高等數學教學中數學思維培養對策探析

羅瓊

（黔南民族師范學院，貴州 都勻）

高等數學是高校數學教學的重點課程，高等數學的學科難度要比高中數學在深度和難度上有著質的區別，必須有一定的思維能力。就高等數學的教學工作而言，現階段大部分高校采用的教學方法非常單一，整體教學創新思維運用不足，學生的積極性不夠，整體課程內容和文化教育有待進一步完善。

一 高等教學中的數學思維概述

（一）抽象思維

抽象思維在高等數學整體教育思想中的發散是重點發展規劃。在高校數學教育中，抽象思維的關鍵是邏輯思維與數學思維的延伸，表達數學思維本質的過程和客觀性的發展。在高等數學課程中，理論內容是根據不斷總結的數學思維案例的呈現推導出來的，并通過總結發現與規則相同的特征。例如，在高等數學的定積分理論中，可以表示為平面坐標的某個區域內的函數圖像的一個區域，其上下限是為A、B兩個端點的坐標，所以可以找到定積分的本質。它是象限的分割，但就著名的牛頓布蘭尼茨定理的表述而言，可以在其中找到思想理論的應用。通過將這個定理延伸到定積分的表現形式與積分相連，得出一個精確的概念[1]。

（二）具象思維

具象思維的行為主體貼近形象和表象，重點是人們對客體形象的認知。在認識世界的過程中，分析物體的形狀和實際特征、進行分析、總結、整合。最后產生了一種視覺化的思維方式。在處理問題時，這種心態會迅速而直觀地揭示其本質。因此，在高等數學教育中，要塑造學生對數學的主觀辨別能力，就必須注重具象思維的正確引導和生成[2]。

例如，在學習《一元復合函數及多元復合函數求導》這門課時，由于函數中的變量很多，所以在推導過程中有許多復雜的應答程序。這時候可以應用具象思維，先把問題用樹形圖的形式表達出來，再按照推理的方法一步步進行推理，這樣即使是復雜的函數公式也可以很容易求解。

（三）辯證思維

辯證思維一般被認為是相對于邏輯思維的一種思維方式。它以事物的客觀聯系為基礎，根據客觀現實的辯證思維得出相應的結果。辯證思維在高等數學課程的內容中無處不在，比如高等數學的直線和曲線。在人們的基本常識中，直線和曲線的定義不同，但是在高級幾何標準下，直線和曲線的定義是一樣的，把直線變成曲線是學習微積分的重要知識點。因此，在高等數學學習中，辯證思維通常可以幫助學生應對很多困難。

（四）創新思維

創新思維是一種具有自身思維特點的思維方式。一般是根據客觀事實和現有理論產生的，創新思維是在其他思維的基礎上通過創造性發散而產生的。在一定程度上，創新思維可以說是實踐思維、辯證思維和抽象思維的綜合，也是高等數學答題思維最重要的部分。高等數學教育關注學生創新思維的形成，不設水平要求，無論價值如何，如果學生在學習中能自發總結出新邏輯思維或創新已有的數學思維，那就是創新性的突破[3]。

二 高等數學教學中數學思維培養存在的問題

數學思維在教育心理學中理解為：“一種提供新穎而有價值的思維結果的心理過程。和其他邏輯思維一樣，它不僅僅是分析、整合、比較、抽象和概括，又是協調各種思維形式的綜合。”數學思維與其他思維的區別在于強調用新的認知方法，從不同的角度對客觀事物進行概括和把握。有研究人員指出，目前我國高校高等數學教育以應試教育為主，教育強調知識點解釋、理論推導和計算方法，但創新教育存在明顯缺陷。作者根據多年高等數學教學經驗和與同行業交流，高等數學課堂教學中塑造數學思維的難點問題總結如下：

