從兩道高考題談“同源”法構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

一、真題呈現(xiàn)

例1(2020年全國卷2·理科第11題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解析由題，不等式整理得2x-3-x<2y-3-y，構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t，有f(x)0，所以ln(y-x+1)>0，故選A.

例2 (2020年新高考山東卷·第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

二、“同源”法的提出

在高中數(shù)學解題中，有些等式(或不等式)可變形成兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同的形式，利用這個結(jié)構(gòu)式構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)，進而利用該函數(shù)性質(zhì)解題的方法，通常稱之為“同源”法.

如例1中將不等式中的變量x,y分離到不等號的兩側(cè)，出現(xiàn)2x-3-x<2y-3-y，發(fā)現(xiàn)兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同，于是構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t，有f(x)

三、例析“同源”法在解題中的應(yīng)用

1.“同源”法在解方程(或方程組)中的應(yīng)用

例3(2019年衡水中學周考)解方程log13(5x+12x)=log5(13x-12x).

評析本題設(shè)兩個相等的對數(shù)值為t后，將對數(shù)式變形為兩個指數(shù)和式，相加整理得5x+13x=5t+13t，等式兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同，于是應(yīng)用“同源”法構(gòu)造函數(shù)解題.

評析解決該題的關(guān)鍵是將β(lnβ-1)=e4變形為(lnβ-1)elnβ-1=e3，使兩個方程結(jié)構(gòu)相同，于是利用“同源”法構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex解題.

2.“同源”法在求函數(shù)值(或最值、值域)的應(yīng)用

例5已知f(x)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，且f(0)=1，對?x∈R恒有xf(x+2)=(x+2)f(x)，求f(f(2021))的值.

評析設(shè)最小值為λ后，變形得到a2-λa+3(b2-λb)+12≥0，因為a與b是獨立的變量，且a2-λa與b2-λb結(jié)構(gòu)相同，所以問題轉(zhuǎn)化為4f(x)min+12=0.

3.“同源”法在比較大小中的應(yīng)用

例7 (2014年湖南卷·文科第9題)若0

A.ex2-ex1>lnx2-lnx1B.ex2-ex1

C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)在(e,+∞)內(nèi)有極值，試比較ea-1與ae-1的大小，并證明你的結(jié)論.

解析(1)當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，+∞)上是增函數(shù)；

綜上所述，當a∈(e+e-1-2,e)時，ea-1ae-1.

4.“同源”法在求解不等式中的應(yīng)用

例9(2020年江蘇省如東高級中學高二期中)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)+f(-x)=2x2，且當x<0時，f′(x)<2x，則不等式f(x)+4≥f(2-x)+4x的解集為____.

解析由f(x)+f(-x)=2x2得[f(x)-x2]+[f(-x)-(-x)2]=0，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x2，有g(shù)(x)+g(-x)=0，且當x<0時g′(x)=f′(x)-2x<0，則函數(shù)g(x)為定義在R上奇函數(shù)，且在(-∞,0)上遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)易知g(x)在R上遞減，不等式f(x)+4≥f(2-x)+4x整理可得f(x)-x2≥f(2-x)-(2-x)2，即g(x)≥g(2-x)，則x≤2-x，故x≤1.

評析該題是典型的“同源”法構(gòu)造函數(shù)解題，根據(jù)f(x)+f(-x)=2x2及f′(x)<2x，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x2，將不等式f(x)+4≥f(2-x)+4x變形為g(x)≥g(2-x)，由函數(shù)g(x)的性質(zhì)解題即可.

A．[1，+∞) B．(0，+∞) C．(0，1) D．(0,1]

評析設(shè)0

5.“同源”法在證明不等式中的應(yīng)用

例11(2018年全國卷1·文科第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

評析首先將不等式f(x)≥0放縮為ex-1-lnx-1≥0，接下來經(jīng)過適當變形為xex≥ln(ex)·eln(ex)，兩側(cè)結(jié)構(gòu)一樣，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xex(x>0)解題.

“同源”法構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學解題的一種常見方法，在解題中若能通過觀察、分析、整理，使等式(或不等式)兩側(cè)同“源”，則可輕松構(gòu)造函數(shù)，巧妙利用函數(shù)單調(diào)性解題.