風浪聯合作用下半潛式平臺運動響應分析

夏恒 顧倩 段海娟 何軍

摘要 提出風浪聯合作用下深海半潛式生活平臺隨機運動響應的分析方法。首先，基于50對現場實測風速和波浪數據的相干函數分析，提出深海脈動風速和波浪過程的相干函數模型及其參數估計方法，并由平均樣本相干函數估計出模型參數;其次，由脈動風速和波浪的互譜密度矩陣生成深海風速和波浪的隨機樣本，建立基于風、浪時歷輸入的SeSam軟件分析技術，計算平臺的隨機運動響應樣本;最后，利用移位廣義對數分布（Shift Generalized Lognormal Distribution，SGLD）模型和Gumbel Copula，建立平臺隨機運動響應聯合極值分布的估計方法。實際平臺的隨機風和浪運動響應分析，驗證了本文提出方法的有效性。本文的研究對深海半潛式生活平臺的安全性和可靠性評估具有一定的參考價值。

關 鍵 詞 深海半潛式生活平臺;風浪聯合作用;風和浪相干性;SeSam軟件;平臺運動響應

中圖分類號 U674.381? ? ?文獻標志碼 A

Vibration response analysis of deep-sea semi-submersible platforms under the combined excitation of wind and wave

XIA Heng，GU Qian，DUAN Haiguan，HE Jun

（College of Naval Architecture and Civil Engineering， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China）

Abstract This paper presents an analysis method of the random vibration response of a deep-sea semi-submersible platform under the combined excitation of wind and wave. Firstly， based on the analysis of the coherence function of 50 pairs of field measured wind speed and wave data， the coherence function model of deep-sea fluctuating wind speed and wave process and its parameter estimation method are proposed， and the model parameters are estimated from the average sample coherence function; secondly， the random samples of deep-sea wind speed and wave are generated from the cross spectral density matrix of fluctuating wind speed and wave， establishing the SeSam analysis technology based on wind speed and wave input， calculating platform vibration response. Finally， using the shift generalized lognormal distribution （SGLD） model and Gumbel Copula， the estimation method of joint extreme value distribution of platform random vibration response is established. The effectiveness of the proposed method is verified by the analysis of the random vibration response of an actual deep-sea semi-submersible platform under the combined excitation of wind and wave. The research is of reference value for the safety and reliability evaluation of the deep-sea semi-submersible platform.

Key words deep-sea semi-submersible platforms; combined excitation of wind and wave; coherence of wind and wave; SeSam; platform vibration response

0 引言

在作業和自存工況下，深海半潛式生活平臺隨時遭受隨機風浪聯合作用，導致平臺在海面上作隨機的縱蕩、橫蕩、垂蕩、縱搖、橫搖和艏搖等6個自由度運動。通常情況下，為了避免動力放大作用，海洋平臺（包括深海半潛式生活平臺）的基頻遠低于波浪能量比較集中的頻率，然而海風的能量一般都位于低頻率內，再加上一些平臺（如生活平臺）暴露在水面以上的部分比較大，從而導致平臺的風致運動比較劇烈。因此，對于諸如深海半潛式生活平臺的海上建筑物，需要進行風浪聯合作用下的運動響應分析，為平臺的安全性和可靠性評估提供支持。

平臺隨機風和浪運動分析的首要問題是計算風和浪的聯合作用。過去40年來，人們先后發展出了共3代波譜模型[1-4]，采用數值方法模擬風-浪相互作用和隨機風和浪聯合過程。波譜模型通常需要大量的計算費用，為此徐亞洲等[5]建立了基本參數為隨機變量的Fourier海浪譜，定義風和浪的相互作用，生成隨機風和浪載荷。Zaheer和Islam[6]利用風速、有義波高和跨零周期之間的關系，由Pierson-Moskowitz波浪譜，計算風、浪的聯合作用，進行鉸接塔平臺的隨機風和浪響應分析。涂志斌[7]提出了隨機風場和波浪的同步模擬方法，通過對頻率區間和頻域區間離散的設置及能量譜矩陣的修正，實現風和浪作用的同步模擬，同步生成海上建筑物風和浪隨機響應分析中的風和浪載荷。但考慮風和浪之間相干性即風浪聯合作用的研究仍比較薄弱。

