初中物理演示實驗的深度學習——以“漏斗與球”為例

居 露 張天一 武清鋒 尹志珺 張衛東 翁雨燕

（蘇州大學物理科學與技術學院，江蘇 蘇州 215006）

2020年蘇州中考卷出了這樣一題：

例1.小明采用“向漏斗口吹氣，觀察乒乓球狀態”的方法來探究流速對流體壓強的影響，題中給出了如圖1所示的4種實驗方案，問以下哪個方案不合理？

圖1 漏斗吹球

“用漏斗吹乒乓球”因其觀賞性、趣味性常被作為“探究流速大小對流體壓強的影響”演示實驗出現在中學課堂中.然而一句“流體的流速越大，壓強越小”就足夠解釋這一實驗現象了嗎？顯然不是，有學者認為物理實驗教學應該避免這樣籠統的陳述.［1，2］楊振寧院士有言 “現象是物理學的根源”，但是物理根源的探索需要形象向抽象的提升，以及更高層次的認知動機（思維）的激發和強化.［3］近幾年，高校教師發現新生對物理學習的興趣有所下降，許多新生思維模式以“以答案為導向”，所以要優化學生的學習動機，促進學生思維的提升，對演示實驗的教學應有更高的要求.［4］

本文應用伯努利原理定性和定量分析 “用漏斗吹乒乓球，乒乓球被拾起”的現象，借助Comsol軟件將風速和壓強可視化探究“乒乓球被拾起”的物理模型解析解，以期提高該問題的學習深度.希望對演示實驗教學提供一些思路.

1 情境分析與模擬初探

1.1 情境分析

這是一個流體結合受力分析的問題.要體現流體貼壁繞流形成的壓力差必須能夠改變乒乓球的運動狀態，才能實現流速與壓強問題的分析.顯然，選項（B）、（C）、（D）中所示案例如果沒有氣流，乒乓球都應該落下，只有引入氣流才有可能導致乒乓球穩定停留在所示位置上；而選項（A）中無論氣流導致的壓差存在與否，乒乓球都可以實現穩定停留.因此，選項（A）不能用來探究流速與流體壓強的關系.然而，小球能否被拾起，需要考慮風速的大小、小球的質量與體積、漏斗的尺寸、小球與漏斗口的距離遠近等等.這些變量相互制約影響，考慮起來較為復雜，因此，我們必須在其中找到主要矛盾來簡化物理模型.

根據初中課本中的伯努利原理，很容易給出定性解釋.該原理通常是在穩定、無粘性、不可壓縮、無旋流的流體假設下，由流線上流體的功能關系推導出來.基于上述假設，本文仿真模擬和實驗探究提供的風速均小于10 m／s，馬赫數小于0.3.［5］我們先通過理想模型下的虛擬仿真界面，可視化速度場的分布，幫助學生找到實驗體系中的主要控制變量，簡化實驗模型.

1.2 模擬初探

首先通過Comsol軟件進行仿真模擬簡化實際問題，排除無關變量.仿真基于連續性方程和時間平均下的納維斯托克斯方程，使用的流體力學模型為湍流，v2-f（spf），網格采取極細化網格.可以得到如圖2所示的流速場的分布.小球拾起時，漏斗與小球形成的狹小空間內.

圖2 Comsol仿真模擬“漏斗與球”模型

圖2所示的是三維立體空間小球被穩定抬起狀態下，氣流通過漏斗口流經小球的速度分布.為更清楚地顯示小球懸浮的速度場，我們沿著漏斗中心軸，截取二維平面（圖3）顯示.

圖3 Comsol仿真模擬小球懸浮速度場圖

通過仿真模擬發現：小球在懸浮狀態下與漏斗壁存在一狹縫，該位置對應高流速區，此處壓強小與外界壓強（大氣壓）形成壓差，產生抵抗重力的推力，如圖4，壓力為相對大氣壓的相對壓強，反轉弧長軌跡見圖3.該壓差的存在是小球有可能被吸住的主要原因.

圖4 Comsol仿真模擬小球沿弧壓力圖

對照圖3和圖4，學生很容易就能發現風速最大處在乒乓球與漏斗內壁相切的位置，此處對應于壓強最小處.圖5為漏斗口進風流速與最小壓強的關系圖，擬合函數y=-0.37x2-1.63x+2.38，相關系數r=0.998.由圖5可以看出，壓強最小點的壓強與漏斗口的進風流速呈二次函數關系，顯然只有風速大到一定臨界值，此處的壓強才能足夠小，導致“乒乓球被拾起”的實現.

