以整理，依據數據信息進行權數比對來確定超市所在的位置。（這位同學把數據分析的觀念與幾何知識靈活結合，用于分析和解決實際問題。）

老師在評價上述學生的回答時，不應以客觀唯一的答案標準去衡量，而應站在學生思維品質的培養和塑造的角度去考慮，真正讓解題回歸到素養的滲透這一正確軌道上來。

五、讓解題回歸到理解概念、鞏固知識、發展能力的價值要求上來

有人說：“數學真正是玩概念而不是玩技巧”，我認為所謂玩概念，就是在理解概念中學會把握事物的本質特征，在鞏固概念中培養思維品質，在靈活運用概念中培養能力、發展應用意識和創新能力。玩概念不是死摳字眼，也不是形式訓練和機械模仿。

杜威在《民主主義與教育》中講道：“形式訓練……理論似乎抄了近路，它把某些能力視為指導工作直接而自覺的目標，而不只視為成長的結果。”在各地熱議核心素養的背景下，不妨讓我們靜下心來冷靜思考數學解題的本質何在、數學素養的培養價值何在。是否關注潮流，彰顯你的心理年齡;如何應對思潮，彰顯你的教學定力。回歸解題教學的本質要求，發現解題教學中迷失的路徑和位置，找回正確的解題原點和方向是當務之急、迫在眉睫的事情。本人僅僅是拋磚引玉，引發數學同人審視思考而已。

參考文獻：

[1]章建躍.數學核心素養統領下的數學教學變革[J].數學通報，2017（04）.

[2]李祥立.中學數學教學研究[M].北京：中國社會科學出版社，2016.

[3]史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.