深海半潛式生活平臺隨機風和浪運動分析的第2個關鍵問題是計算平臺運動的樣本響應。目前的方法通常是基于風、浪譜或者風浪聯合載荷時歷，通過使用有限元軟件（如SeSam軟件、AQWA軟件、ANSYS軟件、HYDROSTAR等）計算平臺的水動力響應[8-11]。其中，SeSam軟件是應用比較廣泛的軟件。采用SeSam軟件進行風浪聯合作用下半潛式平臺的水動力響應分析時，需要解決的技術問題： SeSam中不能輸入互譜密度矩陣，從而無法形成考慮風和浪相關性的載荷。

平臺隨機風和浪運動分析的第3個問題是建立平臺非線性隨機運動響應極值聯合分布的有效估計方法。Jensen和Capul[12]采用FORM（一次可靠度方法）建立了二階隨機波中自升式海洋平臺極值響應的估計方法。許超超等[13]采用SGLD（移位廣義對數正態分布）和參數估計的兩支撐點法建立了隨機波浪激勵下自升式平臺極值響應估計的加速模擬方法。黃孝帝等[14]基于廣義極值分布和移位廣義對數分布的加速模擬方法有效估計了隨機載荷作用下結構的極值分布。何軍等[15]建立了預測非線性結構隨機地震反應邊緣分布的廣義高斯分布模型，提出了模型參數化的兩點估計方法。

上述幾項研究所建立的方法可用于半潛式平臺隨機風和浪響應的單變量極值估計。而對于隨機風浪聯合作用下半潛式平臺6個自由度運動響應的多變量極值分析，目前還未見相關研究報道。

針對風浪聯合作用下深海半潛式生活平臺隨機運動響應分析中存在的上述問題，本項研究將基于理論建模和深水實測數據建立隨機風速和波浪過程的互譜密度矩陣來模擬出考慮風和浪耦合作用的風和海浪時歷;開發考慮風和浪相關性的平臺運動響應樣本的SeSam軟件建模和分析技術;提出基于SGLD模型的單變量極值分析和Gumbel Copula函數的多變量極值分析的平臺運動極值響應分析方法。從而建立隨機風和浪激勵下深海半潛式生活平臺隨機運動響應的有效分析方法。某深海半潛式生活平臺的隨機風和浪響應分析，將驗證所建立方法的效率和數值精度。

1 深海脈動風速和波浪過程的相干函數研究

1.1 基于實測數據的樣本相干函數

風、浪耦合機制原理復雜。求脈動風速和波浪過程的相干函數，試驗方法具有局限性，無法完全復原海上復雜狀況，理論計算如三維數值模擬方法則過于復雜，因此目前主流的研究方法是根據海上實測的數據結合適當的參數化模型，給出合適的相干函數。

本項目的實測數據來自1998年3月12日至4月16日在地中海的里昂灣進行的FETCH試驗[16]。實驗測量的風速時程為距平均水面高度7 m處的數據，波浪時程和風速時程是同一海上位置處同一時段內的記錄，使用Gerling[17]提出的基于多方向譜分析，可將每個譜分為純風海情況和非純風海情況海洋波浪的分解方案對測量數據再分析，得到水平風速和浪在純風海況下的波浪過程記錄。風速和波浪記錄的時長均為1 710 s，采樣頻率為12 Hz。

實測數據表明，風速和波浪均近似于平穩的高斯過程。本項目選取50組FETCH實驗的風速和波浪測量數據，每組采樣長度1 702 s，采樣頻率為12 Hz。采用9階向量自回歸方法[18]得到脈動風速和波浪過程的自相關函數、互相關函數、自功率譜密度函數和互功率譜密度函數，從而可以得到由實測數據估計的脈動風速和波浪過程的樣本相干函數如圖1所示。其中細實線為50個樣本的各自相干函數（數值解），粗實線為樣本平均相干函數。平均樣本相干函數為一條單峰曲線，上升到峰值后緩慢下降。

