高中數學培養學生數學抽象素養的策略探究

喬爽麗

數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學，其學科本質是讓學生理解數學概念，把握數學思想，感悟數學思維，追求數學精神。數學學科的核心素養是高中階段學生育人價值的集中體現，是學生在中學階段需要的必備品格和關鍵能力。在新課標要求下，數學抽象在高中數學六大核心素養中有重要地位。

高中數學抽象素養的主要任務是：引導學生用數學的眼光看待生產生活、社會中的活動經驗和具體問題，運用數學的知識和方法進行思考，把握事物的數學本質，能高度概括、表達準確地抽象出數學問題，用數學語言或者數學符號表述出來并加以解決，逐步養成理性思考問題的習慣，從而更好解決問題。

函數是描述變量間依賴關系的重要數學模型。用集合和對應的語言更清楚地表達函數的概念，有助于我們正確認識函數、理解函數和運用函數解決問題。函數概念是新人教A版數學必修第一冊第三章“函數的概念與性質”中第一節。本節課主要蘊含了數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象四大核心素養，是高中學習函數的起始課。作為中學階段數學課程的一條主線，函數內容的安排體現了數學概念抽象的層次性。第一個層次，作為第一冊第三章內容，它是對第一章集合內容的鞏固和發展。第二個層次，高中函數學習具有系統性，與后面三角函數、數列、方程、不等式、導數、解析幾何等內容存在密切聯系。現代，函數的應用已經滲透到數學、計算機科學、自然科學乃至人文科學的各個領域中了。在計算機程序語言中，函數概念有了很大拓展并得到了充分應用。特別是在某些人工智能語言中，幾乎所有的操作都用函數來表示。因此，在函數概念教學中加強學生數學抽象素養的培養，是高中階段數學學科的必然要求。

一、情境設計，抽象數學問題

教科書60頁首先回顧了初中階段學生學習的函數的定義。然后引出情境設計：“正方形的周長l與邊長x的對應關系式是l=4x，而且對于每一個確定的x都有唯一的l與之對應，所以l是x的函數. 此函數與正比例函數y=4x是否相同？又如，你能用初中學過的函數知識判斷y=x與y=x2x是否相同嗎？”如果學生要回答這些問題，需要對函數的概念再認識。

通過適當的問題設置，讓學生體會到，由于知識儲備有限，利用初中所學函數定義回答這些問題有困難，需要對函數概念有更高層次的解釋和理解. 需要從根本上揭示函數的本質。重新從集合和對應的語言更清楚來表達函數的概念。

二、歸納探索，抽象函數概念

新人教A版數學必修第一冊教科書60-62頁，問題1是運動中的路程問題，以解析式呈現。通過問題設置激發學生認知上的沖突，發現初中函數概念“變量說”的不嚴謹、不完整性，使學生體會用集合語言和對應關系重新定義函數的必要性。在教師的引導下，給出了用更高層次的數學語言抽象具體問題中對應關系的示范。為后續三個實例做鋪墊，在變化的情境中引導學生用同樣的語言描述相應的變量關系和規律，從而形成歸納、概括概念的素材。

第2個問題屬于經濟生活問題，教科書中是用解析式呈現。通過問題2，學生能鍛煉抽象概括能力，知道函數的三個要素能完全確定一個函數。

第3個問題屬于自然界情境問題，教科書中是用圖像呈現的。學生在理解圖像呈現的函數時會出現困難，特別是當函數值的集合和函數值所在的集合不一樣時，從而增強用抽象符號表示函數的必要性。

第4個問題屬于生活問題情境，教科書中是用表格呈現的。使學生注意到函數的對應關系不僅可以用解析式、圖像表示，還可以用表格表示，為抽象出函數的對應關系f做鋪墊，讓學生進一步體會到函數的三個要素的意義，也再次讓學生體會函數值的集合和函數值所在的集合是不同的。

通過上述問題1～問題4中的函數的共同特征，回顧用集合與對應語言刻畫函數的過程，引導學生以表1的形式抽象出函數的本質特征。

引導學生對4個問題歸納、概括，從而得出函數的3點共同特征：①都有兩個非空的實數集，我們用A，B來表示;②都有一個對應關系;③雖然4個問題中對應關系的表示方法不同，但都有一個共同的特征：一個數集到另一個數集的一種確定的對應關系。對于數集A中的任意一個數x，按照對應關系，在數集B中都有唯一確定的數y和它對應。

由上面的共同特征，抽象出函數的一般性定義。強調函數的對應關系不僅可以用解析式、圖像表示，還可以用表格表示，在高中數學定義中，我們引進用抽象的符號 f 來表示對應關系。

三、巧用數學抽象符號y=f（x），理解數學抽象內涵

在認識了函數自變量與函數值這兩個要素后，如何理解函數的對應關系成為很關鍵的教學問題。在教學中，引導學生通過四個問題的分析，在解析式、圖像和表格中認識并抽象出函數的對應關系。對于數學抽象符號y=f（x），很多學生不理解函數符號的意義。1797年，法國數學家拉格朗日指出：“我們用字母 f或者F放在一個變量前面以表示該變量的一個函數，即表示依賴于這個量的另一個量，它按一種給定的規律隨那個變量一起變化”。當自變量為x時，f（x）表示對應的唯一確定的函數值，并不表示f與x的乘積。此處的抽象符號f實際上是一種對應關系，在題目中可以是解析式，也可以是圖像或者圖表來呈現。

四、類比聯想，促進學生數學抽象素養

用這個新的函數定義，引導學生重新認識初中學過的三類函數，如表2所示。

讓學生用新的語言描述學過的函數，既可以熟悉新概念，又能和舊的概念做比較，感受“集合—對應說”函數概念的嚴謹性，從而促進數學抽象素養培養。

五、概括演練，提升學生的數學抽象

例題：試構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y=x（10-x）來描述。

我們把y=x（10-x）看成一個二次函數，那么它的定義域就是R，值域是B={yy≤25}。對應關系f把R中的任意一個數x對應到B中唯一確定的數x（10-x）。

如果把對x的取值范圍作出限制，例如x∈{x0

構建問題情境，解析函數y=x（10-x）的對應關系，這是一個從抽象到具體的過程，也可以看成是不同表示方式之間的相互轉換，可以使學生體會函數的三要素，以及一個一般抽象函數表達式的廣發適用性，從而提升學生的數學抽象思維 。

責任編輯黃博彥