圖5 漏斗口進風流速與最小壓強的關系圖

通過虛擬仿真，學生可以直觀地明確風速對壓強的影響，可見研究小球受到壓力差與風速的關系是“乒乓球被拾起”的關鍵.

2 模型建構與理論推導

在解決漏斗吹球這類實際問題時，還需要引導學生很好地研究問題的物理過程，將其還原成簡化的物理模型.［6］

2.1 小球懸浮狀態下的物理模型

向漏斗吹氣，當小球處于剛被拾起的臨界狀態時，它在漏斗中會逐漸趨于穩定，最終到達一個懸浮狀態（理想，平衡），以下討論均基于此基礎.圖6為簡化模型：氣流從管口流下，一部分沖擊小球，一部分經狹縫流出，不考慮沿程損耗；假設氣流在球頂的沖擊面積投影為漏斗口的截面積A，球與漏斗壁的狹縫近似看成一條狹長的帶狀區域Δl.利用連續性方程可確定狹縫Δl處的風速v，伯努利方程可確定狹縫區域與外界大氣壓之間的壓差.

圖6 小球懸浮狀態下幾何模型圖

參量說明：v0為漏斗口的風速，v為狹縫Δl處的風速，r為小球半徑，A為漏斗口截面積，β為漏斗壁延長與中軸夾角，r0為球心到漏斗壁延長線與軸線交點的距離，m為小球質量.

2.2 量綱分析

本實驗屬于流體力學問題，涉及相關變量較多.因此，本文先從量綱（單位）的角度入手，列出各參量的量綱（表1）.

表1 量綱分析表

利用Π定理消去量綱

結合以上3個公式，得到小球表面壓力差（Δp）與風速（v）的大致關系

由（4）式可以看出，小球受到的壓差為一與漏斗幾何參數、空氣粘度相關的函數乘以空氣密度和風速的平方項.事實上，在風速較小的情況下，使用無粘性伯努利方程即可描述風速與壓力的關系，可忽略空氣粘度造成的影響.（4）式可簡化為

2.3 理論推導

根據漏斗內流量（Q）恒定，即風速乘以垂直風速截面積為一定值（連續性原理）：

其中ΔS為狹縫處面積

將（7）式代入（6）式，得到狹縫處風速v

令狹縫處C點為狀態1，在出口處D為狀態2，對流經小球流線上的流體列出伯努利方程

在此情境中，C與D的高度差、D點處速度相比C點處的速度項都很小，小球受到的壓差可簡化為

對懸浮狀態下的小球進行受力分析（如圖7）.

圖7 小球懸浮狀態下受力分析圖

在近漏斗口處，因吹氣有一定風速，對球有向下的沖擊力F2；在縫隙處，空氣流速相對較快，與外界大氣壓形成壓強差，形成托舉力F1；F1、F2分別寫作

由受力平衡（小球懸浮設為理想靜止）可得

對比（5）式和（12）式，相似的形式證明該理論推導在數學和物理上是自洽的.

由（12）理論公式，我們可以得到如下可以探究的兩個關系：① 小球懸浮時的質量與漏斗口風速平方成正比，即m∝v02.② 漸近分析：當球心到漏斗口距離r0增大到一定程度時，小球受力F1與r0從二次反比關系退化到一次反比關系，即

3 實驗探究

搭建實驗裝置（圖8），將空壓機與一流量計相連，通過調節空壓機，改變流量計對應示數，可對應改變漏斗入口處的風速，從而控制變量.

圖8 實驗裝置圖

實驗器材：不同尺寸的泡沫球若干、漏斗口截面積不同的漏斗若干、橡皮泥、空壓機、導管、橡膠管、流量計、電子秤等.實驗中采用的空壓機公稱容積流量為40 L／min，流量計測量流量范圍為0～200 L／min.

3.1 小球受力與漏斗口風速之間的關系

根據公式（12），有小球懸浮時的質量與風速平方成正比的關系，而風速與漏斗口截面積的乘積為所測流量示數，漏斗口截面積不變，則小球懸浮時的質量與流量的平方亦成正比：

控制其他變量不變，通過在小球底部粘貼橡皮泥改變小球質量，打開空壓機使得小球“拾起”，減小風速直至小球恰好達到懸浮狀態（即掉落前一秒的流量計示數）.記錄當前質量與流量，與理論公式進行擬合（圖9）.

