最小二乘法在數(shù)學建模中的應用

吳小平

摘要：如何利用數(shù)學建模解決現(xiàn)實問題是將所學知識應用于實際的關(guān)鍵，通常需要將問題進行數(shù)據(jù)離散化處理，然后根據(jù)實際問題選擇不同的數(shù)學分析方法建立合適的函數(shù)關(guān)系。最小二乘法就是通過誤差平方最小時產(chǎn)生的限定條件，從而得到最佳擬合曲線的方法。本文通過最小二乘法的學習，探究如何利用實際問題建立數(shù)學模型，引導學生將理論與實踐相結(jié)合。

關(guān)鍵詞：最小二乘法? ?數(shù)學建模? ?函數(shù)關(guān)系

數(shù)學建模是解決實際問題的有效方法，數(shù)學建模需要將問題抽象化，建立函數(shù)關(guān)系式。首先需要確定的是所假設(shè)的條件，通過合適的數(shù)學方法對不同變量之間的關(guān)系進行描述，選擇適當?shù)臄?shù)學工具進行問題的分析與測試，從而得到相應的數(shù)據(jù)，然后利用建立的數(shù)學模型進行計算，將得到的結(jié)果進一步分析。因此，學生在進行最小二乘法學習時要明確其原理，將模型理論與實際情形進行對比，使得到的結(jié)果具有準確性、合理性、適用性。一直以來，數(shù)學作為一種實用性學科在我們?nèi)粘Ｉ钆c生產(chǎn)中都發(fā)揮著舉足輕重的作用，并與其他學科之間存在密切聯(lián)系，促進其他學科發(fā)展。

一、數(shù)學建模理論與應用

模型的概念是對原型的抽象描述，而數(shù)學建模實際上就是將生活中的實際問題抽象化，然后根據(jù)所獲的數(shù)據(jù)解決生產(chǎn)生活中的實際問題。其根本目的是將復雜問題簡單化，將復雜的實際情況抽象為合理的數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學建模既是數(shù)學與實際問題之間溝通的橋梁，也是數(shù)學在各個學科領(lǐng)域應用較為廣泛的工具。如解決生活生產(chǎn)、消費休閑等實際問題時需要從定量的角度進行分析，需要深入觀察所研究問題的固有特征、信息資料，然后針對實際問題進行抽象化，再對所得數(shù)據(jù)進行分析，引入相關(guān)數(shù)學符號、變量、參數(shù)等，通過數(shù)學語言描述實際問題，將結(jié)果反饋到實際問題中總結(jié)規(guī)律。

二、數(shù)學建模與最小二乘法

隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學分析方法的應用已經(jīng)不僅僅局限在物理、化學等自然學科，還在經(jīng)濟、管理等社會學科中得到了廣泛的應用，數(shù)學知識在越來越多的領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，其中數(shù)學建模就是數(shù)學分析方法中比較常見的一種。數(shù)學建模是將現(xiàn)實問題通過細致的觀察與分析，進行深入的研究與探討。數(shù)據(jù)與曲線擬合是模型參數(shù)估計、實驗誤差分析的重要方法，而最小二乘法是解決以上問題的有效方法之一。從本質(zhì)上來說，最小二乘法是一種近似求解方法，首先就是大量觀察實際事件，然后對事件結(jié)果進行預測，從而獲得最佳估計或最可能發(fā)生的結(jié)果。因此，在教學最小二乘法時教師要為學生提供有效的教學情境，建立數(shù)學模型，激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生培養(yǎng)良好的思維習慣和抽象概括能力。

在解決實際問題的過程中，學生經(jīng)常會遇到給定兩個變量，根據(jù)相關(guān)實驗數(shù)據(jù)尋找兩個變量之間的擬合函數(shù)的問題，學生可以通過該函數(shù)對類似情況做出相應的判斷，對實驗數(shù)據(jù)進行歸納整理，總結(jié)規(guī)律。在解決類似問題的時候，讓擬合函數(shù)兩個變量的值偏差平方和最小，對實驗數(shù)據(jù)進行擬合所得到的最佳擬合數(shù)據(jù)方法被稱為最小二乘法。

