行星著陸軌跡優(yōu)化技術(shù)研究進(jìn)展

崔平遠(yuǎn)，龍嘉騰，朱圣英，修文博

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2. 深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3. 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

0 引 言

近年來，火星探測(cè)和小天體探測(cè)成為地外天體探測(cè)的熱點(diǎn)領(lǐng)域。火星是太陽(yáng)系中與地球環(huán)境最為相似的行星，是研究生命起源的理想目標(biāo)[1]；小天體種類豐富，數(shù)量繁多，保留了大量太陽(yáng)系形成早期的原始物質(zhì)，加之復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)環(huán)境，具有重要的科學(xué)研究?jī)r(jià)值[2-6]。

隨著探測(cè)活動(dòng)的深入以及探測(cè)手段的進(jìn)步，在地外目標(biāo)天體高科學(xué)價(jià)值區(qū)域開展原位探測(cè)和采樣返回成為未來行星探測(cè)的重要發(fā)展方向。在地外天體表面實(shí)施精確、安全著陸是實(shí)現(xiàn)上述探測(cè)任務(wù)的關(guān)鍵。以美國(guó)“火星科學(xué)實(shí)驗(yàn)室/好奇號(hào)”任務(wù)[7]和日本“隼鳥號(hào)(Hayabusa)”探測(cè)任務(wù)[3]為代表，自主導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)是實(shí)現(xiàn)地外天體表面精確著陸的關(guān)鍵技術(shù)。2014年，歐洲空間局“羅塞塔/菲萊(Rosetta/Philae)”[4]探測(cè)任務(wù)中，探測(cè)器由于彈跳至彗星陰影區(qū)而難以正常開展探測(cè)工作，凸顯了高精度控制在小天體著陸任務(wù)中的重要作用[8]。從上述行星著陸任務(wù)分析表明，高精度制導(dǎo)與控制是實(shí)現(xiàn)地外行星表面高精度著陸的重要技術(shù)發(fā)展趨勢(shì)[9]。

著陸軌跡優(yōu)化是行星著陸探測(cè)任務(wù)分析、制導(dǎo)與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要技術(shù)基礎(chǔ)。通過設(shè)計(jì)性能指標(biāo)、施加約束條件，進(jìn)行著陸軌跡優(yōu)化是分析著陸軌跡特性、研究約束條件和著陸環(huán)境因素影響的重要途徑，進(jìn)而為著陸總體方案優(yōu)化、著陸點(diǎn)選取、制導(dǎo)與控制算法設(shè)計(jì)提供依據(jù)。此外，軌跡優(yōu)化方法也是在現(xiàn)有技術(shù)條件下，擴(kuò)展地外天體探測(cè)能力的重要途徑。例如在火星著陸過程中，通過對(duì)大氣進(jìn)入段的末端飛行高度進(jìn)行優(yōu)化，可以顯著提高探測(cè)器最終的著陸高度范圍，進(jìn)而顯著擴(kuò)大探測(cè)器的可能探測(cè)區(qū)域。行星著陸軌跡優(yōu)化是基于動(dòng)力學(xué)模型，通過數(shù)值優(yōu)化的方法，尋找滿足一定約束條件并使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的飛行軌跡。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)不同行星著陸背景、技術(shù)條件和任務(wù)需求，對(duì)行星著陸軌跡優(yōu)化問題開展了大量的深入研究工作。相關(guān)研究成果在揭示行星著陸軌跡特性，提高軌跡優(yōu)化算法的收斂性、快速性和精確性等方面具有重要的實(shí)踐意義。

本文通過總結(jié)近年來行星著陸軌跡優(yōu)化領(lǐng)域的研究成果，結(jié)合行星著陸制動(dòng)方式，對(duì)著陸探測(cè)軌跡優(yōu)化問題特點(diǎn)和研究現(xiàn)狀進(jìn)行梳理。在此基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納出行星探測(cè)軌跡優(yōu)化的關(guān)鍵技術(shù)及發(fā)展趨勢(shì)。

圖1 小天體著陸探測(cè)任務(wù)目標(biāo)天體Fig.1 Objects of small body landing exploration mission

1 著陸軌跡優(yōu)化的特點(diǎn)

根據(jù)行星環(huán)境的不同，行星著陸的制動(dòng)方式主要分為大氣制動(dòng)和動(dòng)力制動(dòng)。大氣制動(dòng)著陸方式用于具有大氣層的行星及其衛(wèi)星(如地球、金星、火星、土衛(wèi)六等)著陸過程，是以飛行器氣動(dòng)阻力作為主要制動(dòng)力來源，通過設(shè)計(jì)合理的飛行器氣動(dòng)外形來產(chǎn)生足夠的氣動(dòng)制動(dòng)阻力，并在飛行過程中調(diào)整飛行器姿態(tài)改變氣動(dòng)力方向達(dá)到調(diào)整飛行軌跡的目的。依據(jù)飛行器在高超速段升阻比的不同，大氣進(jìn)入飛行器可分為低升阻比飛行器(升阻比為0.3左右，如阿波羅任務(wù)返回艙、獵戶座任務(wù)返回艙、MSL任務(wù)進(jìn)入飛行器等)、中升阻比飛行器(升阻比為0.5～0.9左右，如CobraMRV火星探測(cè)器、X-33飛行器等)和高升阻比飛行器(升阻比大于1.5，如航天飛機(jī)、CAV-H高超聲速飛行器等)。

