曬曬集合中常用的數學思想

2021-08-19 07:51:22杜紅全

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500 )

數學思想是數學知識的精髓，既是知識轉化為能力的橋梁，又是解數學問題尋找思路的依據，它蘊含在高中數學的各個章節中.下面舉例說明集合中常用的數學思想，供參考.

一、數形結合思想

數形結合,由數思形，由形定數，起到互補、互動、互譯作用，可見數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質.使用數形結合思想可以使問題化難為易，化抽象為具體.運用數形結合思想解題通常有三種類型：由形化數，由數化形，數形轉化.

例1 已知集合A={x|1≤x<4}，B={x|x

分析把集合在數軸上表示出來，借助數軸直接求解.

解將集合A表示在數軸上，如圖1所示，要滿足AB，表示數a的點必須在表示4的點處或在表示4的點的右邊，所以所求實數a的取值范圍是{a|a≥4}.

點評求解這類問題的關鍵是要利用數軸，數形結合；將集合A表示在數軸上，由數化形，求實數a的取值范圍是由形化數，同時要注意驗證端點值，做到準確無誤；解決有關交集、并集問題，特別是求一些字母取值范圍的問題常用數形結合思想方法.

所謂分類討論，就是當問題所給對象不能進行統一研究時，我們就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類分別研究，得出每一類的結論，最后綜合各類的結果得到整個問題的解答.分類討論實質上就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略.

例2 設集合A={x|x2+2x=0}，B={x|x2+2ax+a2-a=0，a∈R,x∈R}，若B?A，求實數a的取值范圍.

分析由于B?A，所以集合B可以為空集，可以B與A相等，也可以B為A的非空真子集，需分三種情況進行討論.

解因為A={x|x2+2x=0}={-2,0}，B?A，所以有B=φ、B=A或BA(B≠φ).

(1)當B=φ時，Δ=4a2-4(a2-a)<0，解得a<0；

(3)當BA(B≠φ)時，有B={-2}或B={0}，所以Δ=4a2-4(a2-a)=0，解得a=0，此時B={x|x2=0}={0}滿足條件.

綜上可知，實數a的取值范圍為a≤0或a=1.

點評解答本題的關鍵是理解好子集的含義；B?A可分B=φ、B=A或BA(B≠φ)三種情況，所以此類問題需要分類，并結合一元二次方程根的情況加以解決；分類時要遵循“確定對象的全體，明確分類標準，做到不重不漏”的原則，然后對于每一類情況都要給出問題的解答.

方程思想就是從分析問題的數量關系入手，把變量之間的關系用方程的關系來反映，然后通過解方程或對方程進行討論的數學方法.

分析利用集合相等，它們所含的元素相同，列方程來確定a，b的值，再求a2021+b2021的值.

點評求解本題的關鍵是利用集合相等的概念，借助相等的關系列方程求出字母的值，但要注意排除與集合元素互異性或已知相矛盾的情況.

有些數學問題，若直接從正面解決比較困難，或考慮的因素比較多，可以考慮求問題的反面，采用間接的方法將問題解決，這就是正難則反思想.在解決“至多”、“至少”等一類問題時，常用這種思想方法，在集合中正難則反思想就是補集思想.

例4 已知集合P={x|4

分析P∩Q≠Q直接考慮情況很多，非常麻煩，因此考慮它的反面，即P∩Q=Q，求出答案，只要求它的補集即可.

綜上所述，當P∩Q=Q時，k的取值范圍是{k|k≤2,或34}.

點評求解本題的關鍵是將求P∩Q≠Q時的k的取值范圍轉化為求其對立面P∩Q=Q時的k的取值范圍，再取補集得出原問題的解；正難則反思想作為一種思想方法，為我們研究問題提供了新思路，在正向思維受阻的情況下，改用逆向思維，可能“柳暗花明”，從這個意義上講，正難則反思想具有轉換研究對象的功能.

所謂轉化思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，從而達到解決問題的一種方法.轉化思想方法可以將難解的、復雜的、未解決的問題通過變換轉化為較容易的、簡單的、已解決的問題.

例5 已知集合M={(x,y)|y=x-2,x∈R}，N={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈R}，問是否存在非零整數a，使得M∩N≠φ.

點評求解本題的關鍵將待求問題轉化為討論方程組是否有解的問題，從而順利獲解.