向量法在高中數學解題中的應用策略

吳麗端

(福建省寧德壽寧縣第一中學 355500)

高中數學教學中，向量不僅僅是教學的重點，也是考試中重要的考點，解題思路非常開放，對于采取常規方式解決不了問題，可以利用向量知識內容解題.

一、利用向量法解決立體幾何問題

高中數學學習中，幾何問題是重要的內容，在實際的教學活動中，針對幾何問題引導學生利用向量知識，解決其中的關鍵性問題，幫助學生掌握數學知識內容.如幾何問題中的垂直問題，利用向量法，對重點知識內容進行梳理，把握問題的關鍵內容，明確問題解題思路，完成數學問題思考和解答.

例題已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，其底面ABCD為菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ.求解CC1⊥BD.

解析此題是一個典型的立體幾何異面直線垂直問題，如果采取常規解題方式，需要將兩個異面直線移到同一平面，然后進行證明.這樣的解題方式較為復雜，運算過程中容易出錯.因此，教師可以引入向量法，對問題進行分析和解答.

通過對題目進行分析，對于立體幾何異面直線問題，常規解題中是異面直線的平移，在同一平面進行思考和解答.引入向量法證明異面直線垂直，可以通過垂直直線的向量和是零的原理，結合向量公式和定理，開展相應的求解活動.

二、利用向量法解決不等式問題

不等式知識在高中數學中占有比較大的比重，為了加強學生不等式知識學習，在不等式問題解答中，引入向量法，提高學生解題效率，培養學生解題能力.高中數學教學中，不等式問題求解時，利用向量的數量積性質，通過相應的變形完成解題.因此，對于不等式問題，引導學生對題目分析，合理利用向量法解題，培養學生多樣化解題方式.

例題求證不等式：(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

在不等式解題中，教師需要對題目進行分析，結合題目中的條件引入向量法.此題的結論被稱為柯西不等式，當兩個向量共線情況下，等號成立.因此，在高中數學問題解答中，向量法有著重要的作用，具有比較強的現實意義，特別是一些特定內容，擺脫復雜的推理過程，明確解題思路，保證解題準確性.

三、利用向量法解決三角函數問題

三角函數是高中數學的難點內容，面對三角函數問題，需要借助合理的教學方式，簡化數學問題，引導學生利用發散思維進行思考，完成三角函數問題解答.

4連通與8連通的示意圖如圖4所示。4連通時假設中心點★為0級灰度，當A、B、C、D其中一個點灰度級為0，則★點與其他點有連接；8連通時假設中心點★為0級灰度，當A、B、C、D、E、F、G、H其中一個點灰度級為0，則★點與其他點有連接。

在三角函數問題解答中，讓學生對題目結構進行分析，構造相應的向量，利用向量的數量積公式，使得解題過程簡單化，快速完成問題解答.

四、利用向量法解決方程問題

在高中數學解題中，向量法作為一個常用的方式，可以在多個知識中使用，如方程問題解答中，引入向量法.在高中數學方程問題解題中，一些問題較為困難，常規解題很難找到解題思路，引入向量法，能夠減少題目思考量，調動學生學習積極性，快速完成問題思考和解答.

在高中數學方程解題中，分析題目特征是解題的關鍵，構建相應的向量，轉化方程式，完成題目求解.通過這樣的解題過程，能夠避免復雜的數學運算，更加快速的解題.

五、借助向量法解答解析解題問題

解析幾何是高中數學知識的難點內容，特別是圓錐曲線內容，面對一些和圓相關的問題，需要考慮點和圓的位置關系.通過向量法的引入，將數學問題轉化成數量積，根據其和零的關系進行判斷，簡化數學運算環節，降低題目解答難度，提高學生解題能力.

(1)當直線l經過右焦點F2時，求解直線l的方程.

(2)直線l和橢圓C相交，其交點分別是A和B，G、H分別是△AF1F1和△BF1F2的重心，如果原點O在以線段GH為直徑的圓內，求解實數m的取值范圍.

在此題解答過程中，涉及到的知識點比較多，通過把握圓的性質，利用向量的工具以及重心性質，找出解題的關鍵，將復雜的問題簡單化，提高學生解題能力.

六、借助向量法解決線性規劃問題

在高中數學解題中，線性規劃問題是常見的題目類型，對學生思維能力和想象能力要求比較高.在設計的解題中，對于一些復雜的線性規劃問題，巧妙引入向量法，對問題進行轉化，明確問題解題思路，提高學生解題效率.

在解題時，根據題目中的已知條件，畫出相應的可行域，并且找出其指向向量.如圖1所示，通過分析，目標向量n在向量(3，-2)和(-1,4)之間，得出目標函數z=x+2y的最小值即3x-2y+10=0和x-4y+10=0的交點，得出最小值是2.

在解題的過程中，通過法向量對其可行域進行分析，結合題目已知條件對其進行分析，利用向量公式原理，完成題目的有效解答.

總之，向量作為一種有效的解題工具，讓學生從不同的角度思考問題，掌握新的解題方式，加強學生思維能力訓練.作為高中數學教師，需要結合數學解題設計，巧妙引入向量法，借助多元化解題方式，樹立學生學習自信，更好地完成數學問題解答.