伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想證明

王海東

(天津市北方調查策劃事務所 300050)

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想來源于哈塞-韋伊L函數.哈塞-韋伊L函數來源于橢圓曲線p模同余方程.橢圓曲線p模同余方程來源于橢圓曲線仿射方程.橢圓曲線仿射方程來源于橢圓曲線射影方程.

令x代表自變量，y代表因變量，k代表某個不等于0和1的常數，橢圓曲線射影方程為：y3=x(x-1)(x-k)

令a,b,c,d代表四個不同常數，我們可以從橢圓曲線射影方程推出橢圓曲線仿射方程：

y2+ay=x3+bx2+cx+d

假定橢圓曲線的域特征不等于2和3，我們可以將橢圓曲線仿射方程簡化成以下形式：

y2=x3+ax+b

這樣一來，橢圓曲線仿射方程就與一個古希臘數學問題產生了理論聯系.

這個古希臘數學問題是：到底有多少正整數可以成為邊長為有理數的直角三角形的面積數？

令h代表任意正整數，x和y代表y≠0的有理數解，回答這個古希臘數學問題的充要條件為：

y2=x3-h2x

我們不難發現：當a=-h2和b=0時，簡化的橢圓曲線仿射方程就是這個充要條件的數學表達式.

這個發現意味著：到底有多少正整數可以成為邊長為有理數的直角三角形的面積數的數學問題，等價于某條橢圓曲線上到底可以存在多少個有理點的數學問題.有理點就是用有理數表示的坐標點.

那么，怎樣才能把某條橢圓曲線的有理點數計算出來呢？顯然，我們只能用橢圓曲線p模同余方程來完成這個計算任務.因為，橢圓曲線p模同余方程的有理解數就是某條橢圓曲線的有理點數.

令p代表任意質數，我們可以從簡化的橢圓曲線仿射方程推出橢圓曲線p模同余方程：

y2≡x3+ax+b(modp)

由于哈塞-韋伊L函數屬于冪級數，所以哈塞-韋伊L函數適用于泰勒展開式.

令f0代表s=1的函數值，f1代表f0的一階導數，f2代表f0的二階導數除以2的階乘，f3代表f0的三階導數除以3的階乘，以此類推直至fn代表f0的n階導數除以n的階乘，哈塞-韋伊L函數的泰勒展開式為：

L(E,s)=f0+f1(s-1)+f2(s-1)2+f3(s-1)3+…+fn(s-1)n

從哈塞-韋伊L函數的泰勒展開式來看，如果將橢圓曲線上的全體有理點視為一個有理數集合，形成這個有理數集合的充要條件就是：

f0=0

但是，伯奇和斯溫納頓-戴爾并沒有滿足于發現這個充要條件.因為，這個有理數集合具有某種群結構.從這種群結構來看，這個有理數集合不僅是一個存在于橢圓曲線上的有理數群，而且是一個通過橢圓曲線的秩有限生成的阿貝爾群.橢圓曲線的秩就是橢圓曲線上的線性無關有理點數.橢圓曲線上的線性無關有理點數就是橢圓曲線上的有限個線性獨立有理點.橢圓曲線上的有限個線性獨立有理點，或者可以通過加法運算生成有限個有理數子群，或者可以通過加法運算生成有限個整數群副本.

令r代表橢圓曲線的秩，E(Q)代表存在于橢圓曲線上的有理數群，E(Q)g代表有限個有理數子群，Zr代表有限個整數群副本，我們可以用以下公式表示這個有理數集合：

E(Q)?E(Q)g×Zr

從這個公式來看，橢圓曲線的秩是度量橢圓曲線的階的一個重要參數.橢圓曲線的階就是存在于橢圓曲線上的有理數群的元素個數.存在于橢圓曲線上的有理數群的元素個數就是某條橢圓曲線的有理點數.于是，伯奇和斯溫納頓-戴爾提出了一個十分重要的數學猜想.

令fr≠0，fn=0，n=0,1,2,3,…,r-1，這個十分重要的數學猜想就是：

L(E,s)=fr(s-1)r+高階項

那么，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想具有什么重要性呢？顯然，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的重要性在于：這個數學猜想不僅給出了一個比上述充要條件更強的充要條件，而且給出了位于橢圓曲線中心點的有理點數.這個中心點就是s=1的坐標點.因為，這個猜想包含著一個斷言：當s=1時，橢圓曲線的階等于橢圓曲線的秩.

那么，證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點是什么呢？顯然，證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點在于：這個猜想不僅給出了一個有待證明的數學問題，而且給出了證明這個數學問題的一個充要條件.這個充要條件就是s=1.從這個充要條件來看，要想證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想，就必須用實數定義哈塞-韋伊L函數的復數.要想用實數定義哈塞-韋伊L函數的復數，就必須把哈塞-韋伊L函數的復數變成實數.

令σ和t代表兩個實數，i代表虛數，我們可以用以下公式表示哈塞-韋伊L函數的復數：

s=σ+it

從這個公式來看，只要做出t=0的規定，我們就可以把哈塞-韋伊L函數的復數變成實數了.但是，哈塞-韋伊L函數不允許我們做出這樣的規定.因為，哈塞-韋伊L函數是一個復變函數.作為一個復變函數，哈塞-韋伊L函數已經做出t≠0的規定了.