動(dòng)力制動(dòng)著陸方式主要適用于沒有大氣的行星及其衛(wèi)星(如月球、小天體)著陸過程，或作為大氣制動(dòng)的一種輔助接續(xù)制動(dòng)方式(如火星著陸)，是以反推發(fā)動(dòng)機(jī)推力作為主要減速制動(dòng)力，通過改變推力大小和方向?qū)崿F(xiàn)對(duì)著陸軌跡的調(diào)節(jié)。這種著陸方式主要應(yīng)用于月球著陸、火星動(dòng)力下降段、重復(fù)運(yùn)載火箭著陸回收、小天體軟著陸等著陸任務(wù)中。值得注意的是，在月球、火星、地球等類球形天體表面附近采用動(dòng)力制動(dòng)著陸時(shí)，通常考慮常值引力作用；而小天體動(dòng)力制動(dòng)著陸過程中，不規(guī)則引力作用隨探測(cè)器位置呈現(xiàn)出復(fù)雜時(shí)變非線性特征。

結(jié)合行星環(huán)境，在現(xiàn)有技術(shù)水平下，火星著陸主要采用大氣制動(dòng)減速并輔之以動(dòng)力制動(dòng)減速，小天體著陸采用動(dòng)力制動(dòng)減速。下面結(jié)合兩種制動(dòng)方式在著陸動(dòng)力學(xué)形式、約束構(gòu)成、不確定因素來源等方面的特點(diǎn)，分析著陸軌跡優(yōu)化所面臨的技術(shù)挑戰(zhàn)。

1.1 動(dòng)力學(xué)呈現(xiàn)強(qiáng)非線性

在著陸過程中，除自身控制力作用外，探測(cè)器所受外力作用主要包含氣動(dòng)力作用(大氣進(jìn)入過程)、引力作用、慣性力作用。在不同的著陸背景中，探測(cè)器受上述各種外力作用的影響程度各不相同。

穩(wěn)定的大氣層僅存在于引力較強(qiáng)的行星(及其衛(wèi)星，如土衛(wèi)六)周圍。在行星大氣進(jìn)入過程中，氣動(dòng)力作用和引力作用對(duì)探測(cè)器動(dòng)力學(xué)均具有較強(qiáng)的影響作用。其中，類球形引力場(chǎng)中的引力作用較為規(guī)則，而氣動(dòng)力作用則十分復(fù)雜，與探測(cè)器氣動(dòng)外形、飛行姿態(tài)、大氣密度等因素密切相關(guān)[10]。同時(shí)，氣動(dòng)力與飛行速度、飛行高度等飛行狀態(tài)呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性特征。同時(shí)，大氣進(jìn)入過程采用調(diào)整姿態(tài)改變飛行器運(yùn)動(dòng)軌跡的控制方式，進(jìn)而導(dǎo)致控制力與動(dòng)力學(xué)之間的傳遞關(guān)系呈現(xiàn)高度非線性。

與此對(duì)應(yīng)，由于小天體質(zhì)量小、引力弱，難以吸引足夠的氣體分子形成穩(wěn)定的大氣層。因此在小天體軟著陸過程中，探測(cè)器主要受到引力作用和慣性力作用。同時(shí)，小天體的微弱引力難以使其聚合成類球體，使小天體三維形狀和引力場(chǎng)空間分布極不規(guī)則。在不規(guī)則引力場(chǎng)環(huán)境下，引力勢(shì)與探測(cè)器位置呈現(xiàn)高度復(fù)雜的非線性特征。這種非線性特征導(dǎo)致探測(cè)器受空間擾動(dòng)(如太陽(yáng)光壓、第三體引力攝動(dòng)等)的影響更為顯著[11]。此外，小天體自旋狀態(tài)復(fù)雜，存在超快自旋、極慢自旋乃至非主軸自旋等情形，更加劇了探測(cè)器動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜程度[8]。

1.2 著陸過程存在復(fù)雜約束條件

為保證著陸精確性和安全性，探測(cè)器著陸軌跡需滿足復(fù)雜的約束條件。這些約束條件可大致分為路徑約束和末端約束。其中，路徑約束主要是保障飛行過程中的安全性，末端約束主要是依據(jù)任務(wù)需要，保障著陸的精確性。在不同的著陸背景下，上述約束條件的構(gòu)成要素也不盡相同。

