從“以方測圓”到“化曲為直”

張敏

摘要：在數學教學中融入數學史，可以把教材中呈現的素材和相關史料以知識發生、發展過程的視角進行合理重組，促進學生理解數學本質，領會數學思想，感悟數學文化。HPM取向的《圓的面積》教學，結合史料，依循人類探索圓的面積的發展過程，以學生已有的經驗為依托，引領學生“以方測圓”，建立圓面積和正方形面積（r2）的聯系;運用數方格法“數”出圓的面積，初步體會極限思想;運用“切西瓜”法“化曲為直”，推理論證。

關鍵詞：HPM;數方格;化曲為直;極限;《圓的面積》

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），通常被理解為“數學史向數學教學的滲透”。HPM相關研究表明，個體的認識過程與人類的認識過程基本是一致的，在數學教學中融入數學史，可以把教材中呈現的素材和相關史料以知識發生、發展過程的視角進行合理重組，促進學生理解數學本質，領會數學思想，感悟數學文化。《圓的面積》一課，筆者結合相關史料，開展了HPM取向的教學實踐。

一、教學準備

（一）“圓的面積”相關史料

最初，人們認為，圓比較近似正方形，求圓的面積，可以想辦法作出一個正方形，使它的面積恰好等于圓的面積。但無論是外切正方形還是內接正方形，都不能滿足這個要求。這曾是困擾古希臘數學家的三大幾何難題之一。

我國古代數學家劉徽和祖沖之，從圓的內接正六邊形出發，讓邊數成倍增加，單側逼近圓的面積;古希臘數學家阿基米德，則從內外兩個方向雙側逼近圓的面積。這些“以方測圓”思路中的“逼近”就是試圖接近“極限”。

古印度數學家則采用“切西瓜”的辦法：把圓切成許多“小瓣”，再把這些“小瓣”平均分成兩部分，各自展開后，拼插成一個近似的平行四邊形，用這個近似平行四邊形的面積去代替圓的面積。后來，德國天文學家開普勒也仿照“切西瓜”的方法，大膽地設想把圓分割成無窮多個小扇形，圓的面積就是無窮多個小扇形面積的和。開普勒斷言（但無法證明）：無窮小的扇形可以看作三角形，扇形面積等于三角形的面積。顯然，這種方法對人類的想象和推理提出了挑戰，是極限思想的雛形。

（二）HPM取向的《圓的面積》教學思路

盡管歷史上人類探索圓的面積的方法不同，但不同中蘊藏著相同——都希望“化曲為直”，即把圓這個曲邊圖形轉化為直邊圖形;而且在解決問題的具體過程中，每種方法都不可避免地涉及“無限接近”——這也是歷史上討論最為激烈的焦點問題。

因此，《圓的面積》一課教學，可結合史料，依循人類探索圓的面積的發展過程，以學生已有的經驗為依托（如求不規則圖形面積的“數方格”法、求取面積公式的“轉化”策略等），引領學生“以方測圓”——將圓的面積與正方形的面積建立聯系，給圓的面積確定一個范圍;“求精入微”——思考并想象，當用來做單位面積的方格變得越來越小，直至無窮小時，就可以準確地“數”出圓的面積了;“化曲為直”——采用“切西瓜”的思路探尋圓的面積計算公式。這樣的過程中，學生充分經歷猜想、操作、驗證、討論和歸納等，在層層深入的活動中體會“轉化”和“極限”思想。

二、教學過程

（一）在畫圓中喚醒已有經驗

師同學們，你們會畫圓嗎？老師給大家準備的學習單上有個方格圖，請拿出圓規在上面畫一個圓。

（學生在學習單上畫圓。）

師誰能用學過的知識介紹一下你畫的圓。

生我畫的是半徑3 cm的圓。

生我畫的是直徑4 cm的圓。

生我畫的是周長25.12 cm的圓。

師通過大家的介紹，可以看出同學們從不同方面對圓有了一定的了解。根據以前學習平面圖形的經驗，你們還對圓的什么知識感興趣？

生圓的面積。

師（板書課題：圓的面積）今天我們就來學習圓的面積。請同學們猜一猜，圓的面積大小可能跟什么有關？

生半徑。

生直徑。

生周長。

[說明：通過在方格紙上畫圓以及對圓的自主介紹，喚醒學生已有的經驗，促其提出問題，引發思考，并自然地將圓的面積與半徑、直徑甚至周長建立聯系，為后續教學新知做好準備。]