1.2 相干函數的理論模型

為了適用更一般的情況，需要建立風和波浪相干函數的理論模型。由脈動風速與波浪的作用機理可知，距靜止水面越高的脈動風與波浪的相干性應越小，平均風速越大，風浪相干性越大;波高越大，風浪相干性越大，波浪的譜峰頻率越大，風浪的相干性越小。并結合圖1中平均樣本相干函數為一條單峰曲線，上升到峰值后緩慢下降，可以假設脈動風速和風浪的相干函數模型具有下述形式：

[yu（z），η（ω）=aω2πczHSTP+u（z）bexp-ω2πczHSTP+u（z）]，? ? ? （1）

式中：[a]為尺度參數;[b]，[c]為型參數;[z]為距靜止海面的高度;[u（z）]表示高度[z]處的平均風速;[HS]表示波浪的有義波高;[TP=2π/ωP]表示波浪的峰值周期，s。其中常數[a]確保式（1）給出的相干函數的峰值與由實測數據得到的相干函數的峰值一致，常數[b]控制式（1）給出的相干函數的上升段，公式（1）括號內[ω2πczHSTP+u（z）]無量綱，并滿足上述風速和波浪的作用機理。[a]， [b]，[c]確定，通過選擇[TP，HS，u（z）]可以得到相應風浪工況下的脈動風速和風浪過程的相干函數。

1.3 模型參數的估計方法

對于式（1）可采用最小二乘法，基于實測相干函數，估計出參數[a]、[b]和[c]，從而確定相干函數模型，得到參數的值分別為[a]=0.0125，[b]=4.661，[c]=35.603。圖1中粗點劃線為采用最小二乘法得到的理論相干函數，從圖中可以看出采用最小二乘法得到的理論相干函數峰值遠低于平均相干峰，不可取。所以采用另一種方法，利用相干函數模型與平均實測曲線具有相同的峰值頻率和峰值這一條件，可得到參數[a]和[c]與參數[b]的關系式：

[a=Δ-bω-bPe-bγmax]， （2）

[c=bΔ-1ω-1P]， （3）

[Δ=-12πzHSTP+u（z）]。 （4）

式中：[ωP]為實測的相干函數的峰值;[γmax]為實測的相干函數的峰值頻率。至此，相干函數模型只有一個獨立參數[b]，而參數[b]控制式（1）上升段。式中50個樣本相干函數的平均值函數稱之為“平均相干函數”。b的值是由文中提出的參數估計方法，根據平均相干函數估計得到，取[b]=[5.5]，根據式（2）和式（3），可得到[a]≈[4.82×106]，[c]=[35.603]。粗虛線是由本文提出的參數估計方法估計的參數代入相干函數理論模型后得到的曲線，在峰值區域較大而在低頻與高頻處較小。50個樣本的平均相干函數峰值為1.490 rad/s，樣本波浪譜的平均峰值為1.417 rad/s，可以看出二者非常接近，而根據理論模型與實際峰值頻率和峰值相同這一條件得到的理論相干函數放大了風和波浪過程在波浪大部分能量集中區域的相互作用，從結構安全性的角度考慮是可取的。

1.4 風速和波浪樣本

由得到的脈動風速過程和波浪過程的相干函數模型，若不考慮風速隨高度的變化，海上脈動風速和波浪的互譜密度矩陣為

[S（ω）=Su（z）（ω）Su（z）η（ω）Sηu（z）（ω）Sη（ω）]， （5）

式中：[z]代表距平均水面的垂直高度，[u（z，t）]代表[z]處脈動風速過程;[ηt]代表海浪過程;[Su（z）（ω）]和[Sη（ω）]為脈動風速和風浪的雙邊自譜密度函數;[Su（z）η（ω）]、[Sηu（z）（ω）]為脈動風速[u（z，t）]和波浪[ηt]的互譜密度函數，[Su（z）η（ω）]=[Sηu（z）（ω）]。