大氣制動(dòng)過程通過借助氣動(dòng)阻力(摩擦阻力、激波阻力等)完成飛行器減速。從本質(zhì)上講，大氣進(jìn)入過程中，飛行器初始機(jī)械能轉(zhuǎn)化為氣動(dòng)熱進(jìn)行耗散實(shí)現(xiàn)減速。因此，即使火星大氣密度十分稀薄，火星大氣進(jìn)入過程中也同樣會(huì)產(chǎn)生顯著的氣動(dòng)熱[12]。同時(shí)，隨著飛行高度的降低，行星大氣密度呈指數(shù)形式增大，探測(cè)器因而受到巨大的氣動(dòng)過載。為保證飛行安全，需對(duì)氣動(dòng)吸熱和氣動(dòng)過載加以約束。氣動(dòng)吸熱因素主要考慮的約束條件有熱流峰值和總吸熱量約束。此外，考慮任務(wù)需要，在一些大氣進(jìn)入過程中還需考慮路徑點(diǎn)約束和禁飛區(qū)約束等[13]。

以動(dòng)力制動(dòng)為主要減速方式的行星動(dòng)力下降和小天體軟著陸過程中，引力作用是主要考慮的外力作用。動(dòng)力制動(dòng)過程中，以發(fā)動(dòng)機(jī)反推作用實(shí)現(xiàn)制動(dòng)減速，為防止控制力飽和，軌跡優(yōu)化中需考慮推力器控制力的幅值約束；為保障飛行安全，避免目標(biāo)天體表面發(fā)生碰撞，需引入障礙規(guī)避約束[14-15]、最小飛行高度約束、滑翔角約束；為保障導(dǎo)航相機(jī)對(duì)目標(biāo)著陸點(diǎn)的可見性，需考慮相機(jī)視場(chǎng)角約束。

上述行星著陸復(fù)雜約束條件的共同作用將直接影響到著陸軌跡可行域，進(jìn)而對(duì)軌跡優(yōu)化方法的收斂性產(chǎn)生影響。

1.3 著陸環(huán)境不確定性顯著

由于近地空間附近存在大量人類活動(dòng)，諸如大氣環(huán)境、引力場(chǎng)環(huán)境等空間環(huán)境信息已得到系統(tǒng)、深入、精確的建模。與此對(duì)應(yīng)，人類對(duì)地外天體環(huán)境知之甚少，絕大多數(shù)小天體探測(cè)都是首次開展。在探測(cè)過程中，受觀測(cè)和探測(cè)手段的限制，無法全面、準(zhǔn)確地掌握目標(biāo)地外天體的大氣環(huán)境、地形環(huán)境、引力環(huán)境等環(huán)境要素。因而在著陸過程中，著陸環(huán)境的不確定性顯著，進(jìn)而影響著陸精確性和安全性。

在大氣進(jìn)入過程中，大氣固有屬性(大氣組分、大氣密度等)和探測(cè)器氣動(dòng)外形是決定探測(cè)器氣動(dòng)力作用的兩個(gè)重要方面。因此，行星大氣進(jìn)入過程中存在如下不確定因素：

1)不同行星的大氣組分、大氣密度各不相同，且大氣活動(dòng)隨季節(jié)變化現(xiàn)象顯著。作為氣動(dòng)減速介質(zhì)，行星大氣的精確建模難度極大。以火星大氣為例，火星大氣密度十分稀薄，僅為地球大氣密度的1%(如圖2所示)，不確定性隨飛行高度變化顯著(如圖3所示)，且時(shí)常伴有陣風(fēng)等不確定因素。因此，火星大氣模型的不確定性是大氣進(jìn)入過程中的重要不確定因素來源。

圖2 火星與地球大氣密度對(duì)比Fig.2 Comparisons of the atmosphere density of the Mars and the Earth

圖3 火星大氣密度偏差隨高度的分布情況[17, 21]Fig.3 Distribution of the mars atmosphere density bias with respect to altitude[17, 21]

火星大氣建模需考慮高度、經(jīng)緯度、季節(jié)、理化性質(zhì)等多種因素，目前較為完備的火星全球大氣數(shù)據(jù)庫(kù)有歐空局的火星氣候數(shù)據(jù)庫(kù)(Mars climate database，MCD)[16]和美國(guó)的火星全球參考大氣模型(Mars global reference atmospheric model，Mars GRAM)[17]。在實(shí)際研究中，常用的火星大氣簡(jiǎn)化模型為指數(shù)模型和分層指數(shù)模型[18]等。火星大氣密度指數(shù)模型給出了大氣密度隨飛行高度的解析表達(dá)形式，便于開展理論研究工作，且形式簡(jiǎn)潔、解算效率高。但簡(jiǎn)化指數(shù)模型在高空處對(duì)大氣密度的擬合精度較高，而在接近火星表面處存在較大的偏差。

