“線性相關(guān)”教學(xué)案例及分析

曾振新

(云南省西雙版納職業(yè)技術(shù)學(xué)院 666100)

美國學(xué)者薩普認(rèn)為，“概念在數(shù)學(xué)中不僅是首要的，而且實際上就是一切；在很大程度上，‘?dāng)?shù)學(xué)對象’沒有獨立的或超過概念之外的存在”.《線性代數(shù)》課程中，有許多概念需要認(rèn)真學(xué)習(xí)和領(lǐng)會，特別是在線性空間的知識內(nèi)容中碰到的概念會更多一些.

一、關(guān)于線性相關(guān)概念的分析案例

線性空間的基本元素是向量，向量之間的第一層關(guān)系是“線性組合”或者稱“線性表示”.然而，與之密切相關(guān)的“線性相關(guān)性”在《線性代數(shù)》整個課程中卻占有很重要的位置.

《線性代數(shù)》教材中關(guān)于“線性相關(guān)”的定義是這樣表述的：對于向量組α1，α2，…，αs，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks使關(guān)系式k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立，則稱向量(組)α1，α2，…，αs線性相關(guān)；否則稱向量(組)α1，α2，…，αs線性無關(guān).滿足上面等式的不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，稱為向量組α1，α2，…，αs的一組相關(guān)系數(shù).

1.教學(xué)分析

一個數(shù)學(xué)概念的給出，總要回答這樣兩個問題，一是為什么，即有什么作用.二是怎么做，即如何解決這樣的問題.

本定義提供的重要信息是它是用來判別一組向量是否是線性相關(guān)或線性無關(guān)的，即它的作用.很明顯，在定義中，給出了基本條件有兩個，即：

(1)有s個向量α1，α2，…，αs；

(2)s個實數(shù)k1,k2,…,ks.

顯然，定義中，也給出了兩個判斷條件即：

(1)滿足一個線性關(guān)系即：k1α1+k2α2+…+ksαs=0；

(2)s個不全為零的數(shù)或s個全為零的數(shù).

本定義提供的第二個信息是如何來判斷一組向量是線性相關(guān)或線性無關(guān).因為判斷條件是一個等式及這個等式中的這s個數(shù)即k1,k2,…,ks，因此，解決問題的關(guān)鍵因素是求出k1,k2,…,ks這s個數(shù)，即解齊次方程.

2.問題解決分析

對任意向量組α1，α2，…，αs，總有0α1+0α2+…+0αs=0，問題是是否存在不全為0的數(shù)k1,k2,…,ks，使得關(guān)系式或方程k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立，若存在，則α1，α2，…，αs線性相關(guān)；若不存在，則α1，α2，…，αs線性無關(guān)(不存在的意思是k1α1+k2α2+…+ksαs=0充分必要條件是k1=k2=…=ks=0).

此問題的關(guān)鍵點是求關(guān)于未知數(shù)x1,x2,…,xs的線性方程x1α1+x2α2+…+xsαs=0的解，有非零解，即α1，α2，…，αs線性相關(guān)；若僅有零解，則α1，α2，…，αs線性無關(guān).

3.邏輯關(guān)系分析

我們知道，數(shù)學(xué)課程的設(shè)置總是以演繹嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S、表現(xiàn)慎密的邏輯關(guān)系，來達(dá)到培養(yǎng)人的心智功能，并鼓勵人們求真、向善、唯美為目的的學(xué)科.所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是一段邏輯演繹的過程，《線性代數(shù)》也不例外.

顯然，無論是解齊次線性方程組還是一般線性方程組，都需要矩陣的知識，即矩陣的初等變換，重點是矩陣的秩.求矩陣的秩還需要行列式的知識，環(huán)環(huán)相扣，缺一不可.

而線性相關(guān)概念后的知識走向，就是求極大線性無關(guān)組，得出線性方程的基礎(chǔ)解系，從而獲得線性方程的全部解.還可得到線性空間的基，線性空間的維數(shù)及任意線性空間向量的坐標(biāo)，這是其中一個落腳點.

綜上所述，認(rèn)識、理解和解決數(shù)學(xué)概念問題的基本方法應(yīng)該是：了解概念的過去，然后再思考它的未來.

二、相關(guān)問題解決案例分析

1.例題評析

例設(shè)空間任意向量α,β,γ，證明：α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).

方法一常規(guī)的解法是應(yīng)用定義，即先求解線性方程組：x1(α+β)+x2(β+γ)+x3(γ-α)=0的解，然后再來判斷.

證明：可以設(shè)有一組數(shù)k1,k2,k3使k1(α+β)+k2(β+γ)+k3(γ-α)=0成立，整理得

(k1-k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=0.

本法證明中規(guī)中矩，邏輯平穩(wěn)、嚴(yán)密，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)思維(演繹推理的思想方法)的普遍現(xiàn)象，是一種常用的解題方式.

然而，解題中也有少數(shù)學(xué)生給出了如下證明，

方法二證：∵α+β=(β+γ)-(γ-α)

∴α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).

方法三證：由∵(α+β)+(β+γ)+(γ-α)=2(β+γ)得(β+γ)=(α+β)+(γ-α),∴α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).

能給出方法一、方法二這樣的證明，需要有一定的聯(lián)想能力，即應(yīng)用相關(guān)的定理：“向量組線性相關(guān)的一個充要條件是向量組中有一個向量是其余向量的線性組合”來證明該結(jié)論.而在文中的《線性代數(shù)》教材中沒有例出該定理的情況下，有學(xué)生能夠考慮到這種簡明的方法，干凈利落，很出乎意料.