三、利用最小二乘法求線性回歸方程的步驟

最小二乘法主要用來求解兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的回歸方程，該方法適用于求解與線性回歸方程相關(guān)的問題，求解回歸直線方程并應用它分析預報變量的取值等，解決此類問題一般分為以下幾個步驟：第一步，分析數(shù)據(jù)，即分析相關(guān)數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r或利用散點圖判斷兩個變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，若兩個變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系，則需要將變量轉(zhuǎn)化成線性相關(guān)關(guān)系。第二步，建立模型，根據(jù)題意確定兩個變量，結(jié)合數(shù)據(jù)分析的結(jié)果，建立回歸模型。第三步，確定參數(shù)，利用回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計公式求得b、a的值，從而確定線性回歸方程。第四步，求預測值，將已知的解釋變量的值代入線性回歸方程y=bx+a中即可求得y的估計值。但是在回歸直線方程的求解與應用中，要注意兩個方面：一是求解回歸直線方程時，利用樣本中心點一定在回歸直線上這一特點來求解相關(guān)參數(shù)的值。二是在回歸直線方程的應用中，利用線性回歸方程求得的數(shù)值是一個估計值，而不是一個準確值，可以用它來預測結(jié)果。

四、最小二乘法應用

在“最小二乘估計”教學中，所探究的問題是如何尋找一條直線可以更加合理地描述散點圖兩個變量之間的線性關(guān)系，通過最小二乘法可以尋找到這條線，然后根據(jù)所得到的直線預測實際結(jié)果，所以在教學中教師要創(chuàng)設(shè)情境，通過實際問題引導學生展開聯(lián)想，通過統(tǒng)計分析建立數(shù)學模型。如分析身高與鞋碼之間存在的線性相關(guān)關(guān)系時，教師可在班上現(xiàn)場隨機收集部分學生的鞋碼和身高數(shù)據(jù)，組織學生進行討論與比較，不同的學生選取的數(shù)據(jù)是不同的，擬合的線性方程也是不同的，然后通過所獲得真實的統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出散點圖，可以看到變化趨勢，再由最小二乘法估計問題最優(yōu)參數(shù)。這可以讓學生體會到，在實際應用中即使是同一個問題，選取相同的樣本數(shù)，由于選取的樣本的隨機性決定了不同的人擬合出來的線性方程可能不相同，這是可能的，也是允許的。在教學中，教師要充分調(diào)動學生的學習積極性，不斷提高學生獨立思考的能力。

當研究的問題是非線性時，比如在數(shù)學建模課程中常見的人口模型、汽車剎車距離模型、傳染病模型等，那么在解決這類問題時往往需要分析實際問題，對其加以處理之后建立模型，部分非線性問題可以轉(zhuǎn)化為線性問題處理。如果通過最小二乘法處理的數(shù)據(jù)計算量較大時，可以利用計算器輔助完成計算。同時，在實際計算中，采用相同方法最終所得到的計算結(jié)果可能存在一定的差異，因此為了保證預測結(jié)果更加可靠，選取的樣本要有代表性，并且所選擇的樣本容量要盡可能大，這樣最終所得到的數(shù)據(jù)才更有意義。

綜上所述，采用數(shù)學建模并將其應用于最小二乘法中是解決實際問題的有力手段。數(shù)學建?？梢詫嶋H生活中的復雜問題簡單化、數(shù)據(jù)化，利用數(shù)學中常用的公式、參數(shù)、變量等數(shù)學語言描述實際生活，并通過最小二乘法擬合線性、非線性關(guān)系，可以高效地解決實際問題。

參考文獻：

[1]陸學政， 顧朝陽.“最小二乘法公式推導”教學的“惑”與“獲”[J]. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2012（8）：9-11.

[2]鄭小洋， 魏正元.最小二乘法的原理以及在數(shù)學建模課程教學中的作用[J]. 課程教育研究， 2015（15）：2.◆（作者單位：江西師范大學附屬中學）