2)氣動(dòng)力作用引起的氣動(dòng)彈性、氣動(dòng)燒蝕效應(yīng)引入較大不確定因素。行星大氣進(jìn)入過程中，飛行器所受氣動(dòng)力作用導(dǎo)致飛行器彈性形變，使得氣動(dòng)外形產(chǎn)生微弱變化，進(jìn)而導(dǎo)致氣動(dòng)力作用的改變。因而氣動(dòng)力與氣動(dòng)力外形間呈現(xiàn)復(fù)雜的氣動(dòng)彈性耦合效應(yīng)。與此同時(shí)，即便在探測(cè)器設(shè)計(jì)承受范圍之內(nèi)，氣動(dòng)加熱效應(yīng)對(duì)探測(cè)器氣動(dòng)外形的改變，進(jìn)而對(duì)氣動(dòng)力造成的不確定性效應(yīng)依然不可忽略。在行星大氣進(jìn)入三自由度動(dòng)力學(xué)中，這種不確定性效應(yīng)主要體現(xiàn)在探測(cè)器升阻比和彈道系數(shù)的不確定性[19]。因此，以末端高度為性能指標(biāo)進(jìn)行軌跡優(yōu)化并設(shè)計(jì)相應(yīng)最優(yōu)制導(dǎo)策略是火星大氣進(jìn)入軌跡設(shè)計(jì)的重要方面[20]。

在動(dòng)力制動(dòng)著陸過程中，行星表面形貌的不確定性對(duì)探測(cè)器著陸安全構(gòu)成極大威脅。行星表面存在大量諸如隕石坑、巨石、斜坡、裂谷等復(fù)雜形貌。這些表面形貌特征一方面可作為天然導(dǎo)航路標(biāo)，提供豐富的圖像導(dǎo)航特征[22]；另一方面，也在行星著陸過程中成為表面障礙，嚴(yán)重威脅到探測(cè)器安全[14-15]。小天體表面無大氣風(fēng)化等理化侵蝕作用影響，保存著大量小天體形成初期即已存在的復(fù)雜表面形貌。這些表面形貌類型眾多，特征尺度千差萬別，為建模帶來極大困難。

圖4 地外行星表面崎嶇Fig.4 Hazardous object surface

在小天體動(dòng)力制動(dòng)著陸過程中，小天體不規(guī)則引力場(chǎng)是主要的不確定因素來源之一。小天體質(zhì)量和體積微小，所形成的微弱引力不足以將其凝聚為類球形天體。由此導(dǎo)致小天體形狀和引力場(chǎng)極不規(guī)則，引力場(chǎng)在各個(gè)方向上呈現(xiàn)出顯著的各向異性。目前小天體引力場(chǎng)模型依賴大量觀測(cè)數(shù)據(jù)，在算法精度和解算效率上無法得到有效兼顧。加之小天體質(zhì)量分布不均勻，不規(guī)則引力場(chǎng)模型不可避免地引入建模誤差。此外，由于小天體引力場(chǎng)微弱，導(dǎo)致探測(cè)器受到的第三體引力攝動(dòng)有時(shí)變得不可忽略。同時(shí)，小天體附近不存在大氣，不存在對(duì)太陽(yáng)光的顯著散射現(xiàn)象，因此，太陽(yáng)光壓攝動(dòng)也是探測(cè)器在小天體著陸過程中所需考慮的攝動(dòng)源[23]。

2 著陸軌跡優(yōu)化研究現(xiàn)狀

傳統(tǒng)軌跡優(yōu)化方法[24]分為間接法和直接法。間接法利用極小值原理，通過拉格朗日乘子法引入?yún)f(xié)態(tài)變量來求解最優(yōu)控制問題。其優(yōu)點(diǎn)在于求解精度高，但同時(shí)也存在初值猜測(cè)敏感這一顯著缺點(diǎn)，導(dǎo)致求解收斂域很小。由于協(xié)態(tài)變量沒有明確的物理含義，其初值難以獲得[20]。針對(duì)間接法的初值猜測(cè)敏感問題，同倫法[25-26]是一種行之有效的解決方法。直接法是將著陸軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多種路徑約束和邊界約束下的靜態(tài)參數(shù)優(yōu)化問題，進(jìn)而采用非線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解，但易陷入局部最優(yōu)。由于實(shí)現(xiàn)方便，直接法在工程實(shí)踐中被廣泛采用。下面針對(duì)不同行星著陸背景，對(duì)相應(yīng)軌跡優(yōu)化方法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行分析。

2.1 非線性動(dòng)力學(xué)環(huán)境下著陸軌跡優(yōu)化研究現(xiàn)狀

行星著陸過程中，探測(cè)器處于極為復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)環(huán)境中。根據(jù)行星環(huán)境和制動(dòng)方式的不同，動(dòng)力學(xué)的非線性來源也不相同。需要指出的是，行星著陸的非線性動(dòng)力學(xué)環(huán)境對(duì)著陸軌跡優(yōu)化算法的精確性和收斂性提出了較高要求，同時(shí)也導(dǎo)致相關(guān)飛行特征參數(shù)對(duì)著陸軌跡產(chǎn)生重要影響，進(jìn)而決定著軌跡優(yōu)化性能指標(biāo)的選取。

