哥德爾不完備定理的不可判定性

王海東

【摘要】如果將無意義對角化語句視為被證明的對角化語句，哥德爾不完備定理在一階理論中就是成立的.如果將有意義對角化語句視為被證明的對角化語句，哥德爾不完備定理在一階理論中就是不成立的.由于哥德爾不完備定理在一階理論中既是成立的又是不成立的，所以哥德爾不完備定理就變成了一個不可判定的一階理論.

【關鍵詞】哥德爾不完備定理;哥德爾完備性定理;哥德爾對角化語句構造定理

哥德爾不完備定理包括哥德爾第一不完備定理和哥德爾第二不完備定理.哥德爾第一不完備定理，是指包含二元謂語的一階理論存在著一個不可判定的對角化語句.哥德爾第二不完備定理，是指任何一種具有相容性的一階理論都不可能證明自身的相容性.由于哥德爾第二不完備定理是從哥德爾第一不完備定理中推導出來的，所以我們可以將哥德爾第一不完備定理視為哥德爾不完備定理的理論依據.

那么，哥德爾第一不完備定理是否成立呢？顯然，要想知道哥德爾第一不完備定理是否成立，就必須知道對角化語句的構造方法.

那么，應當用什么方法構造對角化語句呢？顯然，要想知道應當用什么方法構造對角化語句，就必須知道個體變元的哥德爾數.

那么，什么是個體變元的哥德爾數呢？從哥德爾數的定義來看，個體變元的哥德爾數就是用大于13的質數指數對所有個體變元進行編碼的哥德爾數.這種哥德爾數在構造對角化語句的過程中具有一個極其重要的作用.這個作用就是將對角化語句所涉及的對角替換有序對從自相關有序對轉變成為非自相關有序對.對角替換有序對就是由兩個可以進行對角替換的數學對象構成的有序對.自相關有序對就是將兩個相同的數學對象視為兩個可以進行對角替換的數學對象的對角替換有序對.非自相關有序對就是將兩個不同的數學對象視為兩個可以進行對角替換的數學對象的對角替換有序對.

從這個公式來看，對角化語句具有兩種構造方法.第一種構造方法是自相關構造法.自相關構造法就是用某個個體變元或用某個與之相對應的哥德爾數的自相關有序對構造對角化語句.第二種構造方法是非自相關構造法.非自相關構造法就是用某個個體變元或用某個與之相對應的哥德爾數的非自相關有序對構造的對角化語句.

由于對角化語句具有兩種構造方法，所以對角化語句也具有兩種表述方式.第一種表述方式是無意義對角化語句.無意義對角化語句就是用自相關構造法構造出來的、其數學對象不會在推導過程中發生任何變化的對角化語句.第二種表述方式是有意義對角化語句.有意義對角化語句就是用非自相關構造法構造出來的、其數學對象將會在推導過程中發生一定變化的對角化語句.

令A1代表無意義對角化語句，無意義對角化語句可以用以下公式表示：

令A2代表有意義對角化語句，有意義對角化語句可以用以下公式表示：

由于對角化語句具有兩種表述方式，所以我們可以推出一個十分重要的數學定理：在個體變元與哥德爾數一一對應的條件下構造出來的對角化語句，既可以被構造成為一種無意義對角化語句，又可以被構造成為一種有意義對角化語句.這個數學定理就是哥德爾對角化語句構造定理.

令A代表對角化語句，我們可以用以下公式證明哥德爾對角化語句構造定理：

證畢.

從哥德爾對角化語句構造定理來看，任何一個對角化語句都可以構成一個對角替換有序對.這個對角替換有序對就是無意義對角化語句和有意義對角化語句的對角替換有序對.利用這個對角替換有序對可以構造一個新的對角化語句.這個新的對角化語句就是對角化語句的對角化語句.

令A′代表對角化語句的對角化語句，對角化語句的對角化語句可以用以下公式表示：

從這個公式來看，對角化語句的對角化語句同樣具有兩種構造方法.第一種構造方法是無意義構造法.無意義構造法就是用無意義對角化語句替換有意義對角化語句的對角替換有序對構造對角化語句的對角化語句.第二種構造方法是有意義構造法.有意義構造法就是用有意義對角化語句替換無意義對角化語句的對角替換有序對構造對角化語句的對角化語句.

由于對角化語句的對角化語句同樣具有兩種構造方法，所以對角化語句的對角化語句也同樣具有兩種表述方式.第一種表述方式是無意義的對角化語句的對角化語句.無意義的對角化語句的對角化語句就是用無意義構造法構造出來的、將無意義對角化語句視為表述方式的對角化語句的對角化語句.第二種表述方式是有意義的對角化語句的對角化語句.有意義的對角化語句的對角化語句就是用有意義構造法構造出來的、將有意義對角化語句視為表述方式的對角化語句的對角化語句.