圖9 流量Q 2與小球質量m數據擬合圖（懸浮）1／k′=（1.548±0.074）×103，相關系數r=0.996

以上實驗證明了在平衡條件下，小球受力（和重力相同）與漏斗口氣體流速的二次方成正比，下面推廣到一般情況：任何位置，小球受力的大小都與漏斗口氣體流速的平方成正比.

改進實驗裝置（圖10），將小球通過一細桿與電子秤相連，在任意位置小球的受力（F1-F2=m′g）都可以通過電子秤的示數m示（m示＜0）得到

圖10 改進實驗裝置圖

實驗前，先將小球放在電子秤上，然后將電子秤示數清零，即使則開空壓機后的小球受力可以直接反映為電子秤示數.改變氣流的速度，得到流量平方與受力的關系，也就是對應流速下恰好懸浮的小球質量m′（圖11）.

圖11 流量Q 2與m′數據擬合圖（一般）1／k′=（1.631±0.031）×103，相關系數r=0.999

隨著漏斗口風速增大，小球因為壓差所提供的受力增加，即對應流速下恰好懸浮的小球質量m′增加，反映為電子秤示數m示減小.通過數據擬合發現：小球在任意位置受力都與漏斗口流速平方成正比.

3.2 小球位置與受力之間的關系

采用圖10所示的實驗裝置還可以探究小球球心離漏斗口距離r0與小球受力（恰好懸浮小球質量m′）的關系是否滿足理論猜想（11）式.

控制漏斗口流量不變，調整升降臺改變小球球心到漏斗口的距離，利用電子秤測量小球受力大小，得到數據并進行函數擬合，如圖12所示.

圖12 m′與r 0-1數據擬合圖擬合函數為：m′=29.46r 0-4.41，相關系數r=0.996

可以發現，隨著小球球心到漏斗口的距離r0逐漸增大，則狹縫面積增大.根據連續性原理，狹縫處的流速減小產生較小的壓差，對應小球受力減小即小球恰好懸浮的質量m′變小；兩者成反比，理論猜想（11）式得證.

3.3 小結

實驗總結為如下兩點：① 在一般情況下，小球受到系統的力與漏斗口流速平方成正比；② 小球被拾起過程中，小球球心離漏斗口距離r0與小球受力呈反比例函數的關系（13）式.

4 總結思考

本文對初中物理伯努利原理演示實驗“漏斗吹球”進行深度挖掘，引導學生通過幾何形狀和受力分析進行該課題的深度學習.

（1）通過Comsol仿真實驗情景，結合伯努利原理，通過仿真模擬的可視化顯示，讓學生直觀的看到流速最大區和壓差產生的原因.

（2）通過建立理想物理模型和理論推導，推動學生形象感知向抽象思維的提升，［6］構建簡化的理論模型.

（3）通過實驗設計，探究了小球不同位置處風速與受力的關系，從而描述小球被拾起的動態過程，其中實驗裝置的搭建以及實驗器材和方法的選擇有助于激發和強化學生的思維.比如：實驗探究使用流量計測量漏斗口風速，避免了直接使用壓強傳感器測量小球上下壓強時，探頭對小球周圍流速場的分布影響.［7］

（4）巧妙地將小球所受的力與恰好懸浮的小球質量m′等效，讓學生初步了解變量替換的概念，實驗所測物理量（流量和力）有利于伯努利原理的理解和運用.

往常的“漏斗吹球”演示實驗教學，教師對它的要求只停留在有較好的觀賞性和趣味性，學生學習的時候也就停留在“哈哈一笑”的淺層感知.我們不妨再深入一些，將“流速大，壓強小”這一籠統表述具體到其適應條件，讓學生得以更好地理解伯努利原理，而不是一知半解；將“給漏斗吹氣”的速度定量，分析壓強差，受力判斷乒乓球的運動狀態，幫助學生建構完整的“流速—壓強—受力”知識體系.再回看題目，相信學生會很快想到對選項中的4個方案受力分析判斷小球前后的運動狀態選出正確的答案.

由此可見，對演示實驗進行深度的教學，可以鍛煉學生的思維，加強學生對實驗原理的理解，不僅有助于學生形成完整的知識脈絡，也有利于激發學生探索物理學的根源.