大氣制動(dòng)著陸的動(dòng)力學(xué)環(huán)境極為復(fù)雜，其強(qiáng)非線性特征主要來源于以下兩個(gè)方面：1)大氣密度與飛行高度間的非線性關(guān)系；2)氣動(dòng)力與大氣密度、飛行速度、飛行高度間的非線性關(guān)系。這種強(qiáng)非線性關(guān)系，導(dǎo)致著陸飛行軌跡受飛行參數(shù)的影響顯著。例如在火星大氣進(jìn)入過程中，最大末端飛行高度與氣動(dòng)參數(shù)(彈道系數(shù)、升阻比)存在密切關(guān)系。目前火星大氣進(jìn)入段軌跡優(yōu)化問題中，以小升阻比航天器飛行軌跡作為主要研究和設(shè)計(jì)對(duì)象。由于小升阻比飛行器所產(chǎn)生的氣動(dòng)升力有限，加之火星大氣密度稀薄，提高進(jìn)入段末端高度[20, 27, 28]成為火星大氣進(jìn)入軌跡優(yōu)化問題的重要優(yōu)化目標(biāo)。文獻(xiàn)[20]從理論上證明了在標(biāo)稱條件下，使末端高度的最優(yōu)傾側(cè)角剖面滿足bang-bang控制形式，將傳統(tǒng)的多節(jié)點(diǎn)進(jìn)入段軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為對(duì)bang-bang控制切換時(shí)刻的搜索問題，顯著降低了進(jìn)入段軌跡優(yōu)化的復(fù)雜度。

動(dòng)力制動(dòng)著陸過程中的動(dòng)力學(xué)非線性因素主要包含控制推力幅值的飽和約束[29]以及小天體的不規(guī)則引力影響[30]。由于動(dòng)力制動(dòng)著陸方式通過消耗反推發(fā)動(dòng)機(jī)燃料進(jìn)行減速，著陸軌跡及控制方式所對(duì)應(yīng)的燃耗是分析任務(wù)可行性和安全性所需考慮的重要因素，因而燃耗最優(yōu)問題廣泛存在于月球著陸[31]、火星著陸[32]、小天體軟著陸[30]等航天各類任務(wù)中。此外，相關(guān)文獻(xiàn)深入研究了動(dòng)力制動(dòng)著陸方式的時(shí)間最優(yōu)問題[33-34]、能量最優(yōu)問題[35]和脫敏最優(yōu)問題[36]等。不同性能指標(biāo)對(duì)優(yōu)化問題復(fù)雜程度各不相同，文獻(xiàn)[35]研究了小天體軟著陸過程中的燃耗最優(yōu)與能量最優(yōu)問題間的內(nèi)在聯(lián)系，并采用快速同倫法通過求解著陸能量最優(yōu)問題獲得燃耗最優(yōu)問題的解。同倫法的問題在于，無法構(gòu)建多種優(yōu)化問題間的普遍聯(lián)系，因此適用范圍收到限制。針對(duì)小天體不規(guī)則弱引力場(chǎng)所導(dǎo)致的動(dòng)力學(xué)非線性問題，文獻(xiàn)[37]在采用凸優(yōu)化求解的過程中，采用局部線性化方法，對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行凸化處理。該方法有效解決了非線性非凸動(dòng)力學(xué)條件下的凸優(yōu)化解算問題，但需考慮解算過程中的節(jié)點(diǎn)選取和非線性動(dòng)力學(xué)近似所引入的解算偏差。

針對(duì)行星著陸的強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)環(huán)境，在著陸軌跡優(yōu)化過程中，采用相應(yīng)的軌跡擬合和逼近方法是處理非線性動(dòng)力學(xué)問題的有效手段，包括局部逼近技術(shù)和全局逼近技術(shù)。

局部逼近技術(shù)是以某個(gè)物理參量(通常為飛行時(shí)間或隨飛行時(shí)間單調(diào)變化的獨(dú)立變量)為依據(jù)，對(duì)整個(gè)飛行過程按一定間隔進(jìn)行區(qū)間劃分得到若干節(jié)點(diǎn)，在各個(gè)區(qū)間上對(duì)飛行軌跡進(jìn)行分段局部逼近。局部線性化技術(shù)是一種經(jīng)典的局部逼近方法。傳統(tǒng)直接法中的直接打靶法和直接配點(diǎn)法也屬于局部逼近的范疇由于局部逼近技術(shù)是對(duì)著陸軌跡進(jìn)行分段逼近，在精確性和求解效率方面存在一定不足。

