建構“一個整體”，聯(lián)通“量”與“率”

范韋莉

摘要：“分數的初步認識（二）”這一教學內容具有承上啟下的重要作用，對于學生發(fā)展分數概念有著特殊的意義——既要喚起學生前期感知的經驗基礎，又要為今后進一步抽象分數的意義、理解分數的性質奠定基礎。基于教材解讀和學情分析，進行教學設計，幫助學生順利地從“一”走向“多”，建立起“一個整體”的概念，打通理解“量”與“率”的通路。

關鍵詞：分數的初步認識（二）;整體;量;率;平均分

一、教材解讀

分數是數的概念的一次重要的擴展。“認識分數”不僅在小學數學知識中占有重要的地位，更是學生學習的難點。為了幫助學生由易到難、由淺入深，逐步豐富和深化對分數概念的認識，蘇教版小學數學教材分三個階段推進“分數”教學：第一個階段在三年級上冊，側重引導學生結合具體情境初步理解把一個物體（或圖形）平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分數表示;第二個階段在三年級下冊，側重引導學生在具體情境中經歷把一些物體看作整體進行平均分的過程，理解其中的一份或幾份也可以用分數表示;第三個階段在五年級下冊，側重引導學生在分數意義建立的過程中將平均分的對象抽象為單位“1”，以此為基礎進一步討論分數的性質，豐富其內涵，拓展其外延，進而幫助學生建立合理有序的認知結構。

從教材的編排看，學生在第二個階段認識分數時，不僅需要感受單位“1”的內涵從一個物體擴展到由許多物體組成的整體，更需要在此基礎上準確把握分數的本質，區(qū)分“個數”與“份數”，深刻體會分數表示的是部分與整體的關系。因此，“分數的初步認識（二）”這一教學內容具有承上啟下的重要作用，對于學生發(fā)展分數概念有著特殊的意義——既要喚起學生前期感知的經驗，又要為今后進一步抽象分數的意義、理解分數的性質奠定基礎。

對此，教材創(chuàng)設了小猴分桃的問題情境（例1和例2），精心安排了豐富的數學活動，采用了與“認識一個物體的幾分之一”類似的編排線索。例1首先提出“把一盤桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾”的問題，呈現能看出一盤桃個數的情境圖，但又不在文字中表述出來。這樣的方式有利于學生產生對“一盤桃的12”的直觀認知。在學生認識到“每份是這盤桃的12”后，教材引導學生分別把4個桃、8個桃看作一個整體，要求學生在集合圈里表示每盤桃的12，經歷把每盤桃平均分成2份，用12表示其中一份的活動過程，并在此基礎上比較6個桃、4個桃、8個桃的集合。由此，引發(fā)思考：“每份的個數不同，為什么都可以用12來表示？”促使學生獲得關于整體的12的概括性認識。例2的教學功能則是將學生對一個整體的12的認識擴展到一個整體的13，直至幾分之一。教材把一盤桃（6個）表示在集合圈內，要求學生把這盤桃平均分成3份，在圖中表示出1份，并寫出相應的分數13。

二、學情分析

一次，旁聽一位教師執(zhí)教《分數的初步認識（二）》第1課時，發(fā)現該教師基本按照教材的順序和思路與學生共同走了一遍，當中既沒有看到教師對教材的深度加工，也沒有看見學生主體地位的凸顯。筆者不禁思考：這樣的教學中，學生能否順利解決練習中的問題？學生有沒有體會到平均分的結果可以用分數表示？學生有沒有理解這里的分數表示的是所取的份數和平均分的份數之間的關系？于是，我們收集了全班38名學生關于教材“想想做做”第2題中部分練習（見圖1）的作答情況。

經過統(tǒng)計發(fā)現，第1小題，全班全部做對;第2小題，有20人做對，正確率僅為52.63%，做錯的人中有16人的答案是28，2人不會填。這2小題的作答同為本節(jié)課學習的內容，為什么會有這么大的差異呢？

通過與學生的訪談和對試題的分析，我們發(fā)現：對于“認識一個整體的幾分之一”這個內容，當圖中一個整體的具體數量和表達關系時的總份數一致時，學生理解起來沒有問題;若不一致，學生的認知困難就產生了。

首先，學生的現有經驗與知識儲備對分數的再學習產生了干擾和負遷移。平均分一個物體，其中的一份不能用整數表示，用分數來表示顯得理所當然。當由若干個物體組成的一個整體被平均分后，每一份常常可以用整數表示，此時要求用分數表示，就造成了學生認知上的不平衡，因為他們已習慣于用具體的數量來解決問題。如：把6個蘋果平均分成2份，12僅表示其中的1份與整體之間的關系，它與“每份有3個蘋果”的已有經驗存在較大的認知差異。

其次，學生不能理解分數表示“部分與整體的關系”這一核心含義。學生在認識一個物體的幾分之一時，分數作為“量”與“率”的結果是相同的，學生無需對這兩種結果加以區(qū)分。如：一個桃，平均分成2份，每份是12，這個結果既可以看作每份是這個桃的12，也可以理解為每份有12個桃。學生在這里更愿意把這個結果看作具體的量，而不是看作一個無量綱的分數（即“率”）。在認識一個整體的幾分之一時，上述表示關系的分數含義才被真正凸顯出來，學生必須重新審視“量”與“率”。