由常用的脈動風速譜、波浪譜、脈動風速過程和波浪過程的相干函數模型，容易得到脈動風速[u（z，t）]和波浪[ηt]的互譜密度函數為

[Su（z）η（ω）=Su（z）（ω）Sη（ω）γu（z），η（ω）]， （6）

式中，[γu（z），η（ω）]為隨機過程[u（z，t）]和[ηt]的相干函數。

為了建立理論的互譜密度矩陣，需要選擇合適的脈動風速譜及脈動波浪譜。工程中常用的脈動風速譜一般包括Ochi[19]譜、Davenport[20]譜、Kaimal[21]譜等。其中只有Kaimal譜可以較好擬合樣本平均脈動風速譜，其他均無法擬合。如圖2脈動風速譜所示，圖中細實線為50個樣本的脈動風速譜，粗實線為樣本平均脈動風速譜，粗虛線為模擬Kaimal譜。常用浪譜有Pierson-Moscowitz譜[22]以及Jonswap譜[23]。其中Jonswap譜比Pierson-Moscowitz譜可以更好擬合平均脈動波浪譜，能量值與樣本平均相差很小，而Pierson-Moscowitz譜的能量值比實際平均小很多。圖3脈動波浪譜中，細實線為每個樣本的實測波浪譜，粗實線為50個樣本的平均實測波浪譜，粗虛線為模擬Jonswap譜。

因此，FETCH試驗地點的（雙邊）脈動風速譜和波浪譜分別采用Kaimal譜和JONSWAP譜，可表示為

[Su（ω）=12×2002πu2*zu（z）11+50ωz2πu（z）53]， （7）

[Sη（ω）=12×319.34h2sT4pω5exp-1 9481Tpω4γexp-（0.159Tpω-1）22σ2]， （8）

式中：[Su（ω）]為脈動風速過程自譜密度函數;[u*]為氣流摩阻系數（剪切速度），m/s;z代表距平均水面的垂直高度;[u（z）]為距平均水面高度z處的平均風速。由于取樣高度距海面7 m，取50個實測記錄平均風速的平均值[u（7）=13.202 m/s]，利用平均風剖面的對數律計算出摩擦風速[u*=0.553 m/s]。式（8）中，[Sη（ω）]為波浪過程的自譜密度函數，[γ]為峰升因子，峰升因子介于1.5～6之間，平均值為3.3，[hs]為波浪有義波高，[Tp]為波浪峰值周期，σ為峰形參數。本研究中[hs]=1.860 m，[Tp][=2π/?p] [=2π/1.417] ≈4.434 s，[γ]=3.3，根據Jonswap譜的規定，當[?≤?p] 時σ = 0.07，當[?>?p] 時σ = 0.09。

由所建立的風浪互譜密度矩陣，采用譜分解方法[24]，可得到1 000個考慮脈動風速和波浪相干性的風速和波浪隨機過程的樣本，其中的一個風、浪樣本如圖4所示。其中圖4a）為波浪過程樣本，圖4b）為脈動風速過程樣本。樣本時長3 140 s，步長0.785 s。

2 平臺運動響應的樣本分析

2.1 SeSam軟件及其在平臺隨機運動樣本計算中存在的問題

本項目使用的SeSam軟件是研究海洋結構運動響應最常用軟件，軟件內置常用風譜及波浪譜。但是軟件無法直接輸入考慮風浪聯合作用的互譜密度矩陣得到的風速時歷和波浪時歷。

2.2 風載荷和波浪載荷的輸入

本項目的載荷輸入考慮風和波浪的相關性。波浪載荷的輸入是在平臺濕表面模型、水動力計算及環境參數及系泊系統依次完成后將互譜密度矩陣生成的波浪時歷放置在DeepC模塊文件根目錄。由于軟件無法用類似的方法輸入風載荷，因此本項目風載荷的輸入簡化為根據風速極值和平臺水面以上部分的面積和分布計算出集中力和力矩作用在平臺。然后進行計算，從實際工程安全性角度出發，這么做是合理的。圖5為簡化的風荷載作用圖，將風荷載作用在平臺的力分解為作用在重心的集中力及彎矩輸入軟件中。

