一道平面向量問題引發(fā)的思考與探究

陳 芳

(山東省桓臺第二中學 256400)

數學家哈爾莫斯所說：“數學的真正組成部分是問題和解”.作為高中數學老師，在教學中要重視學生出現的錯誤問題，深入研究學生出現問題的本源，抓住錯誤癥結，總結規(guī)律，找出本質，最終形成解決這類問題的通性通法，要把學生在解題過程中出現的錯誤看成是認識學生思維規(guī)律的重要手段，最終實現教學相長.

在一堂平面向量習題課中，學生在講解一道平面向量問題時，出現了幾種具有代表性的錯誤解法，引起我的注意和興趣，通過探究，挖掘出學生在解決向量問題中出現的一些共性問題，并給出了兩種常見的處理方法.

一、引例

二、三種典型的錯誤解法

錯因辨析在不等式問題中，有不少同學習慣將兩個不等式相加，得出取值范圍，殊不知在沒有探究題設條件范圍時，就將不等式相加或者相減，容易引起結果范圍的擴大或縮小，因此要告誡學生審題和分析題設條件是解對問題的關鍵和前提.

此題就是個別學生忽視了題設條件中，點的橫、縱坐標之間有制約關系，將兩個不等式直接相加，結果擴大了.

x2+y2+xy=1，令t=x+2y，

∴x=t-2y代入上式整理得

3y2-3ty+t2-1=0有解，

∴Δ≥0，解得-2≤t≤2∴x+2y的最大值是2

錯因辨析個別學生將這道最值問題，通過換元轉化為二次函數方程有解，想法很巧妙，答案對，但比較遺憾的是學生忽略了y的條件限制.

①

②

三、兩種巧妙的解法

高中階段涉及求最值問題，通常有四種方法，轉化為二次函數求最值、基本不等式、求導和三角函數的方法，鑒于此，解法一通過尋求等式中x，y的關系，轉化為給定區(qū)間上二次函數求最值，解法二是通過數形結合，將問題轉化成三角型函數y=Asin(ωx+φ)，進而在指定的區(qū)間上求出最值.

兩邊平方，化簡得：x2+y2+xy=1，

令t=x+2y，t2=x2+4xy+4y2=x2+4(xy+y2)=x2+4(1-x2)=4-3x2.

又0≤x≤1，由二次函數的知識得：1≤t2≤4，

即1≤x+2y≤2，∴x+2y的最大值是2

點評通過將向量等式兩邊平方，轉化成代數式，再對t=x+2y平方后代入消元，最后利用給定區(qū)間上的二次函數，求出最值.

∴x+2y的最大值是2.

點評在高中解決平面向量的問題中，建立直角坐標系是一種常用的方法.因此建好直角坐標系后，將向量式轉化成三角函數形式，最終借助三角型函數得解.

在高中數學教學中，教師要注重對試題命制立足點的溯源.本題考察了向量與最值之間的關系，如何由向量式轉化成代數式，最后借助二次函數和三角函數求出最值是學生需要深思的地方.

教學中應該借助此題進行總結平面向量最值問題，一是向量式轉化成代數式的兩種常見方法建系坐標化和數量積(平方是一種常用手段)，二是求最值的常見幾種方法.在教學中引導學生經常反思，可以從不同的角度得到同一道題的多種解法，能使學生在無數的表象下面牢牢抓住數學的本質，從而使學生的解題能力得到不斷升華和提高.