近年來，以偽譜法[38-39]為代表的全局逼近技術(shù)得到了廣泛研究。偽譜法又稱為正交配點(diǎn)法，采用高階正交多項(xiàng)式的根作為配點(diǎn)，以對(duì)應(yīng)正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)，同時(shí)離散狀態(tài)變量和控制便令，對(duì)著陸軌跡進(jìn)行逼近，將著陸動(dòng)力學(xué)微分約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束。研究表明，偽譜法對(duì)光滑問題具有良好的收斂性，且Gauss偽譜法的KKT條件等價(jià)于極小值原理的一階最優(yōu)性條件[38]。在大氣進(jìn)入[40-41]、動(dòng)力下降[42]、小天體軟著陸[43]軌跡優(yōu)化中得到了成功應(yīng)用。偽譜法的缺點(diǎn)在于節(jié)點(diǎn)數(shù)量的選取由于沒有明確的規(guī)則而過多依賴于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)。采用高階多項(xiàng)式在固定節(jié)點(diǎn)和配點(diǎn)處擬合狀態(tài)變量和控制變量。若系統(tǒng)包含不連續(xù)或者曲率較大的狀態(tài)/控制變量時(shí)，需增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目以保證逼近精度，從而導(dǎo)致整個(gè)算法的計(jì)算效率下降。同時(shí)，由于行星著陸軌跡優(yōu)化存在大量復(fù)雜約束，加之動(dòng)力學(xué)強(qiáng)非線性，且傳統(tǒng)直接法軌跡優(yōu)化解算結(jié)果沒有一階必要性條件保證，解算過程易陷入局部最優(yōu)，對(duì)優(yōu)化初值的選取有較高要求。因此，在高度復(fù)雜的非線性著陸動(dòng)力學(xué)背景下，如何采用全局逼近技術(shù)對(duì)著陸軌跡進(jìn)行精確逼近，并尋找合理轉(zhuǎn)化方法，保證求解問題的等價(jià)性和最優(yōu)性，是處理著陸非線性問題的有效途徑。

2.2 復(fù)雜著陸軌跡約束下著陸軌跡優(yōu)化研究現(xiàn)狀

綜合考慮飛行器安全、著陸精確性、飛行器控制能力等因素，行星著陸軌跡優(yōu)化需引入路徑約束、邊界條件約束和控制約束等復(fù)雜約束條件。這些約束條件顯著影響軌跡優(yōu)化問題的可行域，進(jìn)而影響軌跡優(yōu)化算法的收斂性。

傳統(tǒng)軌跡優(yōu)化方法通常將復(fù)雜約束條件轉(zhuǎn)化為不等式約束(路徑約束)或等式約束(邊界條件約束)，進(jìn)而通過罰函數(shù)法[40]、拉格朗日乘子法[30]等方法進(jìn)行求解。這些方法在處理不同約束條件時(shí)具備較好的通用性和適應(yīng)性，獲得了廣泛的應(yīng)用。但在大量非線性約束條件的共同作用將導(dǎo)致軌跡優(yōu)化問題的可行域極為復(fù)雜，進(jìn)而對(duì)軌跡優(yōu)化算法的收斂性和精確性帶來顯著影響。

近年來相關(guān)研究成果表明，采用凸優(yōu)化方法求解復(fù)雜約束條件下著陸軌跡優(yōu)化問題時(shí)，在求解精度和計(jì)算效率方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。尤其是內(nèi)點(diǎn)法在求解凸優(yōu)化問題時(shí)能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)，以給定精度完成問題的求解[44]，并成功應(yīng)用于不同航天任務(wù)背景的軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)算法設(shè)計(jì)問題[29, 37, 45-46]。文獻(xiàn)[15]綜合動(dòng)力下降過程中的燃料消耗、避障約束、著陸視場(chǎng)角約束等多種因素，依據(jù)著陸動(dòng)力學(xué)，通過分析動(dòng)力下降軌跡特性，設(shè)計(jì)出滿足避障約束的著陸凸軌跡。針對(duì)行星著陸過程中復(fù)雜約束條件下的軌跡優(yōu)化問題，“矢量軌跡”方法[47]通過軌跡的矢量描述、約束的矢量表達(dá)、規(guī)劃的矢量求解，將非凸幾何約束著陸軌跡優(yōu)化問題，轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題實(shí)現(xiàn)快速求解。針對(duì)小天體著陸過程中存在的非線性動(dòng)力學(xué)以及復(fù)雜非凸約束(路徑約束和邊界約束)，文獻(xiàn)[29]通過將動(dòng)力學(xué)線性化、變量代換和變量松弛技術(shù)，將小天體著陸問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題進(jìn)行求解，顯著提高了軌跡優(yōu)化問題的解算效率和求解精度。

采用凸優(yōu)化方法進(jìn)行著陸軌跡優(yōu)化時(shí)，通常將包含狀態(tài)的非凸路徑不等式約束通過局部泰勒展開轉(zhuǎn)化為線性不等式約束或者二階錐約束[46]，而對(duì)非凸控制約束采用變量松弛方法加以轉(zhuǎn)化。非凸控制約束通常可描述為

(1)

圖5 大氣制動(dòng)控制變量的松弛方法[46]Fig.5 Control variable slack method for atmospheric entry[46]

圖6 動(dòng)力制動(dòng)控制變量的松弛方法[34]Fig.6 Control variable slack method for powered descent landing

