地月高能共振循環軌道的快速計算及最優選擇

鄭 越，泮斌峰，唐 碩

(1.西安航空學院，西安 710077；2. 西北工業大學航天學院，西安 710072)

0 引 言

地月循環軌道是周期性往返于地球與月球之間并在地球和月球附近不做停留的一類周期軌道。運行在循環軌道上的探測器不需要軌道機動或只需進行少量軌道機動即可運載人員和物資往返于地月之間。與直接轉移相比，循環飛行器能夠被重復使用，轉移過程中不需要消耗大量能量重新將星際轉移飛行器從地面運送到星際轉移入軌點。因此，循環軌道可以用于完成長期的、持續的月球探測任務，是一種有研究價值和發展潛力的軌道轉移方案。

地月循環軌道最早在1957年由Egorov[1]發現。隨后，研究人員找到了更多的軌道[2-4],其中最有實踐價值的是1963年Arenstorf[5-6]發現的兩條軌道，這兩條軌道被命名為Arenstorf軌道，后來被用于阿波羅計劃。Anthony等[7]對不同循環軌道的特征進行了歸納。在國內，楊雷等[8]提出了地月循環軌道重訪軌道空間站系統的概念，初步研究了基于空間站的載人月球探測飛行任務方案。張文博等[9]研究了地月循環軌道的動力學建模方法。羅宗富等[10]對一類特殊的地月循環軌道——雙月旁轉向軌道進行了研究。文獻[11-12]設計了周期軌道的一般計算方法，所計算出的軌道包括地月循環軌道。文獻[13]對地月系統下的軌道進行分類，并分析了地月循環軌道的低能轉移特性。文獻[14]通過不變流形實現不同共振比循環軌道的同宿連接。

在限制性三體問題中，當質量比參數μ→0時，周期軌道經變形后收斂于二體的非退化周期軌道，其中包括開普勒橢圓弧與碰撞奇點，碰撞奇點可以由質量較小的主天體的近似開普勒軌道替代。Poincaré[15]將變形后不包含碰撞奇點的開普勒軌道構成的周期軌道命名為第一類周期軌道，變形后包含碰撞奇點的開普勒軌道構成的周期軌道命名為第二類周期軌道。在地月三體系統中，與第一類周期軌道相比，第二類周期軌道的近月點距離月球較近，具有更高的工程應用價值。但是，月球相當于一個碰撞點，靠近碰撞點的開普勒橢圓軌道也會發生相應的形變。1968年，Hénon[16]根據受碰撞點影響的第二類周期軌道的組成弧段對第二類周期軌道族進行分類。2013年，Casoliva等[17]將地月循環軌道分為與月球公轉軌道具有一定共振關系的高能共振循環軌道和利用平動點而實現的低能循環軌道。滿足第二類周期軌道特性的高能共振循環軌道與月球距離較近，易于實現與月球停泊軌道的交會，且這類軌道與月球公轉具有共振特性，所以成為當前研究的重點。

針對滿足第二類周期軌道特性的地月高能共振循環軌道，目前的軌道計算方法主要有延拓法[18]和圓錐曲線拼接法[19]。延拓法根據二體系統下的開普勒橢圓軌道狀態量，通過質量比參數μ的逐漸增大而得到三體系統下的地月循環軌道。Casoliva等[20]根據探測器與月球的共振關系，通過延拓法計算出三體系統下的地月循環軌道。這種方法在逐漸增大μ的過程中，必須計算出一系列循環軌道后才能最終得到地月系統下的循環軌道，計算量較大。而且該方法在構造共振比大于2.3，即具有更小的近地點半徑和近月點半徑的地月循環軌道時會失敗。圓錐曲線拼接法根據開普勒橢圓軌道構建第二類周期軌道的初值。張文博[21]采用圓錐曲線拼接法，根據軌道弧段的分類設計了共振比為1∶1的五類地月系統循環軌道，并給出了最優軌道。該方法由于缺乏對軌道拓撲特性的分析，構造出的某些類型的地月循環軌道的共振特性發生了改變，而且尚未構造出共振比大于2.3的循環軌道。

針對現有的地月高能共振軌道計算方法所存在的計算量大、有可能改變共振特性和不能構造共振比大于2.3的軌道等缺點，本文提出一種高能共振循環軌道的快速計算方法。該方法根據開普勒橢圓軌道在受碰撞點影響后的組成弧段對滿足第二類周期軌道特性的地月高能共振循環進行分類；利用μ→0時二體開普勒橢圓軌道的共振比和拓撲結構，計算出三體系統下的地月高能共振循環軌道；最后，根據能量、穩定性、時間周期、距地球和月球的距離，選擇出適用于長期月球探測任務的最優軌道。

