尋找臨界點 巧破恒成立

劉明遠

(河北省灤南縣第一中學 063500)

“不等式恒成立求參數的取值范圍問題”一直活躍在各級考試之中，尤其是高考題中尤為常見．因為這類題目綜合性強，難度大，能力要求高，很多學生望而生畏，無從下手，但這種題目中，其本質根源在于參數變化時，函數的圖像與x軸的關系出現交、切這兩種臨界情況，所以尋找臨界值點——區間端點和切點，此類問題便可輕松求解，下面舉例說明．

一、只存在“切點”

若函數在所給區間的端點沒有意義，則只考慮切點，便可求出參數的取值范圍．

例1(2020年高考山東卷·21)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

分析(1)略．(2)因為定義域為(0，+∞)，所以此類題目的臨界值沒有“區間端點”，因此只考慮“切點”，便可求出參數的取值范圍，即f(x) 與y=1相切．

綜上，該題結果為a≥1．

解析(1)略．

(2)由f(1)≥1得a+lna≥1，解得a≥1．

當a≥1時，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx．

二、只存在“區間端點”

若函數在所給區間不能與x軸相切，則只考慮區間端點，當函數在區間端點有意義，應先代入端點值滿足題設，若此時不能求出參數的范圍，則考慮變量分離，用端點的極限值便能求出參數的范圍．

例2(2010年新課標卷·21)設函數f(x)=ex-1-x-ax2．若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍．

分析①考慮區間端點．f(0)=0顯然成立，即a∈R，所以此時應考慮極限值．

②考慮相切．設f(x)與x軸相切于(t，0)(t>0)，則f(t)=0；f′(t)=0，所以et-at2-t-1=0；et-2at-1=0，消去a得(t-2)et+t+2=0，解得t=0(舍)．

三、存在“區間端點”和“切點”

若函數在所給區間端點處有意義且存在與x軸相切的情況，則參數的范圍為兩種臨界狀態的交集．

例3(2013年高考全國Ⅰ卷·21題改編)已知f(x)=x2+4x+2，g(x)=ex(2x+2)，若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．

分析①考慮區間端點．f(-2)≤kg(-2)，所以-2≤-2ke-2，因此k≤e2．

②考慮相切．設h(x)=f(x)-kg(x)與x軸相切于(t，0)，則h(t)=0；h′(t)=0，所以t2+4t+2-ket(2t+2)=0；2t+4-ket(2t+4)=0，解得t=0或-2，所以由f(0)≤kg(0)得2≤2k，解得k≥1．

綜上，該題結果為1≤k≤e2．

解析由f(-2)≤kg(-2)得k≤e2；由f(0)≤kg(0)得k≥1，所以1≤k≤e2．

設函數F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1)．

令F′(x)=0，得x1=-lnk，x2=-2．

(2)若k=e2，則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，從而當x>-2時，F′(x)>0，故F(x)在(-2，+∞)單調遞增，而F(-2)=0，故當x≥-2時，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．

綜合，k的取值范圍是[1，e2]．

例4(2020年高考全國Ⅰ卷理科·21)已知f(x)=ex+ax2-x．

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

分析(1)略．

解析(1)略．

從以上4例可以看出，參數的取值范圍主要與臨界值點——區間端點和切點有關，從這兩種點出發，求出各自對應的參數的取值范圍，最終的交集就是題目答案，這種方法尤其對于選擇填空題更為有效，讀者可以自行實驗，在此不再贅述．