2.3 平臺運動響應分析的模型

在HydroD模塊中由于水下部分尺寸各異，有些無法適用Morison模型，因此本項目統一設定為面元模型，計算的結果更加精確。將GeniE模塊中構造的模型導入，根據平臺的實際情況設定重心高度，轉動半徑，垂蕩臨界阻尼取0.04，以考慮系泊系統對平臺的約束。計算可得到該平臺的水動力參數。圖6為HydroD模塊中的平臺模型。

本項目在DeepC模塊中設定的運動響應時程為2 000 s，步長0.5 s，得到的數據量滿足后續極值響應分析要求。參考其他平臺系泊纜設計[8]，采用枚舉法至合理長度，使得運動響應在合理范圍內。圖7為DeepC模塊中的平臺模型。

2.4 平臺運動響應樣本

本項目選用我國南海某新型深水半潛式支持平臺，作業水深達1 500 m。該平臺為我國目前最先進的第六代深海半潛式平臺，主體結構由雙浮體、雙立柱、四橫撐以及一個封閉式的甲板所組成。平臺各部分的主要參數如表1所示。表2為零度角入射時各構件所受風力及風傾力矩，表3為系泊纜主要參數。采用12點系泊的方式對目標平臺進行定位，系泊纜共分為4組，每組3根，分別對稱布置于平臺四根立柱的外側。采用錨鏈-聚酯纜-錨鏈的三段式組合形式[25]，圖8為本項目的錨鏈模型。

由上述SeSam建模和分析技術，設定波浪沿0°入射，得到深海半潛式生活平臺風和浪響應的1 000個樣本，如圖9～圖14所示：其中圖9到圖14分別是第1個樣本的縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖以及艏搖響應，橫搖響應和艏搖響應極其微小，可忽略不計。

3 平臺隨機運動響應的聯合極值分布估計

為了進行平臺的可靠度和舒適度評估，需要分析深海半潛式生活平臺非線性隨機風和浪響應的極值分布。另外，考慮各自由度響應之間的相關性，還需要極值響應的聯合分布。

3.1 單變量極值響應估計

風和浪激勵下平臺浮體做6個自由度的運動響應，即縱蕩響應、橫蕩響應、垂蕩響應、橫搖響應、縱搖響應和艏搖響應。令上述6個自由度的運動響應分別為[ξi（t），i=1，…，6]，則其絕對值的極值可以表示為

[Yi=max0≤t≤Tξi（t），i=1，…，6]， （9）

式中，T為平臺風和浪運動響應的計算持時。

用于單變量極值響應分布估計的模型有指數率模型[26]、廣義極值模型（GEV）[27]、廣義對數高斯模型（GGS）[28]和移位廣義對數模型（SGLD）[29]。本項研究采用廣義移位對數正態分布（SGLD）模型，該模型的優勢在于可以考慮廣闊的偏態-峰度系數空間，可以模擬多種函數類型。其分布函數表達式為

[FY（y）=12+12sgny-bθ-1Q（1r，|lny-bθσ|rr），y>b]， （10）

式中：[b]為位置參數;[θ]為尺度參數;[0<σ]和[0

[Q（s，z）=0zts-1e-tdt/Γ（s）]。

由1 000個響應樣本，采用矩方法[30]，估計的SGLD模型參數值列于表4中。由于橫搖響應和艏搖響應極其微小，故忽略不計。

3.2 多變量響應估計

用Gumbel Copula函數來做多變量極值分析的優勢在于計算量小，所需樣本數量少，傳統的Monte Carlo方法做尾部分布估計由于計算量過大，并不可行。

[FY1，…，Y6（y1，…，y6）=P（Y1≤y1，…，Y6≤y6）]為[Y1，…，Y6]的聯合分布函數。由Gumbel Copula理論，可得到

[FY1，…，Y6（y1，…，y6）=C（u1，…，u6）=exp{-[（-lnu1）θ+…+（-lnu6）θ]1θ}，θ≥1]， （11）

式中：[ui=FYi（yi）=P（Yi≤yi），i=1，…，6]為隨機變量[Yi，i=1，…，6]的分布函數;[C（u1，…，u6）]為定義域為[0，16]的Copula函數。參數[θ]確定了k-變量隨機向量的相依性，[θ=1]表示向量之間是統計獨立的，[θ=∞]表示向量之間完全相依。