1 動力學模型

考慮地月圓型限制性三體問題(Circular restricted three-body problem，CRTBP)，質量可以忽略的探測器在地球和月球兩個主天體的引力作用下的運動，其中主天體繞其公共質心做勻速圓周運動[22-24]。歸一化地球質量m1和月球質量m2之比為單位質量(m1/m2=0.0123)，則：

(1)

(2)

其中：Ω為旋轉坐標系下的等效勢能：

(3)

設矢量r1,r2為探測器到兩個主天體的距離，有：

(4)

CRTBP系統中，存在雅可比積分如下：

(5)

在地月三體系統中，單位長度為地月之間的距離L=3.844×105km，單位時間為T=104 h，單位速度為V=1024 m/s。

2 軌道分類

在地月三體系統下，與質量比參數μ→0時的二體開普勒橢圓軌道相比，月球相當于一個碰撞點，開普勒橢圓軌道經過碰撞點附近時，軌道的部分弧段會在月球引力影響下而發生形變。根據軌道發生形變后的組成弧段，能夠對高能共振循環軌道的類型進行劃分。

圖1 軌道弧段Fig.1 Orbit arcs

根據受月球影響后飛行器軌道的組成弧段和運動方向，可將由S弧構成的高能共振循環軌道分為六類，其分類方法見表1。由于S弧對稱于開普勒橢圓軌道的拱線，則由S弧構成的循環軌道在旋轉坐標系下也具有對稱性。

表1 第二類周期軌道分類Table 1 Classification of second species period orbits

3 二體開普勒橢圓軌道

對于地月CRTBP，如果忽略月球質量，即質量比參數μ→0，系統近似為以地球為中心的二體系統。那么μ→0時的地月循環軌道在地心慣性坐標系下由開普勒橢圓軌道構成。根據軌道共振比，能夠得出μ→0情況下的地月循環軌道。

3.1 軌道共振比

在地月CRTBP下，假設質量比參數μ→0，則探測器做開普勒橢圓運動，并且其運動周期為：

(6)

其中:a為橢圓軌道半長軸，μE等價于地球質量，而在歸一化單位情況下，有μE=1。由于月球公轉周期TM=2π，所以探測器開普勒橢圓運動與月球公轉之間的共振比[25-26]為：

(7)

式中:p與q互質，表示軌道共振比，M與K分別表示探測器和月球運行的圈數，即探測器繞地球運轉M圈的同時，月球繞地球運轉K圈。開普勒橢圓軌道是在地心慣性坐標系下建立的。根據軌道共振特性，如果令橢圓軌道圍繞地球運轉M圈，則月球圍繞地球運轉K圈。那么，此時開普勒橢圓軌道在地月質心旋轉坐標系下也形成首尾相連的周期軌道，且軌道周期為：

T=2Kπ

(8)

根據式(6)和式(7)，可知開普勒軌道半長軸與軌道共振比之間的關系為：

(9)

因此，通過探測器和月球圍繞地球運行的圈數，可以得到循環軌道與月球公轉的共振比，進而計算出橢圓軌道半長軸，其結果見表2(共振比為互質數，如p∶q=M∶K=4∶2=2∶1)。

表2 探測器軌道半長軸(歸一化單位)與共振比的關系Table 2 Relation between the semimajor axis (normalized units) and resonances ratio of the spacecraft orbit

3.2 軌道特征參數

構造μ→0情況下的地月循環軌道需要篩選出適合的軌道共振比，所以需要考慮如下參數：

1)月球公轉圈數約束

月球公轉周期為27天。對于由開普勒橢圓軌道組成的循環軌道，軌道周期由月球公轉圈數來決定。在空間轉移任務中，尤其是循環軌道用于載人任務時，通常希望軌道周期盡可能短。

2)半長軸約束

一方面，考慮探測器軌道最小近地點距離rPEmin=0.017(距地球表面167 km)，最小近月點距離rPMmin=0.0048(距離月球表面100 km)，則開普勒橢圓軌道的長軸半徑必須滿足如下關系：

2a>1+rPEmin+rPMmin

(10)

