一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的多種解法

龐啟佳 肖 剛

(1.四川省宜賓學(xué)院理學(xué)部18級(jí)3班 644000;2.四川省宜賓學(xué)院理學(xué)部 644000)

新版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，滲透于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的始末，依賴于創(chuàng)新意識(shí)和探究意識(shí)，從不同數(shù)學(xué)視域下進(jìn)行探究性解題，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方法.本文以一道國際國內(nèi)均出現(xiàn)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題作為研究對(duì)象，探究一題多解在提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的應(yīng)用.該試題來源于中國1996年初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，于1998年出現(xiàn)在加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽中.試題如下：

方法1幾何視角

根據(jù)題意，我們可構(gòu)造如下三角形：

圖1

又因?yàn)椤螦是ΔABD和ΔACB的公共角，從而∠ABC=∠ADB=90°

由勾股定理：

評(píng)析從幾何視角出發(fā)，將方程問題轉(zhuǎn)化為解三角形的幾何問題.避開方程的化簡(jiǎn)和求解的繁復(fù)運(yùn)算，達(dá)到事半功倍的效果.

方法2幾何視角

注意到“1”，可構(gòu)造如下三角形：

圖2

∴△ACH∽△BCA,∠BAC=∠AHC=90°，

評(píng)析方法2與方法1較為類似，不同點(diǎn)在于構(gòu)造三角形邊的長(zhǎng)度，導(dǎo)致所得到的最簡(jiǎn)方程不一致.該方法所得方程為三次方程，需進(jìn)一步化簡(jiǎn).

方法3向量視角

∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉=1,∴cos〈a,b〉=1.

評(píng)析從向量視角出發(fā)，將方程問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題.通過數(shù)量積等于1，推導(dǎo)得出模長(zhǎng)為1，最終求得簡(jiǎn)化后的方程.此方法對(duì)構(gòu)造向量的形式有一定要求.若構(gòu)造的向量不滿足數(shù)量積為1，所得結(jié)論將會(huì)產(chǎn)生偏差.對(duì)學(xué)生的構(gòu)造能力有一定要求.

方法4三角換元+數(shù)形結(jié)合視角

由點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式可得：

評(píng)析方程中有結(jié)論“1”，易聯(lián)想到同角三角函數(shù)的關(guān)系“sin2x+cos2x=1”，故采用三角換元法，將原方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離表達(dá)形式.再借助數(shù)形結(jié)合思想，求解方程.

方法5數(shù)形結(jié)合視角

由點(diǎn)到直線的距離公式知：

方法6對(duì)偶換元法

方法7代數(shù)換元法

故有a-b=b2?a=b+b2.

又∵a+b-(a2-b2)=1,即b4+2b3-b2-2b+1=0?(b2+b-1)2=0,

評(píng)析方法6與方法7，通過巧妙的換元，成功避免了方程中根號(hào)帶來的運(yùn)算困難，相比前5種方法，計(jì)算量較小.但對(duì)換元的部分有要求，如果換元所選擇的部分不恰當(dāng)，未必會(huì)帶來簡(jiǎn)化方程的效果.

方法8三角換元法

令x=sec2t，則原式可化為：

從而sin2tcos2t+2sintcos2t=1,

代入x，有x4-2x3-x2+2x+1=0,

方法9結(jié)構(gòu)變形

即：x4-2x3-x2+2x+1=0,

方法10變量替換

又由(3)+(4)得：

通過以上10種解法的探析，可以鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，擴(kuò)展數(shù)學(xué)思維，開拓?cái)?shù)學(xué)視野，最終達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不能采用題海戰(zhàn)術(shù).從多種數(shù)學(xué)視角出發(fā)，采用多種方法解決一道經(jīng)典數(shù)學(xué)例題，往往能達(dá)到事半功倍的效果.