（二）了解古埃及“以方測圓”的思路

師圓的面積計算這個問題，其實是古希臘三大幾何難題之一，古代人很早就開始思考了。（播放視頻，畫面定格于圖1）古埃及人對于圓面積的探究，是借助于其與正方形面積的關系來進行的。參考古埃及人的思路，大膽猜測一下，與一個圓有著密切聯系的正方形在哪兒？

生以圓的半徑為邊長的正方形。

生以圓的直徑為邊長的正方形。

師（出示圖2）同學們的感覺很敏銳！深入思考下去，估一估，圓的面積和這兩個正方形的面積相比怎么樣？

生圓的面積比小正方形面積的2倍大一些。

師你是怎么想的？

（學生解釋，教師同步課件動態呈現圖3。）

生圓的面積比大正方形的面積小一些。

生大正方形面積是小正方形面積的4倍，說明圓的面積比r2的4倍小一些。

（學生解釋，教師同步課件呈現圖4。）

[說明：介紹古埃及人探究圓的面積的史料，將圓的面積與正方形的面積建立關聯，引導學生利用方格圖中與圓的半徑和直徑關系最密切的2個正方形（以半徑為邊長和以直徑為邊長），估計出圓的面積的大致范圍：2r2<圓的面積

（三）化用古埃及“數谷粒”的方法“數圓”

師同學們對圓面積的大小確定了一個合理的范圍。當然，僅有范圍還不夠，得想辦法把它們確切的倍數關系弄清楚。想一想，在方格圖中計算不規則圖形的面積，有什么經驗可以借用？

生可以用數方格的方法。

師好，我們就用數方格的方法來研究圓的面積到底是r2的幾倍。先把正方形的面積，也就是半徑的平方數出來，是多少？

生9平方厘米。

師數圓的面積有什么好的建議嗎？

生只要數出四分之一圓的面積，然后乘4就可以了。四分之一圓大約是7.5格，圓的面積大約是30平方厘米。

師拿出計算器算一下，圓的面積大約是r2的幾倍？

生保留一位小數，大約是3.3倍。

師同學們，為了使我們的實驗數據更有說服力，請大家拿出自己上課開始時畫的圓，數出它的面積，算算面積是r2的幾倍，把結果記錄下來，等待匯報。

（學生活動后匯報數據，匯總得到表1。）

表1正方形面積與圓面積的倍數關系

正方形面積

（r2）圓面積圓面積大約是正方形面積的

幾倍（精確到十分位）9303.316523.225783.1361123.1師請同學們仔細觀察表格，你有什么發現？

生圓的面積都是r2的3倍多一些。

師這就比剛才估測的范圍更精確一些了。我們把數方格的方法和古埃及人數谷粒的方法聯系起來看看。（播放視頻，畫面定格于圖5）看到3.14倍，大家就想到了什么？

生π倍。

師我們用實驗的方法，通過大量的實驗數據發現，圓的面積是r2的π倍。

[說明：數是度量的一種基本策略。這種策略指向了度量的數學本質，也有利于學生實現經驗的遷移。首先，引導學生利用研究不規則圖形面積的“數方格”經驗，將自己所畫圓的面積數出來，并將其與r2的倍數關系算出來。通過不同的數據對比，進一步確定：圓的面積大約是r2的3倍多一些。結合史料介紹，用均勻分布的小格子代替谷粒，當小格子足夠多時，數方格得到的圓的面積大約是r2的3.14倍。這個環節，將學生已有學習經驗與史料中古埃及人的探索方法相結合，通過數、算的過程將圓的面積與r2之間的倍數關系進一步精確化。特別地，引發學生思考并想象，當用來做單位面積的方格變得越來越小，直至無窮小時，就可以準確地測量出圓的面積了。借助課件，幫助學生經歷直覺的“極限”過程，初步理解“極限”。]

（四）運用古印度的“切西瓜”法“化曲為直”

師在數學研究中，實驗數據確實可以說明問題。不過，大家都知道，最嚴密、最有說服力的方法還是——推理。同學們，以前我們在研究一個新的圖形的面積時，是怎樣推導的？

生把新圖形用剪拼的方式轉化成學過的圖形，化未知為已知，利用新舊兩個圖形間的關系進行推導。

師（出示圖6）那今天我們學習的圓，能轉化成我們學過的圖形來研究嗎？

（學生交流。）

師大家提出了一些方法?，F在來看看古印度數學家的思路。（播放視頻，畫面定格于圖7）是不是跟我們剛才有的同學的思路相同？我們下面來試一試這種方法。老師給各組同學準備了不同的學具，請大家沿著圓的半徑剪開，看能不能拼成熟悉的平面圖形。