行星著陸中存在大量狀態(tài)耦合約束。狀態(tài)變量的迭代更新將導(dǎo)致上述狀態(tài)耦合約束的改變，進(jìn)而反作用于軌跡優(yōu)化的狀態(tài)迭代更新。因此，存在狀態(tài)耦合約束的優(yōu)化問題中，需采用序列優(yōu)化求解技術(shù)。在行星著陸軌跡優(yōu)化問題中，常見的狀態(tài)耦合約束主要有兩類，文獻(xiàn)[29]和文獻(xiàn)[37]分別針對(duì)小天體軟著陸和行星大氣進(jìn)入過程中，不規(guī)則引力場(chǎng)、氣動(dòng)加速度隨狀態(tài)的耦合約束，采用序列優(yōu)化技術(shù)對(duì)著陸軌跡進(jìn)行凸優(yōu)化求解，使帶有狀態(tài)耦合約束的非凸問題得以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進(jìn)行快速求解。但同時(shí)，采用多次迭代的序列優(yōu)化技術(shù)也顯著增大了運(yùn)算量。

2.3 不確定環(huán)境下著陸軌跡優(yōu)化研究現(xiàn)狀

行星著陸過程中，著陸環(huán)境決定飛行器動(dòng)力學(xué)行為和軌跡特性，主要包含大氣環(huán)境、引力場(chǎng)環(huán)境、地形環(huán)境等。著陸環(huán)境存在建模誤差、擾動(dòng)等多種不確定因素，在軌跡優(yōu)化過程中，研究和分析環(huán)境不確定性對(duì)著陸軌跡的影響，對(duì)提高著陸精度有著重要意義。

由于大氣制動(dòng)過程中存在顯著的環(huán)境不確定性，因此抑制不確定性影響[19, 48-49]是軌跡優(yōu)化的重要目標(biāo)。Cui等[19]針對(duì)火星大氣進(jìn)入過程中存在的復(fù)雜擾動(dòng)，提出一種基于線性協(xié)方差的大氣進(jìn)入軌跡優(yōu)化方法，在傳統(tǒng)的優(yōu)化進(jìn)入段末端高度的基礎(chǔ)上，以減小進(jìn)入過程中的環(huán)境擾動(dòng)對(duì)開傘高度的影響為指標(biāo)，并考慮了熱流、過載等路徑約束，采用GPOPS工具箱進(jìn)行了相關(guān)的軌跡優(yōu)化工作。Li等[49]提出了一種基于脫敏最優(yōu)控制和直接配點(diǎn)法-非線性規(guī)劃法的火星大氣進(jìn)入段軌跡規(guī)劃方法，該方法考慮了氣動(dòng)參數(shù)不確定以及軌跡跟蹤性能的影響。由于該方法規(guī)劃的標(biāo)稱軌跡對(duì)進(jìn)入過程中的擾動(dòng)和不確定性不敏感，使得對(duì)于低升阻比探測(cè)器而言，相應(yīng)的軌跡跟蹤律設(shè)計(jì)難度大大降低。小天體動(dòng)力制動(dòng)著陸過程中存在極強(qiáng)的不確定性，探測(cè)器受到來自小天體引力攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓攝動(dòng)、第三體引力攝動(dòng)、不規(guī)則引力攝動(dòng)等不同攝動(dòng)源影響。針對(duì)小天體著陸過程中的不確定弱引力場(chǎng)對(duì)精確著陸的影響，Hu等[36]將脫敏最優(yōu)控制的方法引入小天體著陸軌跡優(yōu)化中，通過誤差協(xié)方差分析構(gòu)建脫敏最優(yōu)性能指標(biāo)，并采用Gauss偽譜法進(jìn)行軌跡的優(yōu)化求解。以上述工作為代表的軌跡優(yōu)化研究成果，在基于傳統(tǒng)確定性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化性能指標(biāo)基礎(chǔ)上，將不確定性的影響進(jìn)行定量化并引入軌跡優(yōu)化問題中，能夠在不確定條件下，提高著陸軌跡精確性。由于不確定因素的影響指標(biāo)(如靈敏度、線性協(xié)方差等)與確定性系統(tǒng)的性能指標(biāo)(如末端高度、燃耗等)之間存在相互權(quán)衡的問題。當(dāng)側(cè)重考慮不確定性的影響時(shí)，將不可避免地導(dǎo)致最優(yōu)軌跡的保守性增強(qiáng)，進(jìn)而損失原有的確定性系統(tǒng)的指標(biāo)最優(yōu)性。同時(shí)，在研究中，不確定性影響因素的統(tǒng)計(jì)特性假設(shè)，對(duì)最終結(jié)果的有效性起著至關(guān)重要的影響。由于導(dǎo)航系統(tǒng)性能是影響參數(shù)不確定度的因素之一，導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)度與大氣進(jìn)入導(dǎo)航性能密切相關(guān)，以可觀測(cè)度性能指標(biāo)優(yōu)化進(jìn)入軌跡，是提高導(dǎo)航系統(tǒng)性能的重要手段[50]。