（一）教育模式落后，缺乏新觀念

高校高等數學教育模式單一，大部分教學課堂仍是傳統的“概念-實例-實踐-總結”為了更好地確保教師完成日常工作，教師往往會忽視學生的感受，教師在課堂上提出的問題較少，教師提出的問題多是基于記憶的問題，要求學生回答的問題也多為要素、定義、公式計算等等，教師只注重專業知識的傳授。采用以教師為中心的教學方法，缺乏師生互動。教師不能根據學生的學習情況，給予詳細的、有目的的具體指導。在學習過程中，學生主要是被動的接受者。學生的主體位置沒有得到充分發揮。教師很少關注學生在課堂教學中的參與，學生也很少有機會發表不同的意見和建議。換言之，數學思維涉及創新思維，而差異性是創新思維能力最本質的特征。因此，其邏輯思維的培養與其他思維培養有著顯著的不同。教師可以改變思維培養方式，而無需遵循舊的方式。在當今高等數學的教學方法中，學生很少有機會表達與老師不同的想法和觀點，更不可能培養創新思維[4]。

（二）教育內容陳舊，缺乏新內容

現階段大學數學的教學內容和課程不能滿足其他課程對數學思維的要求。目前高等數學教材廣泛關注基礎理論的準確性和數理系統的相關性。在高等數學中，許多概念、公式、定理的產生都有實踐背景，但按照完整的知識體系編入教科書時，是高度抽象和歸納的，省略了概念生成的思維過程。這樣一來，數學思維創新的特點就不可能實現。數學教學應該是一個發現問題、分析問題和處理問題的過程，教材應該在教育過程中起到正確的引導作用。高等數學教材的內容忽略了概念和推論的最初選題背景。教師通常在教育中明確提出關鍵概念，重視公式計算推理的過程和應用價值。高等數學教育的內容重基礎理論，輕應用。高等數學陳舊過時的教學內容與科技進步的迅猛發展不太吻合。

（三）單一的教師評價方法，缺乏新的措施

科學合理的測試是檢測學生數學思維的有效途徑，是數學思維形成成果的重要指標，是培養數學思維的重要指南。目前，大多數高校的高等數學教育缺乏數學思維的評價機制。高校高等數學評價仍多以筆試形式進行，學生成績僅通過期中和期末考試進行評價，注重總結評價性和學習成果，缺乏診斷性評價和績效評價，忽視了同學們的學習過程。評估教師在學校的平時表現，包括課堂效果和常規作業布置，同時，評估學生的主要日常表現，如課堂教學合作學習、課堂教學參與、課堂練習、閱讀報告、小組討論、課外活動等。教師評價的內容側重于學生評價的數學思維方法和計算水平。學生解決困難的關鍵主要是模仿，通常受限于一個方向或公式，邏輯思維僵化。數學思維在一定程度上是突破，而發散性是邏輯思維的本質特征之一。當前的評估方法側重于培養應試技能。這使學生具有扎實的數學思維基礎知識，并保持良好的解決問題的工作能力，但缺乏對已知信息進行多方面、多方位、多維度的分析和思考能力[5]。

三 培養高等數學教學中數學思維的措施

正如徐立志所指出的：“培養學生的數學意識和數學新思維是一個長遠的目標。因此，改革教學方法，轉變教師的教學觀念，把學生擺在教學的主要位置上，是未來教育的主要挑戰。”針對目前我國高等數學教學中數學思維培養存在的問題，結合多年高等數學教育經驗，提出以下對策。

（一）改進教學方法，加強師生交流討論

在傳統的以教師為中心的高等數學教育模式中，學生被動接受教師傳授的專業知識，學生在學習中難免缺乏創造性和自覺性，不利于塑造學生的數學思維。正如顧沛指出的：“如果我們總是談論創新，但卻運用不利于塑造數學思維的課堂教學實踐活動，那么塑造數學思維在課堂教學文化教育中就成了宣傳口號。高校應鼓勵教師在高等數學課堂教學中選擇多種教學策略。”教師還可以選擇具有適當難度的具有代表性的數學問題，并用它們來鼓勵師生交流和討論[3]。