（學生分組剪接，并貼到黑板上。）

師比較一下大家剪拼出來的圖，有什么發現？

生隨著份數的增加，拼出的圖形越來越接近平行四邊形。

師同學們，設想一下：如果平均分的份數更多，分成64份、128份、256份……這個圖形會怎么樣？

生應該會完全接近平行四邊形。

生會完全接近長方形。

師德國天文學家開普勒也仿照“切西瓜”的方法，大膽地設想把圓分割成無窮多個小扇形。開普勒斷言：無窮小的扇形可以看作三角形，最終拼出來的圖形就是長方形。我們可以借助電腦來模擬這樣的過程。（用“幾何畫板”軟件演示圓平均分成64份、128份、256份、512份、1 028份……的情況）你們有什么感受？

生把圓平均分成無數份的時候肯定是拼成長方形了。

師比較一下，圓與拼成的長方形存在哪些關系？能不能根據長方形的面積計算方法推導出圓的面積公式？

生長方形的面積和圓的面積相等;長方形的長相當于圓的周長的一半c2，它的寬相當于圓的半徑（r），長方形的面積等于長乘寬，所以圓的面積可以用圓周長的一半乘半徑。那么，圓的面積公式就是S=πr×r=πr2。

（教師同步板書推導過程。）

師推理的結果和剛才由實驗數據得到的結果一致：圓的面積是r2的——π倍。這樣我們就十分肯定地得出了圓面積的計算方法。

[說明：“化曲為直”是全課的中心環節。通過豐富的活動，一方面，使學生體會圓的面積與r2的倍數關系，用“數方格”法得出結論后，更要以推理的方式加以驗證，亦即數學結論的得出過程應該是從猜想到實驗驗證再到推理證明的科學過程，將合情推理與演繹推理相結合，培養學生嚴謹的科學態度和理性精神;另一方面，則是將學生的“轉化”經驗遷移到新知中來。結合史料中古人的探索，組織學生在親自動手操作，進一步積累經驗的基礎上，通過想象活動深刻感受“極限”思想。整個過程中，努力將學生的已有經驗與人類的探索過程無縫對接，使他們真正經歷“再發現”“再創造”過程。]

（五）回顧梳理歷史研究軌跡

師同學們，現在你能算出開始的時候自己所畫的圓的面積了嗎？動手算一算。

（學生運用公式計算后交流。）

師大家把算出來的面積與之前數方格得到的面積比一比，有什么感受？

生根據公式計算出的數據比較精確，數方格得出的數據有誤差。

師回顧一下今天的研究過程，我們是怎么得出結論的？

生先是猜測圓的面積與半徑的平方有倍數關系;然后估一估，發現圓的面積是半徑平方的2倍—4倍;接著數一數，通過實驗數據發現圓的面積是半徑平方的3.14倍;最后通過剪拼，將圓轉化成長方形，成功推導出了圓面積的計算公式，確定了圓的面積是半徑平方的π倍。

師總結得很好！我們借鑒了古人的智慧，結合了自己學習平面圖形面積的經驗，沿著歷史的足跡，經歷了一個數學結論得出的完整過程。剛剛有同學問我：圓被平均分成若干份之后，那些小扇形還能拼成其他的平面圖形嗎？課后大家不妨去剪一剪、拼一拼、想一想、算一算，相信你一定會有更大的收獲！

[說明：得出圓的面積計算公式后，讓學生準確計算出課始自己所畫圓的面積，并與之前數方格得到的面積數據進行對比，體會數學的精確性及應用性。引導學生回顧整節課的研究過程，讓學生體會到自己在課堂上經歷了人類千年的探索過程，幫助學生在感受數學文化的同時，體驗數學探索的“逐步精確化”。最后，引發學生對圓的面積公式其他推導方法的深入思考，為今后的學習研究奠定扎實的基礎。]

參考文獻：

[1] 鄭瑋，鄭毓信.HPM與數學教學中的“再創造” [J].數學教育學報，2013（3）.

[2] 王曉軍，汪曉勤. HPM視角下的“圖形旋轉”問題探究[J].數學通報，2012（5）.

[3] 陳金飛.獨到的，才是不可替代的——HPM 視角下對“圓的面積”的思考與教學實踐[J].江蘇教育，2015（17）.

[4] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995.