能控性和能達(dá)性分析方法是處理不確定環(huán)境中著陸軌跡優(yōu)化的有效途徑。能控性和能達(dá)性是反映著陸軌跡邊界條件和動(dòng)力學(xué)特性的兩個(gè)重要方面[51-52]：在滿足所有動(dòng)力學(xué)約束和路徑約束的條件下，反映能控性的能控集合是指給定末端狀態(tài)約束的所有初始狀態(tài)所構(gòu)成的集合；反映能達(dá)性的能達(dá)集合是指給定初始狀態(tài)約束的所有末端狀態(tài)所構(gòu)成的集合。通過能控集和能達(dá)集的求解，可直觀反映滿足邊界條件的所有進(jìn)入軌跡的空間分布，進(jìn)而為初始狀態(tài)/末端狀態(tài)的選取提供依據(jù)。行星大氣進(jìn)入走廊就是能控集合的一個(gè)重要形式[53]。由于能控集與能達(dá)集的計(jì)算過程中涉及大量的軌跡計(jì)算，從而引出如下兩個(gè)問題：1)由于著陸動(dòng)力學(xué)的非線性，滿足給定邊界條件的著陸軌跡通常不止一條，這對(duì)分析能控/能達(dá)集中的軌跡特性及相關(guān)規(guī)律帶來不便，通過采用選取相關(guān)性能指標(biāo)進(jìn)行軌跡優(yōu)化可有效解決這一問題[48, 51]；2)大量軌跡計(jì)算使能控/能達(dá)集的求解過程異常耗時(shí)，而通過以能控/能達(dá)集邊界作為性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化求解，是獲得能控/能達(dá)集的一種高效易行的方法[54]。因此，上述兩個(gè)問題的存在使得軌跡優(yōu)化方法稱為能控/能達(dá)集計(jì)算中的重要手段。

圖7 行星著陸能控集合[48]Fig.7 Controllable set for planetary landing[48]

3 著陸軌跡優(yōu)化關(guān)鍵技術(shù)

3.1 非線性動(dòng)力學(xué)的等價(jià)/近似變換技術(shù)

由于大氣環(huán)境、引力場(chǎng)環(huán)境的特殊性，行星著陸動(dòng)力學(xué)具有較強(qiáng)的非線性特征。依據(jù)行星著陸動(dòng)力學(xué)特征，進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)的等價(jià)/近似變換是進(jìn)行軌跡優(yōu)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在現(xiàn)有的局部逼近和全局逼近方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究非線性動(dòng)力學(xué)的變換技術(shù)，在逼近精度、解算效率、收斂條件等方面提升軌跡優(yōu)化方法的綜合性能。

3.2 復(fù)雜約束條件下的最優(yōu)軌跡快速求解技術(shù)

行星著陸軌跡優(yōu)化問題中，存在邊界約束、路徑約束和控制約束等復(fù)雜約束條件。這些約束條件對(duì)優(yōu)化問題的可行域和收斂性具有顯著影響，進(jìn)而顯著影響軌跡優(yōu)化的解算效率。凸優(yōu)化方法在收斂性、快速性等方面具有顯著優(yōu)勢(shì)，但在復(fù)雜約束條件下獲得普適等效凸化模型是制約其應(yīng)用的技術(shù)瓶頸。

3.3 不確定條件下的能控/能達(dá)性分析技術(shù)

在行星著陸中存在多種不確定因素，對(duì)著陸動(dòng)力學(xué)和著陸軌跡的顯著擾動(dòng)作用。因此，將確定性系統(tǒng)的能控/能達(dá)性分析方法引入不確定條件下的著陸軌跡問題分析，對(duì)于選擇初始狀態(tài)和著陸點(diǎn)，分析標(biāo)稱軌跡性能、揭示不確定條件下的運(yùn)動(dòng)行為具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)束語

隨著行星探測(cè)活動(dòng)的不斷深入，著陸軌跡規(guī)劃的應(yīng)用領(lǐng)域和優(yōu)化目標(biāo)也隨之?dāng)U展：傳統(tǒng)軌跡規(guī)劃以飛行時(shí)間、燃料消耗、末端飛行高度等反映飛行品質(zhì)的軌跡參數(shù)為性能指標(biāo)。由于地外天體著陸過程中導(dǎo)航信息源嚴(yán)重受限，制導(dǎo)控制系統(tǒng)先驗(yàn)信息不確定性大，近年來，以導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)度、不確定參數(shù)靈敏度等為性能指標(biāo)的軌跡優(yōu)化方法逐漸受到重視，以應(yīng)對(duì)地外天體著陸所特有的導(dǎo)航欠觀測(cè)問題和動(dòng)力學(xué)不確知環(huán)境。此外，以軌跡優(yōu)化為基礎(chǔ)的能控集/能達(dá)集計(jì)算方法在著陸初始狀態(tài)、著陸目標(biāo)點(diǎn)選擇、不確定參數(shù)影響分析等任務(wù)設(shè)計(jì)層面發(fā)揮了重要作用。

凸優(yōu)化方法由于在解算快速性與收斂性方面的優(yōu)勢(shì)，近年來在行星著陸軌跡優(yōu)化領(lǐng)域受到廣泛重視。但該方法對(duì)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)形式有嚴(yán)格要求。因此，結(jié)合著陸動(dòng)力學(xué)、約束條件的特點(diǎn)，尋求軌跡優(yōu)化問題的普適等效凸化方法，是提高凸優(yōu)化方法解算適應(yīng)性的重要技術(shù)途徑。