Copula參數[θ]可由[k≥2]排序的一致性參數Kendall [τ]來計算。整體Kendall [τ]的計算式為

[τ（θ）=126-1-1{-1+26-1Cm1，…，m6（m-1）?。?-1）！（12θ）m-1q=16[Γ（q-1/θ）Γ（1-1/θ）]mq}]， （12）

式中，[m=m1+…+m6]由所有的[m1，…，m6]的組合情況計算，整數[m1，…，m6]滿足條件[m1+2m2…+6m6=6]，而符號

[Cm1，…，m6=6！m1！…m6！1（1！）m1（2?。﹎2（3?。﹎3（4?。﹎4（5?。﹎5（6?。﹎6]。 （13）

另一方面，樣本Kendall[τ]的計算式為

[τ=126-1-1[-1+26N（N-1）i≠jI（yi≤yj）]]， （14）

式中：[I（·）]為示性函數;[yi≤yj]成立則示性函數的值等于1，否則等于0，其中的[yi]為[Y]的第i個樣本，[N]為樣本總數。

令由式（12）計算的Kendall[τ]等于由式（14）計算的Kendall[τ]，則可求出基于模擬的Copula參數[θ]，從而構造出6-變量Gumbel Copula。因此，可以得到平臺6個自由度運動響應的多變量極值分布表達式。

本工況環境下，橫搖響應和艏搖響應極其微小，可忽略不計。根據1 000個計算樣本計算的平臺縱蕩、橫蕩、縱搖和垂蕩絕對值響應極值的Kendalls tau等于0.104 3，由此數值計算的平臺縱蕩、橫蕩、縱搖和垂蕩絕對值響應極值的Gumbel Copula參數[θ]=1.127 8。可見平臺縱蕩、橫蕩、縱搖和垂蕩絕對值響應極值的相依性較小。對于表5列出的設定安全域邊界[（x，y，yrot，z）]，平臺狀態為安全的概率[Ps]可由上面構造的4維Gumbel Copula計算出來，計算結果也列于表6中。安全域邊界為縱蕩、橫蕩、縱搖和垂蕩4個自由度方向的絕對值響應，數值的確定是根據SeSam軟件計算得到的響應極值的數值來取各個自由度方向的合理的值，安全域編號由小到大，界限值也逐漸增大。圖15為設定的安全域邊界及相應的平臺處于失效狀態的概率，圖中由安全域編號5可知，失效的概率僅0.03%，多變量極值響應的尾部估計到10-4，基本滿足平臺安全性、舒適性和可靠性評估的要求。以縱蕩和縱搖絕對值響應的極值為例，其分布尾部繪于圖16和圖17中。

4 結語

本項研究旨在提出風浪聯合作用下深海半潛式生活平臺隨機運動響應的分析方法?；趯崪y風速和波浪數據的相干函數分析，提出深海脈動風速和波浪過程的相干函數模型及其參數估計方法，并由樣本估計出模型參數;由互譜密度矩陣生成深海風速和波浪的隨機樣本，建立基于風、浪時歷輸入的SeSam軟件分析技術，計算平臺的隨機運動響應樣本;利用移位廣義對數分布（shift generalized lognormal distribution， SGLD）模型和Gumbel Copula，建立平臺隨機運動響應聯合極值分布的估計方法。采用本項研究建立的方法，進行了某深海半潛式生活平臺的風和浪響應分析。

本項研究的結論有：

1）本文建立了風浪聯合作用下深海半潛式生活平臺運動響應分析的有效方法，為深海半潛式生活平臺的安全性和可靠性分析，提供技術支撐。

2）本文所建立的方法解決了3個問題?；诶碚摻：蜕钏畬崪y數據建立了隨機風速和波浪過程的互譜密度矩陣;開發了基于風和浪時歷輸入的平臺運動響應樣本的SeSam軟件建模和分析技術;提出基于SGLD模型的單變量極值分析和Gumbel Copula函數的多變量極值分析的平臺運動極值響應分析方法。

3）實際深海半潛式生活平臺的運動響應分析，說明本文所建立方法具有較高的可行性和有效性。

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