拓展解題反思 構(gòu)建思維支點(diǎn)

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

數(shù)學(xué)家波利亞曾說，“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”數(shù)學(xué)問題的情境是多變的，如何透過情境抓住數(shù)學(xué)模型，找出問題中不變的本質(zhì)，感悟出同類問題的解題規(guī)律和思路，解題之后的反思能極大限度地發(fā)揮解題功能，提升思維品質(zhì).

一、變式反思，激發(fā)思維深刻性

同一個(gè)問題，改變表述方式，從不同的角度提問，雖然知識側(cè)重點(diǎn)有所不同，但是認(rèn)清本質(zhì)特征，都在運(yùn)用同一個(gè)解題思維策略，同一個(gè)解題模型.通過對習(xí)題表征的反思，加深了對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的領(lǐng)悟，促進(jìn)了知識的遷移，通過一個(gè)結(jié)構(gòu)，反思到更高水平的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了思維的深刻性.

對問題本質(zhì)反思，構(gòu)造出不同于原來的新結(jié)構(gòu)，可以提高認(rèn)知水平和思辨能力，引導(dǎo)題組訓(xùn)練，對于貌合神離的知識點(diǎn)，改變細(xì)微的呈現(xiàn)形式，改變了提問視角，有效激活了原有知識結(jié)構(gòu)的生長點(diǎn).

二、類比反思，激發(fā)思維發(fā)散性

解題之后類比，借助已有技能進(jìn)行反思，降低了理解接收新知的難度，把知識和方法融會貫通，應(yīng)用自如.通過類比再將問題進(jìn)行拓展和延伸，既強(qiáng)化了知識體系，又能夠使思維向縱向深處發(fā)展.

例2 (蘇教版必修2第105頁第7題)已知圓C的方程是x2+y2=r2，求證：經(jīng)過圓C上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2.

分兩種情況考慮，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，顯然切線方程為x=x0；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，根據(jù)切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，求出直線OM的斜率，則可求出切線的斜率，得到切線方程．從特殊到一般，改變圓的位置或點(diǎn)的位置，可以類比出以下常見題目．

類比1 已知圓C的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=r2，經(jīng)過圓C上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

類比2 已知圓C的方程是x2+y2=r2，經(jīng)過圓C外一點(diǎn)M(x0,y0)的切線MA，MB，A，B是切點(diǎn),則切點(diǎn)弦AB所在直線方程是x0x+y0y=r2.

證明設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則圓C：x2+y2=r2在點(diǎn)A,B的切線方程是x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2，因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在兩切線上，所以是x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2，這表明點(diǎn)A,B的坐標(biāo)適合直線方程x0x+y0y=r2, 而過點(diǎn)A,B的直線是唯一的, 所以切點(diǎn)弦AB所在直線方程是x0x+y0y=r2.

類比3 過圓(x-x0)2+(y-y0)2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作切線MA,MB,切點(diǎn)弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2.

三、背景反思，激發(fā)思維創(chuàng)新性

問題背景反思，關(guān)注探究和呈現(xiàn)方式，能體會題目所蘊(yùn)含的知識結(jié)構(gòu)與思想方法，數(shù)學(xué)問題是如何提出的，認(rèn)識是怎么逐步完善的，解決此類問題有何意義.從背景出發(fā)，能否改變條件，能否反向推導(dǎo)，找到發(fā)現(xiàn)新知識的突破口，激發(fā)思維創(chuàng)新性．

這道題的幾何背景，為“阿波羅尼斯”圓.將上面題推廣到一般形式，這就是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2(P144B組，2題)一道復(fù)習(xí)參考題.

推廣已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)M1，M2距離的比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1兩種情形).

四、推廣反思，激發(fā)思維生長性

問題的推廣進(jìn)行反思，深挖知識點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，是對概念定理的二次加工，可以激發(fā)思維生長.

例4 (數(shù)學(xué)A版選擇性必修1)如圖，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn).求證:OA⊥OB.

猜想逆命題，如果直線y=k(x-2p)與拋物線y2=2px相交于A、B兩點(diǎn).且OA⊥OB.那么直線過定點(diǎn)(2p,0).

五、錯(cuò)誤反思，激發(fā)思維批判性

對錯(cuò)誤的反思，剖析錯(cuò)誤的成因，挖掘錯(cuò)誤背后的“知識漏洞”和“思維缺陷”，然后有針對性地糾正錯(cuò)誤，培養(yǎng)探索意識，激發(fā)思維批判性.

解題反思不僅能形成思維能力，還能建立網(wǎng)絡(luò)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，理解知識內(nèi)在的聯(lián)系，在反思中實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展.