函數零點虛設后的幾種處理策略

魏東升

(江西省瑞金第一中學 342500)

函數與導數主要考查學生邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養的主要載體，其一直是高考考查的重點之一.在處理函數與導數的壓軸題時，對零點的處理往往是一個關鍵環節，有些函數的零點確實存在，但無法精確求解，此謂之“隱零點”；有些導數的零點雖然可求，但因含參而需要討論.對于這類問題，常見的處理方式主要有虛設零點和化隱為顯兩大類.

其中虛設零點是指為了處理函數的隱零點問題，通過采取假設函數零點卻不直接求解，通過謀求整體的轉化,將函數轉化為易求的形式進行求解的一種處理技巧.本文通過結合2019年高考的幾道導數壓軸題，試圖呈現隱零點問題中虛設零點后的幾種策略，以供大家參考.

例1 (2019年江蘇卷)設函數f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f′(x)為f(x)的導函數.

證法1 (降次留參)因為a=0,c=1，所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx，

評析對于所求問題對應的高次函數含參，且其零點可求但形式繁瑣，以致無法通過將該零點正常代入函數的方式求得最值時，可考慮對函數進行適當變形，以便零點可以以整體形式代入，從而達到降次以消去主元，只留下參數的方式.

評析對于上述這種類型，除了降次留參的策略，還可以考慮通過參數的有界性消去參數，進而構造以零點為主元的參函數，通過放縮的形式間接達到要證明的結論.

例2 (2019年天津卷文)設函數f(x)=lnx-a(x-1)ex，其中a∈R.

評析如果所求問題對應的函數含參，但是參數可以通過所建立的方程關系比較方便地分離出來，則可考慮將該參數消去，只留下與所求問題有關的量.

(1)略；

(2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

評析如果所求問題對應的函數是個超越函數(和指數函數、對數函數和三角函數等函數結合的函數)，在假設零點后，可以考慮把超越式(如lnx、ex等)分離出來再代入所求，以達到將超越函數轉化為普通函數的目的.

例4 (2019年全國2卷文)已知函數f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明：

(1)略；

(2)f(x)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

評析在一類函數零點個數判斷(或根據零點個數求參、或零點所在區間判斷)的問題中，往往會碰到判斷導函數零點對應原函數值的符號，而零點本身并不可求，這時可以考慮利用該零點附近的特殊點的函數值來確定符號.

通過上述幾個例題我們知道，結合已知條件和結論假設函數零點卻不直接求解，通過謀求整體的轉化,將函數轉化為易求的形式進行求解的一類主要處理策略.在導數壓軸題的教學過程中，像這樣以專題的形式介紹隱零點問題的處理策略，盡量一次性徹底地解決與其有關的問題，對學生解題水平的提升、邏輯思維的訓練和核心素養的培養，顯然都是極好的.