另一方面，開普勒橢圓軌道的半長軸不宜過大，因為過大的半長軸意味著較遠的近地點或者近月點距離，也會帶來較高的轉移能耗和較長的周期。

3.3 開普勒循環軌道

綜合構造循環軌道時需要的軌道特征參數條件，參照表2，選擇共振比為2∶1和5∶2的開普勒橢圓軌道。

對地月三體系統下循環軌道進行建模，需要先根據CRTBP動力學方程和軌道共振比構造出在μ→0情況下的循環軌道，再根據軌道狀態量將其擴展到μ=0.01215的CRTBP動力學方程。設μ→0時開普勒橢圓軌道近地點距離為rPE，遠地點距離為rAE，則有：

rPE+rAE=2a

(11)

圖2為μ→0時地月系統的開普勒橢圓軌道，近地點和遠地點分別為P和Q，由于地月之間的距離rEM=1，則遠地點到月球軌道的距離rQM能夠通過下式計算：

圖2 地月系統μ→0時的開普勒軌道Fig.2 Keplerian orbits in the Earth-Moon system when μ→0

rQM=rAE-rEM=2a-rPE-1

(12)

對于共振比為2∶1和5∶2的橢圓軌道，近月點rPM=rQM，根據最小近地點距離和最小近月點距離，可以得到rPE和rPM的取值范圍為：

(13)

而軌道的近地點和近月點滿足如下關系：

rPE+rPM=2a-1

(14)

在μ→0的情況下構造循環軌道需要給出軌道初始狀態和軌道周期。循環軌道的周期為2qπ，軌道初始狀態的設置分為順行和逆行兩種情況，軌道在質心旋轉坐標系下的初始狀態分別為：

(15)

只要近地點和近月點距離選擇合適，便可通過微分修正迭代得到循環軌道。令rPE=rPM=(2a-1)/2，相應的可以得到rAE=2a-rPE。圖3、圖4、圖5和圖6分別為地月系統下μ→0時的開普勒橢圓軌道在質心旋轉坐標系(‘o’代表軌道起點)和地心慣性坐標系(‘o’和‘+’分別代表軌道起點和終點)下的運動軌跡。其中，圖3和圖4分別為共振比為2∶1的開普勒順行和逆行軌道；圖5和圖6分別為共振比為5∶2的開普勒順行和逆行軌道。

圖3 共振比為2∶1的順行開普勒軌道Fig.3 Prograde Keplerian orbits with resonance ratio 2∶1

圖4 共振比為2∶1的逆行開普勒軌道Fig.4 Retrograde Keplerian orbits with resonance ratio 2∶1

圖5 共振比為5∶2的順行開普勒軌道Fig.5 Prograde Keplerian orbits with resonance ratio 5∶2

圖6 共振比為5∶2的逆行開普勒軌道Fig.6 Retrograde Keplerian orbits with resonance ratio 5∶2

4 高能共振軌道的計算

在地月CRTBP中，當忽略月球引力時，三體系統下的循環軌道可以演變為二體系統下圍繞地球運行數圈的開普勒橢圓軌道，且循環軌道與月球公轉周期存在嚴格的共振比；如果對二體系統下開普勒橢圓軌道引入月球擾動，橢圓軌道運行至月球附近時會發生形變，二體系統下由開普勒軌道組成的循環軌道也會根據月球引力的影響而演變成不同的軌道類型。本節將μ→0情況下的二體開普勒軌道演變到μ=0.01215下的地月CRTBP中，并根據軌道類型計算出相應的地月循環軌道。

4.1 拓撲結構分析

當循環軌道存在共振特性時，其共振比可根據軌道周期和軌道以地球為中心的卷繞數[27-28]來計算。循環軌道的卷繞數W(γ,H)是一個整數，表示循環軌道γ繞定點H運動的總圈數。如果軌道沿逆時針方向運動，則卷繞數為正數；如果軌道沿順時針方向運動，則卷繞數為負數。設循環軌道的周期為T，則探測器和月球繞地球旋轉的圈數M和K分別為:

(16)

同一弧段類型的循環軌道如果在旋轉坐標系下有相同的卷繞數，則在慣性坐標系下就有相同的共振比。當質量比參數從μ→0演變到μ=0.01215時，相對于地球，循環軌道也必然保持相同的拓撲結構。所以，可將循環軌道在旋轉坐標系下的卷繞數作為計算三體系統下循環軌道的條件。

