過兩定點的劣弧圓心角越小弧長越短的應用及證明

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮中心學校 236652)

從一道在多種物理教輔資料動力學板塊中常見的題目說起——：

例題1 一段S形單行盤山公路的示意圖如圖1所示，彎道1、彎道2可以看作兩個不同水平面上的圓弧，圓心分別為O1、O2，彎道中心線半徑分別為r1=10m和r2=20m，彎道2比彎道1高h=12m，有一直道與兩彎道圓弧相切.質量m=1200kg的汽車通過彎道時作勻速圓周運動，路面對輪胎的最大徑向摩擦力是車重的1.25倍，行駛時要求汽車不打滑(sin37°=0.6，sin53°=0.8).

(1)求汽車沿彎道1中心線行駛時的最大速度v1；

(2)汽車以v1進入直道，以P=30kw的恒定功率直線行駛了t=8.0s進入彎道2，此時速度恰為通過彎道中心線的最大速度，求直道上除重力以外的阻力對汽車做的功；

(3)汽車從彎道1的A點進入，從同一直徑上的B點駛離，有經驗的司機會利用路面寬度，用最短時間勻速安全通過彎道，設路寬d=10m，求此最短時間(A、B兩點都在軌道的中心線上，計算時視汽車為質點).

這道題目是不久前有老師在“物理通報”期刊群詢問的一道題目.能夠發現，該題目涉及的物理問題是一個綜合性很強的動力學問題，需要運用到運動學、動力學的多個公式并結合能量轉化等相關知識方能解決.圖2是參考答案解析中給出的第三個分問題對應的插圖，其中汽車運行時間最短的路線是過AB兩點并且與軌道內側圓弧(也就是小⊙O1的圓周)相內切的一段劣弧——即圖2中以O′為圓心的劣弧AB.詢問者手頭有該題目的參考答案，也能看明白參考答案的解析過程，他詢問的問題是，如何證明圓弧AB是汽車由A到B最短時間對應的路徑？因為教輔資料給出的參考答案的解析，或者網上百度的解析過程，都是直接說圖2中與彎道內側圓弧相內切的劣弧AB的長度是所有過AB兩點的劣弧中長度最短的劣弧，但并沒有給出證明的過程.

圖2中，由于受彎道的限制，汽車從A點運行到B點無法走直線，所以，只能走曲線，在轉彎過程中要使汽車在兩定點之間運行時間最短，必須使汽車在不側滑的情況下以最大速度沿最短的路線行駛，而要保證汽車不側滑且勻速行駛，必須使車的運動軌跡是過AB兩點的圓弧.圖2中，在彎道路面范圍內，過AB兩點可以作無數條圓弧，它們的圓心均在線段AB的中垂線上，如果我們用圓規在AB的上方畫出很多以AB為公共弦的劣弧的話，給人的感覺是，圓弧所在圓的半徑越大，圓弧所對的圓心角越小，對應的劣弧看起來就越短(當然，也可以在彎道路面范圍內畫出一些過AB兩點的優弧，但這樣的優弧肯定比同半徑的劣弧長，顯然不可能是汽車速度最大時對應的最短路徑).如果這種感覺正確的話，那么，其中與彎道內側邊緣相內切的劣弧將是所有劣弧中半徑最大的，不用說也是汽車以最大速度行駛時所用時間最少的運動軌跡，因為半徑最大時在汽車不側滑的情況下車的速度也達到了最大.但是，僅憑感覺是不能作為推理依據的，必須找到一種邏輯證明的方法才可以.那么，我們如何證明過兩定點的所有劣弧中，所在圓半徑越大的劣弧其長度越小呢？

如圖3所示，O1和O2是已知線段AB中垂線上同側的兩點，其中O2到AB的距離較大，⊙O1、⊙O2均過A、B兩點，設兩圓的半徑分別為R1和R2，公共弦AB在兩圓中所對的圓心角分別為∠AO1B=θ1，∠AO2B=θ2，則有θ1>θ2，R1L2的結論.

因為L1=θ1R1，L2=θ2R2(θ1、θ2單位為弧度，且滿足0<θ2<θ1<π)，所以，欲證L1>L2，只需證明θ1R1>θ2R2即可.

圖3中：

∴θ1R1>θ2R2，即L1>L2.

這就是說，過平面內兩定點的劣弧，圓弧所對圓心角越小，圓弧所在圓的半徑越大，劣弧的長度就越小.

圖2中，在彎道路面范圍內，以AB為端點可以作無數條劣弧，易知，劣弧所在圓的半徑越大，劣弧與弦AB組成弓形的高就越小——將弦長AB視為常量l，可以寫出弓形高h與圓弧半徑R間的函數關系式，上述結論的正確性性可以通過函數的增減性來進行證明(限于篇幅，這里不再證明).當弓形高h小到過AB兩點的劣弧與軌道內側圓弧相內切時，汽車運行圓弧軌跡已經到了彎道的內側邊緣，此時汽車運行軌跡圓弧半徑最大，汽車不側滑時對應的速度也達到最大，而此時汽車運行軌跡的長度最小，所以，過AB兩點并且與彎道內側圓弧相內切的劣弧，是汽車由A點駛向B點時間最短的運行軌道.

在上面的推理過程中，我們用到的主要是數學知識，而且過程比較復雜，構造關聯函數之后兩次求導，利用函數的增減性并結合特殊值間的關系進行論證，作為求解物理問題，這樣的做法好像已經偏離了“物理方向”.如果考慮教學的重點和針對性，在物理習題課教學中分析并講解這道題目時，我們可以跳過證明這一環節，就像參考答案給出的解析過程那樣，將“過兩定點的劣弧的長度隨劣弧所在圓半徑的增大而減小”這一規律當成一個“數學定理”直接使用，或者只是在解題過程中增添一句話——可以證明“過兩定點的劣弧的長度隨劣弧所在圓半徑的增大而減小”，其正確性的推證無需體現在解題過程之中.不過，作為教師，在備課過程中還是應該對上述結論進行嚴密的邏輯論證，畢竟該結論不是“數學定理”，憑感覺進行判斷是在犯經驗主義錯誤，而且未必正確，命題的正確性需要邏輯論證的.