轉換信息 分類思考 尋求模型

劉家良

[真題呈現]

例（2020·天津·第25題）已知點A（1，0）是拋物線y=ax2 + bx + m（a，b，m為常數，a ≠ 0，m < 0）與x軸的一個交點.

（1）當[a=1]，[m=-3]時，求該拋物線的頂點坐標.

（2）若拋物線與[x]軸的另一個交點為M（m，0），與[y]軸的交點為C，過點C作直線[l]平行于x軸，E是直線[l]上的動點，F是y軸上的動點，EF=[22].

①當點E落在拋物線上（不與點C重合），且AE=EF時，求點F的坐標;

②取EF的中點N，當m為何值時，MN的最小值是[22]？

[學情分析]

第（1）題：用待定系數法求二次函數解析式并用配方法（或頂點坐標公式）求拋物線頂點坐標. 此問起點低，面向全體.

解：y=x2 + 2x - 3=（x + 1）2 - 4，拋物線的頂點坐標為（-1，-4）.

第（2）題①問：由拋物線與x軸的兩交點坐標得到含待定常量a，b，m的兩個方程，兩個方程組成方程組，但發現其中含有三個待定常量a，b，m. 通過觀察，發現此方程組有其特殊性，利用因式分解可得a=1. 然后將b的值用含m的式子表示，這樣二次函數的解析式可簡化到只含待定常量m的式子. 再將點E的橫坐標用含m的式子表示，由勾股定理建立方程求得m值，至此問題的閘門打開.

解：∵拋物線y=ax2 + bx + m經過點A（1，0）和M（m，0），

∴a + b + m=0，am2 + bm + m=0. 整理得（a - 1）（m - 1） = 0，

∵m < 0，∴a=1，∴b=-1 - m. ∴拋物線的解析式為y=x2 -（1 + m）x + m.

根據題意，知點C（0，m）. ∵l[?]x軸，∴CE[?]x軸，∴點E的縱坐標為m.

令y=m，得x2 -（1 + m）x + m=m. 解得x=0或x=m + 1. ∴E（m + 1，m）.

過點A作AH⊥l于點H，如圖1. 由點A（1，0），得點H（1，m）.

在Rt△EAH中，EH=1-（m + 1）=-m，HA=0 - m=- m，由勾股定理得AE2=EH2 + AH2=2m2.

∵AE=EF=[22]，∴2m2=8. 解得m=2或-2.

∵m < 0，∴m=-2. ∴點E（-1，-2），C（0，-2），∴EC=1.

∵CE[?]x軸，點F在y軸上，∴∠ECF = 90°.

在Rt△EFC中，CF=[EF2-EC2]=[7]，

∴點F的坐標為（0，[7] - 2）或（0，-2 - [7]）.

第（2）題②問：由于E，F是動點，N為EF的中點，所以N也是動點. 但E，F兩點間的距離是定值，即EF = [22]. 由直角三角形斜邊上的中線性質，得CN=[12EF]=[2]，即動點N到點C的距離是定值，加之點C為定點，由圓的定義，知動點N的運動路徑是以點C為圓心，[2]為半徑的⊙C. 由MN的最小值是[22]，聯想到“點到圓的最近距離”模型，此時，點M到點C的距離MC=[22] + [2]=[322]或MC=[2] - [22] = [22]. 接下來由勾股定理得方程即可求解.

解：由N是EF的中點，得CN=[12EF]=[2].

∴動點N在以點C為圓心，[2]為半徑的⊙C上.

由點M（m，0），點C（0，m），得MO=-m，CO=-m.

在Rt△MOC中，MC=[MO2+CO2]=-[2m].

如圖2，當MC > [2]，即m < -1時，點M在⊙C外.

欲使點M到點N的距離最小，需點N落在線段MC上，

此時，MC=[22] + [2]=[322]，∴[322] = -[2m]. 解得m=[-32];

如圖3，當MC < [2]，即-1 < m < 0時，點M在⊙C內.

欲使點M到點N的距離最小，需點N落在線段CM的延長線上，

此時，MC = [2] - [22] = [22]，∴[22] = -[2m]. 解得m = [-12].

綜上，當m的值為[-32]或[-12]時，MN的最小值是[22].

[勤于積累]

1. 配方法求拋物線的頂點坐標，實則是完全平方公式的應用.

2. 函數圖象經過某個點，該點的坐標適合函數解析式，即點的橫、縱坐標分別是圖象所對應的函數式中的x，y. 這是將點坐標代入函數式的依據.

3. 直角三角形斜邊上的中線性質，是構造輔助圓常用的依據.