多法求解一道全國模擬試題的“母題”

杜海洋

(四川省成都經濟技術開發區實驗中學校 610100)

一、試題呈現

子題2021年普通高等學校招生全國統一考試模擬演練(數學17題)已知各項都為正數的數列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

(1)證明：數列{an+an+1}為等比數列；

母題在人教A版新課標教材必修《數學5》中第二章《數列》復習參考題B組第69頁第6題：

(1)已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)對于這個數列的通項公式作一研究，能否寫出它的通項公式？

筆者通過對母題進行分析、思考、探索，得到下面8種解答，目的是對這類由數列的二階線性遞推公式求數列的通項公式的求法進行歸納，以達到拋磚引玉的作用，也希望讀者仿照解法對模擬演練試題(子題)進行多角度求解!

二、母題解法

解法1 (教參提供解法)(建立方程組)由an=2an-1+3an-2(n≥3)得：an+an-1=3(an-1+an-2)以及an-3an-1=-(an-1-3an-2)，所以數列{an+an-1}是以a2+a1=7為首項，3為公比的等比數列，所以an+an-1=7·3n-2,

解法5 (構造輔助數列)

解法6(分類討論)用逐項相消，再用奇偶討論

由an+an-1=7·3n-2，得n-1個等式a2+a1=7×30,a3+a2=7×3,a4+a3=7×32,a5+a4=7×33…an+an-1=7×3n-2.

三、解法點評

解法1利用遞推數列中的項的系數合理分解組合，構造出兩等比數列，再利用方程組求解，這也是解法3待定系數法的特例，考查了學生多想少算的解題策略，同時也體現了數學轉化劃歸思想；解法2、4、5靈活運用常數的“功效”進一步將遞推公式進行轉化，尤其采用解法2針對相鄰兩項和的遞推數列求通項公式可以避免“二次”待定系數法，且學生容易接受；解法6體現了分類討論思想在數列中的高頻運用，進一步激發學生探究興趣；解法7是本例常見的一種通法，但要留意特征方程根的個數，限于篇幅，請讀者查閱相關資料進一步領會特征方程.利用遞推數列求數列通項公式是高考的命題熱點之一，解決這類問題的方法很多，但不同策略目標是進一步將遞推數列劃歸轉化為等差、等比數列，即所謂解決數列問題的“大格局”.

縱觀2021年新高考八省模擬演練數學試題，筆者發現，試題體現了新高考的特點即：在秉承素養導向、能力為重的原則下，突出考查學生的理性思維和探究能力，彰顯了綜合運用數學思想方法發展“四能”的意識.尤其是大量的試題創新設置豐富了試題的內容和形式、優化了試卷的結構.大量試題的背景來源依然是學生“熟悉”的面孔，只是呈現的形式換了“包裝”，細心的讀者發現實際模擬17題明顯在教材的難度上降下了臺階，只要平時教學留意，學生順利完成不難.

波利亞曾說過：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義但不太負載的題目，幫助學生發掘問題的各個方面，把學生引入一個完整的理論領域.”教材許多例題、習題看似平常，實際上卻有很大的教學價值和研究空間.縱觀近幾年全國各地高考題，模擬題均能找到課本習題、例題的影子，真正體現源于教材、活于教材、高于教材.高考中不變的是知識和思想方法，變化的無非是情景的呈現形式、問題的結構方式.這就要求平時在教學中，尤其典型例題和習題不但要講,還要講深講透,同時還要進行一題多解多變, 既可以開拓學生的視野，又可以最大限度的發揮習題的最大功效，使之知一題懂一類.