從一道題目的探索思考教學思路的調整

朱利文

(福建省廈門市思明區松柏中學 361012)

一、寫此文的靈感

回顧筆者在拋物線教學中，鑒于拋物線在考試中出現的位置和考查形態，在常規教學里，解題熟練度與計算效率的訓練時間的比重偏大.但若過于頻繁受限于此，容易造成知識模塊的疲憊，不利于該模塊的教學活動深入.筆者也在努力地探索與嘗試，誠然對思維訓練方面，刷百題不如“吃透”一題.有一次在課間看見一個學生在寫物理作業，學生畫著拋物線.我一問之下，得知學生在寫平行板電容器里帶電粒子偏轉的作業，而其中的類平拋運動軌跡不正是拋物線么？同時想起有這么一道題，難度不大，卻不禁發人深思.于是寫下這次的探索過程.

二、問題呈現

例題已知點E是拋物線C:y2=2px(p>0)的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線C的焦點，點P在拋線C上.在△EFP中，若sin∠EFP=μsin∠FEP，則μ的最大值為____.

解析△PEF中，通過正弦比容易聯想到邊之比，結合拋物線的定義，又是最值問題.所以基礎解法很自然地想到列出關于μ的函數關系式求最值.又由于拋物線和坐標軸的對稱性，在本文的處理中，都把點P記在第一象限.

圖1

三、探索

1.規規矩矩學科內

探索切線的方法：

2.逐漸跨學科

方法三我們先看一個引理

圖3

引理1如圖，過拋物線C：y2=2px上一點P(x0,y0)作切線交準線于點A，過A作直線交拋物線C于點B、C，過點B、C、P作準線的垂線BM、CN、PH，垂足為M、N、H.則有FA為∠AFB的外角平分線，且AF⊥FP.③

∴2δ+∠BFC=180°,現固定點A逆時針旋轉直線ABC，點B與C靠近，∠BFC減小.

當臨界狀態點B與C重合于P時，∠BFC=0°.此時δ=90°，即AF⊥FP.

另外，記直線n為切線AP的法線，∵△PFA≌△PHA(AAS)，∴上圖中φ=θ=γ，進而i=r.

聯想到“一面二角三線”以AP為鏡面，FP為入射光線，n為法線.則由光的反射定律，知PD為即為反射光線.

拓展至三維空間，對于旋轉拋物面鏡，通過焦點，經過鏡面反射后的光線都平行于對稱軸.③

回到原題，對于此題，即該圖的點A與E重合，則∠PHE=∠HEF=∠EFP=90°，又PF=PH

∴PHEF為正方形，以下同方法一.

方法四讓我們再看一個引理

圖4

引入運動學知識，是為了利用一個非常有效的現象結論：那就是質點做曲線運動時，軌跡的切線方向為該點處的瞬時速度方向，也為改點處的實際運動方向.

回到本題.由運動結論知OA(即OA為△EFP的中位線)又為正方形，以下同方法一.

四、總結與反思

研究后，想起自己一開始面對此題的錯誤認知，明白不應該去輕易地小看一道經典問題.誠然在最開始看待這個問題的時候，筆者只是想著如何解決問題，能不能有什么拓展結論方便之后的使用.當發現此題的結構太過特殊以至于難以得到推廣結論時，就開始有些輕視了.但出于不甘心，也出于相信經典題之所以能成為經典，一定有它的不同之處.于是靜下心琢磨，發現此題的一些內涵，便寫了此文.

通過化歸與遷移，明白這道小題本身或許不方便做拓展推廣，但在解決它的過程中，卻可以融合多個知識的應用.放在復習中，這樣關聯多個模塊，能做到中心開花的效果.通過該題的總結，可以促進發散性思維養成與關聯復習，同時還有助于激發學習興趣，并強化提升學生的記憶效率.

在①處體現的是均值不等式的味道.在②處體現拋物線的一般切線方程的形態.在③處為拋物線的光學性質.④處體現的是勻變速曲線運動的正交分解法，是高中物理解題的基本功之一.

在總結反思后，讓自己對這類問題有了更深的認識.整理整理，再規劃好如何引導學生.循序漸進地啟發學生要如何操作，才能思考到這些環節.寫下此文，也是一次記錄，告訴自己得再接再厲.題型強練的傳統模式得逐漸轉化成思維引導以學生為主體的多元化教學模式，才能從根本提升教學品質.這不是三分鐘熱度就能搞定的事，需要長期一步一個腳印去踏實行動才能實現.共勉之……