由于對角化語句的對角化語句同樣具有兩種表述方式，所以對角化語句的對角化語句就必然會產生兩個不同結論.從無意義的對角化語句的對角化語句來看，包含二元謂語的一階理論肯定存在著一個不可判定的對角化語句.因為，這個對角化語句的數學對象不會在推導過程中發生任何變化.從有意義的對角化語句的對角化語句來看，包含二元謂語的一階理論肯定不存在一個不可判定的對角化語句.因為，這個對角化語句的數學對象將會在推導過程中發生一定變化.

綜上所述，令Z1代表一階理論，A（x）代表根據一階理論提供的某個個體變元或哥德爾數構造的一個對角化語句，B（A（x））代表能夠證明這個對角化語句是否符合一階理論的一個語句，我們可以用兩種方法證明哥德爾第一不完備定理：一種方法是無意義對角化語句證明法，另一種方法是有意義對角化語句證明法.

令A（x）=A1，無意義對角化語句證明法：假定Z1A（x），我們可以根據哥德爾對角化語句構造定理推出Z1B（A（x））.假定Z1A（x），我們可以根據哥德爾對角化語句構造定理推出Z1B（A（x））.由于A（x）的一階理論假定和B（A（x））的一階理論結論是不一致的，所以A（x）在一階理論中是一個不可判定的對角化語句.由于A（x）在一階理論中是一個不可判定的對角化語句，所以哥德爾第一不完備定理在一階理論中是成立的.證畢.

令A（x）=A2，有意義對角化語句證明法：假定Z1A（x），我們可以根據哥德爾對角化語句構造定理推出Z1B（A（x））.假定Z1A（x），我們可以根據哥德爾對角化語句構造定理推出Z1B（A（x））.由于A（x）的一階理論假定和B（A（x））的一階理論結論是一致的，所以A（x）在一階理論中不是一個不可判定的對角化語句.由于A（x）在一階理論中不是一個不可判定的對角化語句，所以哥德爾第一不完備定理在一階理論中是不成立的.證畢.

由此可見，只要在一階理論中引進哥德爾對角化語句構造定理，哥德爾第一不完備定理就會產生一個邏輯矛盾.這個邏輯矛盾就是：如果將無意義對角化語句視為被證明的對角化語句，哥德爾第一不完備定理在一階理論中就是成立的.如果將有意義對角化語句視為被證明的對角化語句，哥德爾第一不完備定理在一階理論中就是不成立的.由于哥德爾第一不完備定理在一階理論中既是成立的又是不成立的，所以哥德爾第一不完備定理就變成了一個不可判定的一階理論.

令G1代表哥德爾第一不完備定理，我們可以用以下方法來證明哥德爾第一不完備定理的不可判定性：

由于哥德爾第一不完備定理是哥德爾不完備定理的理論依據，所以這個證明也同時證明了哥德爾不完備定理的不可判定性.

那么，哥德爾不完備定理的不可判定性從何而來呢？顯然，要想知道哥德爾不完備定理的不可判定性從何而來，就必須知道哥德爾不完備定理與哥德爾完備性定理的理論聯系.

哥德爾完備性定理指出：一階理論是完備的當且僅當它能夠為自己的任何一個語句都提供一個符合自己要求的模型.

令L1代表一階理論的一個語句，M1代表一階理論的一個模型，哥德爾完備性定理可以用以下公式表示：

從哥德爾完備性定理來看，哥德爾不完備定理的不可判定性來自無模型.只要將哥德爾對角化語句構造定理視為一個模型，我們就可以消除哥德爾第一不完備定理的不可判定性.只要消除了哥德爾第一不完備定理的不可判定性，我們就可以消除哥德爾不完備定理的不可判定性.在消除了哥德爾不完備定理的不可判定性之后，哥德爾不完備定理就只能適用于無意義對角化語句而不能適用于有意義對角化語句了.這樣一來，哥德爾不完備定理就不再是一個具有普適性的一階理論了.我們就有可能建立起一個具有完備性的一階理論了.

令G0代表哥德爾對角化語句構造定理，我們可以用以下方法來證明這個結論：

【參考文獻】

[1]王元，文蘭，陳木法.數學大辭典[M].北京：科學出版社，2017.

[2]馮琦著.集合論導引[M].北京：科學出版社，2019.

[3]石純一.數理邏輯與集合論[M].北京：清華大學出版社，2000.

[4]汪芳庭.數理邏輯[M].北京：中國科技大學出版社，2010.

[5]雷蒙德，斯穆里安.哥德爾不完全定理[M].余俊偉，譯.北京：科學出版社，2019.

[6]結城浩.數學女孩[M].丁靈，譯.北京：人民郵電出版社，2017.