與表2中不同類型的地月循環軌道相對應，可將循環軌道卷繞數作為計算循環軌道的判斷條件。本文研究共振比為2∶1和 5∶2的地月循環軌道。根據式(16)可判斷：AⅠ類和BⅠ類循環軌道逆時針繞地心運行一圈；AⅡ類和BⅡ類循環軌道順時針繞地心運行三圈。C類軌道在一個周期內通過月球正面和背面，因此可認為是由軌道運行方向相同的A類和B類循環軌道組成，周期為4π的C類循環軌道的共振比為2∶1。其中，CⅠ類軌道逆時針繞地心運行兩圈；CⅡ類軌道順時針繞地心運行六圈。

4.2 時間條件

在地月CRTBP下，假設μ→0，則探測器運行軌道為開普勒橢圓軌道。μ從μ→0增大到μ=0.01215，系統引入月球擾動。當探測器運行至月球附近時，開普勒軌道受月球引力的影響會發生形變而演化出CRTBP下的循環軌道。根據軌道的形變，可估計μ=0.01215時地月循環軌道的周期。

AⅠ類和AⅡ類循環軌道的近月點出現在月球背面；BⅠ類和BⅡ類循環軌道的近月點出現在月球正面；CⅠ類和CⅡ類循環軌道在一個周期內分別經過月球正面和反面。由此可知：AⅠ類和AⅡ類循環軌道由橢圓軌道及其一段內弧組成；BⅠ類和BⅡ類循環軌道由橢圓軌道及其一段外弧組成；CⅠ類和CⅡ類循環軌道由橢圓軌道及其內弧和外弧共同組成。所以，C類軌道的時間周期近似于月球公轉周期的整數倍，A類、B類軌道的時間周期需要通過計算來預估。

圖7為地月三體系統下A類和B類循環軌道運行軌跡示意圖。橢圓軌道的長軸連接近地點P和遠地點Q并與月球公轉圓軌道交于點N。以新演化出的循環軌道的近月點S0為起點，則S0與月球公轉的起點M0和地心E位于同一條直線上，那么軌道的近月點距離為rS0M0。設循環軌道的終點為S1，則將S1與地心連接，連線與月球軌道相交于M1，因此不同類型的循環軌道的時間周期可以近似為：

圖7 地月CRTBP中不同類型的循環軌道示意圖Fig.7 Different types of cycler in the CRTBP

AⅠ類：T=TS0PS1+2π(p-1)a3/2=2qπ-TM1NM0

AⅡ類：T=TS0PS1+2π(p-1)a3/2=2qπ+TM0 NM1

BⅠ類：T=TS0QS1+2π(p-1)a3/2=2qπ+TM0 NM1

BⅡ類：T=TS0QS1+2π(p-1)a3/2=2qπ-TM1 NM0

CⅠ、CⅡ類：T=2π(p-1)a3/2=2qπ

其中：

TM0 NM1=TM1NM0=4θπ

(17)

令橢圓軌道中除了地心外的另一個焦點為F，則地心E與F之間的距離為:

rEF=2(a-rPE)

(18)

設置近月點距離為rM0S0，地心與近月點S0之間的距離為:

(19)

那么S0與F之間的距離rS0F可以通過下式計算：

rS0F=2a-rES0

(20)

由此可以通過余弦公式計算出θ的值，進而預估地月循環軌道的周期。

4.3 計算方法

對于地月CRTBP，μ=0.01215時的地月循環軌道是μ→0情況下的共振軌道通過月球附近時因月球引力導致軌道變形而得到的。盡管二體開普勒橢圓軌道演變為三體系統下的循環軌道時，通常會因為受到月球引力的影響而改變軌道的近月點高度，但是它們具有相同的拓撲結構。所以，三體系統下的循環軌道狀態量可通過二體開普勒橢圓軌道來預估。

循環軌道的計算方法通過以下三步實現：

1) 選定循環軌道類型和近月點距離rS0M0， 根據時間條件估計循環軌道的周期，軌道初始點速度的大小通過二體開普勒橢圓軌道組成的參考周期軌道的雅可比常數C來估算的，速度方向垂直向下。

2) 以μ→0情況下的二體開普勒橢圓軌道的拓撲結構作為參考周期軌道，根據估算時間和卷繞數，利用微分修正法計算出地月循環軌道。

3) 如果通過微分修正法不能計算得到循環軌道，則回到步驟(1)，調整二體開普勒橢圓軌道的近月點距離，直到計算出地月循環軌道為止。

圖8、圖9、圖10、圖11、圖12和圖13分別為通過2∶1共振軌道演化得到的不同類型的循環軌道；圖14、圖15、圖16和圖17分別為通過5∶2共振軌道演化得到的不同類型的循環軌道。循環軌道的近月點距離月球表面均為10000 km。

