核心素養視野下的高中函數恒(能)成立問題教學“再創造”

馬寶星

(江蘇省沙溪高級中學 215400)

高中函數恒(能)成立問題是高考的熱點，也是學生學習中的難點，貫穿高中三年數學學習，如何在高三二輪復習中突破難點，提升能力，是每個老師都積極努力的目標.但是高中數學學科因其特殊性，很多高三數學課堂存在一定的困難，包括教師層面重復講解，學生方面重復訓練，最后師生深陷題海，并沒有實現數學學科的核心素養這個目標.整體的效率低下，教師和學生都苦不堪言.可見習題教學在高三數學學習的重要性，進行合理的數學學科的教學設計，在實現數學核心素養的目標上往往能起到事半功倍的作用.筆者以一節高三二輪復習課為例闡述如下：

一、“再創造”的教學設計重視辨析概念的內涵和外延，把握數學本質

問題一：什么是恒(能)成立問題？

設計意圖：章建躍老師曾說：數學教學的基本任務是幫助學生將數學知識理解到位，并能用于解決實際的問題.我們要講清楚一類問題，就必須要引導學生弄清其本質，才可以做到更好的去應用.恒成立問題，是高中數學中的全稱命題，通常含有“所有的”“任意一個”等全稱量詞，符號語言可記為?x∈M,P(x).能成立問題，是高中數學中的存在命題，通常含有“存在一個”“至少有一個”等存在量詞，符號語言可記為?x∈M,P(x).并且全稱命題?x∈M,P(x)的否定為：?x∈M,P(x)，存在命題?x∈M,P(x)的否定為：?x∈M,P(x)，這里我們可以看出兩類問題是可以相互轉化的，類比恒(能)成立問題，其實高中數學中很多核心概念如單調性、奇偶性、周期性等都含有“任意”字眼，具有相似的處理策略.筆者認為，盡管二輪復習時間緊任務重，但我們不能就題論題，應引導學生深刻領會常用邏輯用語在數學問題中的作用，才能提升數學的問題解決.

二、“再創造”的教學設計重視問題情景的開放性，提高探索能力

例題精講已知函數f(x)=lnx-ax，g(x)=x2,a∈R.若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范圍．

問題二：如何求a的取值范圍？

問題三：你們還有沒有其他做法？大家思考3分鐘.

生3：令F(x)=lnx-ax-x2≤0對?x∈(0,+∞)恒成立，所以F(1)=-a-1≤0,得a≥-1，所以F(x)=lnx-ax-x2≤lnx+x-x2，易證lnx≤x-1,當且僅當x=1時取“=”，故F(x)≤x-1+x-x2=-(x-1)2≤0，所以a≥-1成立.(教室里出現了掌聲)

問題四：如果本題是填空題，如何求a的取值范圍？

生4：由題知，ax≥lnx-x2，y=ax與y=lnx-x2皆好作圖，如下圖易得a的取值范圍.

圖1

點評生1選擇了參變分離法，由于分離變量后h(x)的最值好求，故大部分同學皆選此法；生2選擇利用函數的性質，通過求導，求G(x)=lnx-ax-x2的最值，只要G(x)max≤0，這個過程中導數的零點存在，直接求出比較繁瑣，他采用了“隱零點”的處理方法，求出x0的取值范圍，根據x0與a的等量關系求出a的取值范圍；生3抓住了F(x)=lnx-ax-x2≤0對?x∈(0,+∞)恒成立這一本質，它一定對x=1時恒成立，故F(1)≤0，求出a的取值范圍，這一必要條件開路的技巧，體現了由一般到特殊的性質，數學問題解決的特殊化可使學生的直觀想象素養得以提升；生4是把恒成立問題轉化為兩個圖像的位置關系問題，體現了數形結合思想.筆者認為，在二輪復習教學中，學生已經有了一定基礎，我們可以設計開放性問題，大膽放手讓學生解決，激勵學生更好地參與問題，提出不同見解，在多種方法甚至犯錯中加深問題理解，優化解題方法，提高復習效率.

三、“再創造”的教學設計重視學生的自主總結，形成知識體系

回顧高考(2020山東)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．

本題的解題方法有多種，其中有的同學說還可以構造同構處理：f(x)=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,

在(0,1)上h′(x)>0,h(x)單調遞增；在(1,+∞)上h′(x)<0，h(x)單調遞減，

∴h(x)max=h(1)=0,lna≥0，即a≥1，∴a的取值范圍是[1,+∞).

問題五：本節課我們學習了恒(能)成立問題的哪些解決方法？

設計意圖：《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：通過高中數學課程的學習，學生能養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力.一節高三復習課，作為教師，到底要教會學生什么，通過知識載體能夠提升學生哪些數學素養，是我們每一節課前需要仔細思考的問題.筆者認為，讓學生“動起來”，“動”“靜”結合，有條不紊，才可以不斷提高學生的實踐能力.本節課留足時間讓學生自主總結，可以采用點名提問、小組討論、師生生生互動點評等方式，增強學生的自主性.引導學生在實踐解決問題中，能夠自主構建知識網絡，繪制數學思維導圖如下.在同伴、老師不斷提醒中，回顧舊知識，喚起新知識，在同伴老師的贊賞中增強學好數學的自信心，夯實自己的薄弱，強化各自的學習能力，才可以在以后再碰到類似問題，無間斷的遷移到本節課所學知識方法，用好用活恒(能)成立問題的解決策略.

圖2

本節課從一個典型例題出發，通過一般化的概念理解，特殊化、類比、聯想等思維活動提出新的數學問題和變式，師生探究，學生總結形成解決問題的一般策略，注重數學思想、邏輯連貫、系統總結，用“數學的方式”教數學學數學.通過“創造性”的教學設計，強化“四基”，提高“四能”，超越數學知識而使數學核心素養真正落地.