例如：建設性證明是數學中創造性證明的一種形式，對塑造學生的數學思維有很大幫助。老師們在教授拉格朗日中值定理證明的時候，很多同學不明白這個數學定理是如何明確提出的，輔助函數公式是如何構成的，教師在訓練時要注意拉格朗日中值定理的證明。課堂教學是如何根據羅爾定理結構輔助函數公式證明拉格朗日中值定理，教師可以依靠幾何圖形結構輔助函數公式，用積分計算結構輔助函數公式，或從結果入手拉格朗日中值定理；根據是一個常數，可以將其設為等于k，將結論變形為f(b)-kb=f(a)-ka的形式，根據這個公式計算出的函數公式構造了一個輔助函數公式。教師還可以利用信息技術正確引導學生完成知識創新和發現的過程。學生觀察并考慮是否存在與連接曲線的兩個端點的弦平行的切線。教師鼓勵學生發表意見，鼓勵學生多方向獨立思考。根據互動交流，教師致力于鼓勵學生參與教學課堂，塑造數學思維[6]。

（二）重視更新教育內容，滲透現代數學思想和數學軟件

第一，高度重視數學思維和基本概念的教育，適度淘汰刻板的教學方法。在高等數學的思想體系中，很多數學概念、公式計算和規律都與具體的應用有關。高等數學教育應將數學思維融入數學概念和推理的訓練，結合現實世界環境展現概念生成的過程，探索數學概念的本質。

例如，在教授極限概念時，可以根據指示數軸上各點的變換，結合中國古代數學家劉徽的圓切割技術，向學生展示建立極限概念的過程，并試著用數學語言來總結一下極限定義。同時，注重對當代數學思維和前端專業知識的滲透，對日常生活中諸多行業的典型案例進行改進，如工程項目、社會經濟學、生物統計學等。依然采取課堂教學極限為例，詳細介紹科赫雪花圖和分形幾何的應用、復利問題、動態經濟發展系統軟件的蛛網實體模型、斐波那契等各行業極值點經典應用問題。

第二，將數學軟件融入高等數學的教學內容。數學軟件優化算法的開發與設計、大數據可視化、數值計算方法、數據統計分析等是塑造數學思維的主要手段，對塑造學生的數學思維具有關鍵作用。同時，數學軟件能以幾何直觀和數值計算方法的形式呈現抽象的數學概念、規律和驗證的過程，極大地影響了學生的數學思維。許多數學家和專家已經注意到應用電子計算機和數學軟件對人才培養的重要性。依托電子計算機容易處理的教學內容，適度簡化推理或確認全過程，鼓勵學生學習和訓練如何使用MATLAB軟件進行探索性實驗，使用MATLAB的計算功能發現和猜測可能的規律。在整個過程中，教師要鼓勵學生進行猜測，從而促進學生數學思維的發展。還可利用MATLAB實現數值積分和積分計算，基于有限元分析或圖形闡明函數公式與泰勒代數公式的關系[7]。

（三）完善評價機制，注重過程評價，適當引入開放式問題

教學評價是教學的重要組成部分，是激發和強化的有效手段。通過評價，教師可以檢驗學生數學思維培養的實際效果，也可以起到鼓勵學生數學思維發展的作用。理想的評價機制可以檢驗學生的基礎知識和基本技能的掌握情況，也可以檢驗學生在課程作業中的能力和素養水平。目前先進的數學評價機制極不利于培養學生的數學思維。因此，應從以下幾個方面改變現行的評價機制。

一是改革高等數學學科評價方式。學生的學習成果不僅取決于期末考試成績，還取決于課程評價。整個學期不定期增加幾次課程考核，課程考核形式靈活多樣，可以包括書本報告、短報告、單元試卷，口試等。或在每章中進行多次評估和測試。評論應包括學生通常的學習成果和使用數學軟件的能力。應鼓勵學生在課堂上進行猜測、思考、探索和探索，尤其要重視鼓勵學生表達各種想法[8]。

二是充分發揮考試的導向作用。考試要減少死記硬背的公式和基礎題的數量和比例，適當增加開放式題的考核和設置，教會學生多維度思考，培養學生的發散性思維。

四 結語

在“高等數學”教育中培養學生數學思維是一門長期的課程，也是深層次的教育目的。數學教育工作者必須不斷探索和實踐，共同探討高校數學教育的問題。更新教學方案，交流教學形式和教學方法，推動實施以創新教育為核心的素質教育，發展創新人才培養，為我國創造更多的創新人才。