圖8 共振比為2∶1的AⅠ類地月循環軌道Fig.8 Type AⅠ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖9 共振比為2∶1的AⅡ類地月循環軌道Fig.9 Type AⅡ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖10 共振比為2∶1的BⅠ類地月循環軌道Fig.10 Type BⅠ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖11 共振比為2∶1的BⅡ類地月循環軌道Fig.11 Type BⅡ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖12 共振比為2∶1的CⅠ類地月循環軌道Fig.12 Type CI Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖13 共振比為2∶1的CⅡ類地月循環軌道Fig.13 Type CⅡ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖14 共振比為5∶2的AⅠ類地月循環軌道Fig.14 Type AⅠ Earth-Moon cyclers with 5∶2 resonance

圖15 共振比為5∶2的AⅡ類地月循環軌道Fig.15 Type AⅡ Earth-Moon cyclers with 5∶2 resonance

圖16 共振比為5∶2的BⅠ類地月循環軌道Fig.16 BⅠ Earth-Moon cyclers with 5∶2 resonance

圖17 共振比為5∶2的BⅡ類地月循環軌道Fig.17 Type BⅡ Earth-Moon cyclers with 5∶2 resonance

將本文方法與現有方法相比較。文獻[20]將二體系統下的橢圓軌道初始狀態作為計算初值，利用延拓法，通過不斷增加μ計算出不同共振比的地月循環軌道。該方法計算量大，且在構造共振比大于2.3的軌道時未取得成功。文獻[21]計算了共振比為2∶1的地月高能共振循環軌道，但是所得到的軌道中，BⅠ類和BⅡ類軌道的共振比發生了改變。本文方法能夠準確、快速、有效的計算出地月高能共振循環軌道，其中包括共振比為5∶2的軌道(共振比大于2.3)。

4.4 軌道延拓

軌道延拓是通過延拓法得到與已知軌道相關的一族軌道。方法是選擇軌道初始狀態參數作為延拓參數，改變延拓參數，并利用微分修正法對其進行計算，從而得到與已知參考軌道相關的軌道族[29]。

最常用的延拓法為參數延拓法，通常選取有明確物理意義的延拓參數，例如位置參數、雅可比常數。為了保證軌道能夠延拓成功，參數的改變不能過大。圖18和圖19分別為通過共振比為2∶1和5∶2的不同類型的地月循環軌道改初始位置后延拓得到的一系列循環軌道。

圖18 不同類型地月循環軌道的延拓(共振比2∶1)Fig.18 Continuation of different types of Earth-Moon cyclers (2∶1 resonance)

圖19 不同類型地月循環軌道的延拓(共振比5∶2)Fig.19 Continuation of different types of Earth-Moon cyclers (5∶2 resonance)

5 最優軌道選擇

在地月CRTBP中，存在無數個地月循環軌道，需要綜合軌道的各項性能指標，找出適用于長期地月任務的循環軌道。

衡量地月循環軌道優劣的指標主要有能量、穩定性、時間周期、距離地球和月球的距離等。其中，軌道的能量直接決定了其用于地月轉移時能耗的大小。顯然，逆行軌道比順行軌道具有更高的能量，軌道轉移時也相應的需要更高的能耗。因此，用于地月任務的循環軌道只考慮順行軌道。圖20、圖21、圖22、圖23和圖24分別為共振比為2∶1的AⅠ類循環軌道、共振比為2∶1的BⅠ類循環軌道、共振比為5∶2的AⅠ類循環軌道、共振比為5∶2的BⅠ類循環軌道和共振比為2∶1的CⅠ類循環軌道的近地點距離地表高度、周期、雅可比常數和穩定判據隨近月點距離月球表面高度變化時的性能指標。根據穩定性判據，不能到達月球背面的BⅠ類軌道不穩定，容易受到小擾動的影響，不適用于長期地月任務，所以只有AⅠ類和CⅠ類軌道可選擇。再進一步對比循環軌道的各項指標，當CⅠ類軌道穩定時，近地點距離地球表面高度dM>25000 km，該類軌道不適用于實現地月轉移任務。因此，可供選擇的只有AⅠ類循環軌道。

圖20 共振比2∶1的AⅠ類循環軌道的不同狀態量隨近月點高度的變化Fig.20 Variation of different state of type AⅠ cyclers with 2∶1 resonance as the increasing perilune distance

圖21 共振比2∶1的BⅠ類循環軌道的不同狀態量隨距離月球表面高度的變化Fig.21 Variation of different states of type BⅠ cyclers with 2∶1 resonance as the increasing perilune distance