從而ξ1=α+β，ξ2=β+γ，ξ3=γ-α線性相關(guān).

問題思考：如果上題條件改變?yōu)樵O(shè)空間向量α,β,γ線性相關(guān)，證明：α+β,β+γ,γ-α線性相關(guān).事實上，這可以把它看作是原例題的特例.

當(dāng)然，相對于一部分人來說，這么反復(fù)折騰一個概念也沒有什么實際意義.在柏拉圖主義看來，數(shù)學(xué)的研究和學(xué)習(xí)并不是為了要有實用價值，而是為了最高形式的理性訓(xùn)練，對絕對理念的感悟和認(rèn)識，以及對哲學(xué)研究有益.

2.線性相關(guān)性的幾何解析

基本概念:①兩向量共線的充要條件是它們線性相關(guān).

②三向量共面的充要條件是它們線性相關(guān)或混合積為0.

③空間的任意四個或以上的向量總是線性相關(guān).

方法五僅證明混合積為0.即：

(α+β,β+γ,γ-α)=0

∵[(α+β)×(β+γ)](γ-α)

=[α×β+α×γ+β×β+β×γ](γ-α)

=(α×β)γ+(α×γ)γ-(β×γ)α

=0

或∵(α+β)×β=α×β

(β+γ)×β=-γ×β

(γ-α)×β=γ×β-α×β

∵[(α+β)+(β+γ)+(γ-α)]×β=0

∴α+β,β+γ,γ-α向量共面即線性相關(guān).

方法六設(shè)α,β,γ是三維空間的任意向量，并令

α=(x1,y1,z1),β=(x2,y2，z2),γ=(x3,y3,z3)

則有(α+β,β+γ,γ-α)

所以三向量α+β,β+γ,γ-α線性相關(guān).

可以看出，線性代數(shù)與空間解析幾何也有密切的聯(lián)系，本來《線性代數(shù)》研究的主要內(nèi)容就是向量.而幾何的基本元素是點、線、面相對應(yīng)也是向量.因此，在討論線性空間的概念時，用幾何的方法來思考也是學(xué)習(xí)者常常用到的.

三、問題推廣及一題多解案例

例1設(shè)向量α1,α2,…,αn線性無關(guān)，證明：向量組β1=α1，β2=α1+α2，…，βn=α1+α2+…+αn也線性無關(guān).

證明 方法一由于向量組α1,α2,…,αn線性無關(guān)，則可作為n維空間的一組基，從而向量β1=(1,0,0，…，0)，β2=(1,1,0，…，0)，β3=(1,1,1，…，0)，……，βn=(1,1,1,…,1),由行列式知

推廣應(yīng)用：對于向量

方法二按定義設(shè)存在k1,k2,…,kn∈R,使k1β1+k2β2+…+knβn=0.從而有

k1α1+k2(α1+α2)+…+kn(α1+α2+…+αn)=0

(k1+k2+…+kn)α1+(k2+k3+…+kn)α2+…+knαn=0,而α1,α2,…,αn線性無關(guān)，即有k1+k2+…+kn=k2+k3+…+kn=…=kn=0,所以,k1=k2=…=kn=0即向量組β1，β2，…，βn線性無關(guān).

例2 求向量組α1=(2,4,2)，α2=(1,1,0)，α3=(2,3,1)，α4=(3,5,2)的一個極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表示.

解方法一 常規(guī)解題，由3維向量組α1，α2，α3，α4得到對應(yīng)矩陣并實施初等行變換：A=

得矩陣的秩為2，且極大無關(guān)組為α1，α2.

再由方程x1α1+x2α2=α3和方程x1α1+x2α2=α4分別得到兩個方程組：

由最后一個矩陣可知：α1，α2為一個極大無關(guān)組，從最后一個矩陣直接得知：

對A施以初等行變換，化為階梯形矩陣，并在矩陣右側(cè)標(biāo)注所作的變換：

由最后的階梯形矩陣可知，α1，α2為一個極大無關(guān)組，通過對每一步的計算紀(jì)錄得到：

事實上，本題是一道典型的關(guān)于線性相關(guān)性的例題，即是對線性相關(guān)性概念學(xué)習(xí)的一個小結(jié)，也是這一章節(jié)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo).

四、問題和展望

現(xiàn)在很多學(xué)生也包括相當(dāng)一部分教師流行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“無用論”，但從以上的理解和解題中，我們分明看到了智慧的光芒.實際上，數(shù)學(xué)以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S為手段的學(xué)習(xí)方式能夠充分發(fā)揮人的心智功能，從而使數(shù)學(xué)具備了除了應(yīng)用價值以外的理性價值.

近一兩百年間，全世界的專業(yè)學(xué)院在各自的領(lǐng)域內(nèi)做出的最大貢獻(xiàn)，可能不在于培養(yǎng)多少實用型的工程師、律師或醫(yī)生，而在于開展了大量看似無用的科學(xué)活動.某種程度上，數(shù)學(xué)活動就是這樣的一種科學(xué)活動.從這些無用的科學(xué)活動中，我們獲得許多發(fā)現(xiàn)，它們對人類思想和人類精神意義之重大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過這些學(xué)院建立之初力圖達(dá)成的實用成就.

數(shù)學(xué)教與學(xué)原則從來都是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識“從何而來，到何處去”.如果我們遵循這一原則，那么，我們就會站得更高，看得更遠(yuǎn)，想得更透.