抽絲剝繭探本源 步步為營巧推斷
——基于函數的復合方程求解

李秀元 武 剛

(1.湖北省武穴市實驗高級中學 435400；2.湖北省武穴中學 435400)

函數零點是高中數學一個重要概念.考查函數的零點，對于等價轉化和數形結合思想方法培養有著非常重要意義.函數的零點，即函數圖像與x軸交點的橫坐標，也即對應方程的根.因此，基于函數的復合方程根的問題，最終將回歸到基本函數的零點，研究基本函數的圖像，從形上實現問題的求解.

一、解方程確定函數的零點

A.5 B.4 C.3 D.6

圖1

方程[f(k)]2-f(k)-2=0有兩個不同的實數解，等價于：

圖2

評析無論是求復合函數零點個數，還是依據復合方程根的個數求參數取值范圍，都是基于函數的零點與方程根的關系，通過解方程，將復合函數的零點問題，轉化為基本函數方程根的問題，借助于基本函數的圖像，確定問題的解.此類問題主要考查解方程及研究函數圖像，突出數形結合思想方法的運用.

二、簡化方程，研究基本函數圖像以確定參數取值范圍

圖3

例4 已知函數f(x)=(ex-1)2-|ex-1|+k，給出下列四個命題：

①對?k∈R，函數不可能有4個零點；

②?k∈R，函數有且只有1個零點；

③當且僅當k=0時，函數恰有2個零點；

④?k∈R，函數有3個零點.

其中正確命題的個數是( ).

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

圖4

評析即使復合函數(方程)類似，但因無法直接求出方程的根.對f(x)換元后，構造出兩個方程(函數)，結合基本函數的圖像特點，通過研究基本方程解的存在情況，確定復合方程解的存在性，從而確定問題的解.數形結合依然是求解的利器，但邏輯推理亦不可或缺.

三、利用函數性質，解套對應法則

例5 已知奇函數f(x)是定義在R上的單調函數，若函數g(x)=f(x2)+f(a-2|x|)恰有4個零點，則實數a的取值范圍是____.

解因為f(x)為奇函數，令g(x)=0，則f(x2)=-f(a-2|x|)=f(2|x|-a).又f(x)為R上的單調函數，所以x2=2|x|-a.從而方程x2=2|x|-a有4個實根，即y=a與y=-x2+2|x|的圖像有4個交點.作函數y=-x2+2|x|的圖像如圖5.因此，0

圖5

評析由于沒有明確的函數解析式，基于抽象函數的復合函數零點問題，利用抽象函數的奇偶性，將方程轉化為兩個獨立的函數值相等的形式，再利用函數的單調性，解套對應法則，得到基本方程類型，再根據數形結合得到問題的解.

四、換元解嵌套函數方程

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解函數h(x)的零點，即方程f(f(x))=f(x)的根.令f(x)=t，則有f(t)=t.先求方程f(t)=t的根，對應于函數y=f(x)與y=x的圖像交點橫坐標.由于y=x與y=f(x)相切于點(-2,-2)和(e,e)，故f(t)=t的根為t=-2和t=e，如圖所示.

圖6

由f(x)=-2可知方程有2解；由f(x)=e可知方程有3解.

因此，函數h(x)=f(f(x))-f(x)有5個零點.

A.2 B.4-4ln2 C.4+2ln2 D.1-3ln2

圖7

原方程的根由f(x)=t確定，要使原方程恰有兩個不等實根，根據f(x)的圖像可知，t≤-1且t唯一.

令y=4x+2e-x(x≤0)，則y′=4-2e-x.

由y′>0，得-ln2

所以，函數y=4x+2e-x是(-∞,-ln2)內的減函數，(-ln2,0)內的增函數，從而4x1+x2的最小值在x=-ln2時取得，值為-4ln2+2eln2=4-4ln2，選B.

評析對于嵌套函數(方程)，將f(x)換元后，原方程轉化為方程組，但最終復合函數的零點是由f(x)=t來確定，而t的個數和范圍直接決定方程f(x)=t解的個數.顯然，函數y=f(x)的圖像，在試題求解中依然起著舉足輕重的作用.