圖22 共振比5∶2的AⅠ類循環軌道的不同狀態量隨距離月球表面高度的變化Fig.22 Variation of different states of type AⅠ cyclers with 5∶2 resonance as the increasing perilune distance

圖23 共振比5∶2的BⅠ類循環軌道的不同狀態量隨距離月球表面高度的變化Fig.23 Variation of different states of type BⅠ cyclers with 5∶2 resonance as the increasing perilune distance

圖24 共振比2∶1的CⅠ類循環軌道的不同狀態量隨距離月球表面高度的變化Fig.24 Variation of different states of type CⅠ cyclers with 2∶1 resonance as the increasing perilune distance

根據圖22(d)可知，滿足穩定性判據|s|<2的地月循環軌道距月球表面距離dM的可選區間為[11500 km,15400 km]。由圖22可知，在該區間內，地月循環軌道距月球表面距離越遠，軌道距離地球表面越近，軌道周期越長，雅可比積分越小。在地月循環軌道的近地點和近月點，通過施加脈沖能夠分別實現與地球停泊軌道和月球停泊軌道之間的轉移[30]。圖25為dM∈[11500 km，15400 km]情況下探測器從地球停泊軌道進入地月循環軌道和從地月循環軌道進入月球停泊軌道時所需要的脈沖。與探測器從地球停泊軌道進入循環軌道所需要的脈沖量相比，探測器從不同高度的循環軌道進入月球停泊軌道所需要的脈沖量非常接近。所以，在保證穩定性的前提下，循環軌道近月點距月球越近，其近地點距地球越遠，轉移過程中所需要的總能耗越低；循環軌道近月點距月球越遠，其近地點距地球越近，轉移過程中所需要的總能耗越高。當dM=11500 km時，近地點距離地表高度dE=2588 km，探測器從地球停泊軌道進入循環軌道所需要的能耗為ΔvE=2636 m/s，探測器從循環軌道進入月球停泊軌道所需要的能耗為ΔvM=574 m/s，整個轉移過程所需要的能耗最低，為3210 m/s；當dM=15400 km時，dE=1358 km，近地點距離地球最近，探測器從地球停泊軌道進入循環軌道所需要的能耗為ΔvE=2848 m/s，探測器從循環軌道進入月球停泊軌道所需要的能耗為ΔvM=576 m/s，整個轉移過程所需要的能耗為3424 m/s。

圖25 共振比5∶2的AⅠ類循環軌道隨近月點高度變化時所需要的脈沖量Fig.25 The required pulses for type AⅠ cyclers with 5∶2 resonance as the increasing perilune distance

文獻[21]從共振比為2∶1的AⅠ類軌道中選擇出合適的軌道用于循環方案，其優點是穩定性高、周期短，但是其近地點半徑和近月點半徑過大，分別為72326 km和67674 km。本文所構造的共振比為5∶2的AⅠ類軌道盡管周期稍長，但其具有較小的近地點半徑和近月點半徑，更適合在地球和月球間進行軌道轉移。另外，由于文獻[21]中所選擇的地月循環軌道距離地球過遠，需要額外增加一段軌道來實現循環軌道的入軌設計。當探測器從距離地表500 km的地球停泊軌道出發時，探測器從地球停泊軌道進入循環軌道所需要的能耗為3411 km/s，轉移時間約為6天，且未考慮探測器從循環軌道進入月球停泊軌道所需要的能耗。與之相比，本文選擇的循環軌道的近地點半徑和近月點半徑較小，可以通過一個脈沖量直接實現循環軌道與地球停泊軌道和月球停泊軌道之間的轉移，不需要入軌的過渡時間，且轉移過程中所需要的能耗較低。

6 結 論

本文以二體開普勒橢圓軌道為參考，根據軌道共振比與半長軸的關系對地月高能共振循環軌道進行了構造，快速計算出圓型限制性三體問題下地月高能共振循環軌道的初始狀態。克服了現有方法存在計算量大、有可能改變共振特性和不能構造共振比大于2.3的地月循環軌道等缺點。將能量、穩定性、時間周期、近地點高度和近月點高度作為衡量地月循環軌道優劣的指標，對高能共振循環軌道進行了最優選擇。本文研究的高能共振循環軌道對長期月球探測任務的實現具有重要的意義，下一步需要將現有成果推廣到三維空間內，并進一步對結構較為復雜的地月循環軌道進行研究。