函數中端點值為零的不等式恒成立問題解決策略

張 裕 魯 倩

(江蘇省句容高級中學 212400)

恒成立問題中，我們常常能見到類似命題“對于任意的x∈[a,+∞)，都有f(x)≥0成立.”如果注意觀察的話，有一類題目是端點值f(a)=0.這類題型在高考中也經常作為壓軸題出現，下面我們結合具體題目來深刻理解此類問題的本質，從而進一步培養和提高學生的數學核心素養.

一、函數在端點處為零，但導函數在端點處不為零

例1 已知函數f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實數，且為常數).若不等式x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

注意此題當a>2時，導函數在端點處f′(1)=2-a<0，此種類型題目若用分離變量方法去做，勢必要用到高等數學中的洛必達法則，而洛必達法則不屬于普通高中數學課程標準內容，因此建議此種類型題目不要用分離變量方法去做，而是采取上述方法去解決.

二、函數在端點處為零，且導函數在端點處也為零

例2(2020全國Ⅰ卷理數21題)已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

解(1)f(x)在(-∞,0)單調遞減，在(0,+∞)時，f(x)單調遞增.

則當x∈(0,ln3)時，h′(x)

可證t(x)在[0,+∞)最小值為tmin(x)=t(0)=t(2)=0，則t(x)≥0，所以h(x)≥0.

因為ex≥x+1(等號當且僅當x=0成立)，所以x∈(0,+∞)時，t′(x)<0，t(x)單調遞減.

函數中端點值為零的不等式恒成立問題，主要有以上兩種題型.當我們遇到此種題型時，要根據上面的解題策略，快速判斷是哪一種題型.總之，在平常教學中要讓學生快速抓住這種數學題型本質，直擊此問題核心，這樣就會使學生的思維活躍起來，從而真正去培養和提升學生的數學素養，提高學生的解題能力.