由此可見，把哈塞-韋伊L函數的復數變成實數并不是一件容易事.

那么，怎樣才能把哈塞-韋伊L函數的復數變成實數呢？顯然，要想把哈塞-韋伊L函數的復數變成實數，就必須推出兩個十分重要的數學定理.這兩個數學定理就是虛數產生定理和負實數開方定理.

虛數產生定理是指: 所有負實數的開方運算都會產生一個虛數.

令-x代表任意負實數，y代表負實數的開方，我們可以用數學歸納法證明虛數產生定理.

第一步，假定-x=-1.根據這一假定，我們可以推出以下公式：

第二步，假定-x=-n且n>0.根據這一假定，我們可以推出以下公式：

第三步，假定-x=-(n+m)且m≥0.根據這一假定，我們可以推出以下公式：

因為上述三個公式覆蓋了所有負實數，所以我們可以推出以下公式：

證畢.

負實數開方定理是指：任何絕對值相同的正負實數相乘都會產生負實數開方.

令y和-x含義不變，我們可以用以下方法證明負實數開方定理：

又知y2=-x

因此x=-y2=y×(-y)

證畢.

在做好了這些理論準備之后，我們就可以消除證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點，十分容易地把哈塞-韋伊L函數的復數變成實數了.

令s=z，σ=x，t=y，我們可以用以下公式表示這個變化過程：

為了便于敘述，我們把這個公式稱為復變公式.

從復變公式中，我們可以得出五個重要結論：

第一，σ不存在0≤σ<1的定義域.因為，如果σ存在0≤σ<1的定義域，復變公式就會出現零分母或無理數.前者不符合分數要求，后者不符合有理數要求.

第二，由于σ不存在0≤σ<1的定義域，所以σ有兩個定義域.第一個定義域為σ≥1，第二個定義域為σ<0.σ的第一個定義域就是復變公式的實數定義域.因為，當σ≥1時，復變公式不會產生虛數.σ的第二個定義域就是復變公式的復數定義域.因為，當σ<0時，復變公式會產生虛數.

第三，由于σ有兩個定義域，所以s也有兩個定義域.第一個定義域為s≥0，第二個定義域為s<0.s的第一個定義域來自于σ的第一個定義域.因為，當σ≥1時，s≥0.s的第二個定義域來自于σ的第二個定義域.因為，當σ<0時，s<0.

第四，雖然σ和s都有兩個定義域，但是這種相同之處卻又有所不同.σ的兩個定義域既無連續性又無對稱性.s的兩個定義域既有連續性又有對稱性.因此，σ的兩個定義域不會產生共軛變量，s的兩個定義域會產生共軛變量.共軛變量就是與原有變量絕對值相同符號相反的變量.

第五，從哈塞-韋伊L函數來看，當s=0時，L(E,s)=λE(p).當s>0時，L(E,s)<λE(p).當s<0時，L(E,s)>λE(p).

令σ代表平面直角坐標系的橫軸，s代表平面直角坐標系的縱軸，我們可以根據這五個重要結論給出復變公式的幾何表示：

由于平面直角坐標系的右平面屬于復變公式的實數定義域，所以平面直角坐標系的右平面是一個實平面.在這個實平面上，存在著一條以σ=1為頂點的軸對稱拋物線.位于橫軸上方的軸對稱拋物線代表s的原有變量，位于橫軸下方的軸對稱拋物線代表s的共軛變量.

由于平面直角坐標系的左平面屬于復變公式的復數定義域，所以平面直角坐標系的左平面是一個復平面.在這個復平面上，存在著一條以σ<0為頂點的軸對稱拋物線.位于橫軸下方的軸對稱拋物線代表s的原有變量，位于橫軸上方的軸對稱拋物線代表s的共軛變量.

除了上述區別，平面直角坐標系的右平面和左平面還有一個重要區別.這個重要區別來自于實平面和復平面的區別.

由于平面直角坐標系的右平面是一個實平面，所以平面直角坐標系的右平面不存在無窮遠點.由于平面直角坐標系的右平面不存在無窮遠點，所以右平面軸對稱拋物線不會收斂于無窮遠點.由于右平面軸對稱拋物線不會收斂于無窮遠點，所以右平面軸對稱拋物線不能被想象為軸對稱橢圓曲線.

由于平面直角坐標系的左平面是一個復平面，所以平面直角坐標系的左平面存在無窮遠點.由于平面直角坐標系的左平面存在無窮遠點，所以左平面軸對稱拋物線會收斂于無窮遠點.由于左平面軸對稱拋物線會收斂于無窮遠點，所以左平面軸對稱拋物線可以被想象為軸對稱橢圓曲線.

如果把平面直角坐標系的右平面和左平面聯系起來，將右平面軸對稱拋物線視為左平面軸對稱橢圓曲線的射影，將左平面軸對稱橢圓曲線視為右平面軸對稱拋物線的虧格，橢圓曲線就是一條虧格為1的光滑射影曲線.

由此可見，復變公式的幾何表示就是橢圓曲線的幾何表示.橢圓曲線的幾何表示就是哈塞-韋伊L函數的幾何表示.哈塞-韋伊L函數的幾何表示就是伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的幾何表示.

現在的問題是：s=1意味著什么？

這樣一來，我們就通過s=1發現了L(E,s)的上限和下限.

證畢.