再次，數學學科的高度抽象性要求學生具有發(fā)展的眼光、豐富的想象以及高階思維。于三年級學生而言，由于分的是一些具象物體組成的一個整體，他們總是對每份個數與總個數先入為主，往往忽視所取的份數與平均分的份數的關系。知識的抽象性要求學生能夠讀懂圖中所蘊含的數學語言，具備透過具體現象看到內隱關系的能力。

三、教學過程

那么，如何幫助學生順利地從“一”走向“多”，建立起“一個整體”的概念呢？怎樣幫助學生打通理解“量”與“率”的節(jié)點？分數的學習，需要時間的經歷和經驗的積累，也需要教師引領下的頓悟。基于兒童立場和學科本質，筆者設計并實施了如下教學：

（一）復習引入，探尋知識起點

師同學們，今天我們學習什么內容？

生分數的初步認識（二）。

師分數，我們在上學期就接觸過，（出示：把一個桃平均分成2份，每人分得多少？每人分得多少個？）比如這個問題，會解決嗎？

生每人分得12，分得12個。

師12和12個不一樣，但12和12個都可以表示平均分的結果。你是怎么理解12這個分數的？舉例說明。

（學生舉例說明自己對分數的理解。）

師把一個物體平均分成2份，每份就是它的12，這是我們上學期學習過的把“一個物體”平均分成2份，每份用分數12來表示。今天，我們繼續(xù)認識分數。

（二）引導探究，構建知識模型

1.例1“認識一盤桃的12”教學。

（1）表示6個桃的12。

師猴子最喜歡吃桃子。有一天，猴媽媽端來一盤桃，把盤中的6個桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？不著急回答，先在腦子里想一想。你能用圓圈代表桃，畫圖表示出你的想法嗎？

（教師出示要求：先畫一畫，分一分，涂色表示其中的1份。學生操作，教師巡視。反饋時，學生出現三種表達：26、36、12。）

師同一個問題，卻出現了不同的答案，你贊同哪個？說說理由。

生用26表示。有6個桃，平均分成2份，所以每只小猴分得這盤桃的26。

生用36表示。把6個桃平均分成2份，每份是3個，所以每只小猴分得36。

生用12表示。把6個桃看作1盤桃，平均分給2只小猴，就是要平均分成2份，每只小猴拿走3個，但這3個桃是2份中的1份，所以用12表示。

師到底是幾分之幾？聯(lián)系剛才分一個桃的經驗，同學們再回想一下分母和分子的含義。

（學生思考。）

師聯(lián)系剛才分一個物體，我們知道，分數的分母表示平均分的份數，分子表示其中的一份。這盤桃有6個，在數學上可以圈起來看作“一個整體”，平均分給2只小猴，就是要平均分成2份，每只小猴分得1份，這1份是這個整體的幾分之幾？另1份呢？這里的分母“2”、分子“1”及12分別表示什么？

（教師課件演示先整體圈起來再分的過程，學生據此完整地說明平均分的過程。）

師（出示表1）為了看得更清楚，我們可以把剛才平均分的過程和結果記錄下來。如果你是猴媽媽，你可以怎樣告訴小猴平均分的結果？

（2）分別表示4個桃和8個桃的12。

師如果這盤桃有4個、8個，你能像剛才這樣畫一畫、分一分、涂一涂、寫一寫嗎？

（學生獨立完成，同桌互相說。反饋時，教師指導學生完整地表達，并形成表2。）

（學生回答。）

師把一個整體平均分，其中的一份，既可以用具體的個數，也就是數量表示;也可以用幾分之一這樣的分數，也就是用一份與這個整體之間的關系表示。（呈現三盤桃平均分后的示意圖，如圖2—圖4）再次觀察平均分的過程以及結果，你有什么發(fā)現？同桌交流。

生總數不同，但都是平均分成2份。用分數表示平均分的結果時，無論桃子的總數是多少，我們都可以將它們看作一個整體，平均分成2份，每份就是這個整體的12。

師如果有20個桃，平均分成2份，每份是這盤桃的——

生12。

師如果是100個呢？如果是一筐桃呢？只要怎樣，就可以用12表示？

（隨著學生的回答，課件隱去盤里的桃子，得到圖5。）

師不管這盤桃有多少個，我們都把它們看作“一個整體”來平均分，只要把這些桃平均分成2份，每份就是這個整體的12。

2.例2“認識一盤桃的13”教學。

師剛才，我們都是把這些桃平均分給2只小猴。現在，其中有一只小猴提意見了，說：猴媽媽也應該分桃。把一盤桃平均分成3份，每份是這盤桃的幾分之幾？你會運用剛才的經驗繼續(xù)分一分、填一填嗎？

（學生交流反饋，教師指名學生說明分的過程并解釋13表示的意思。）

師為什么不可以填26？

生把6個桃平均分成3份，每份有2個桃，但這2個桃是3份中的1份，所以不用26表示。

師前面我們把6個桃平均分，現在還是把這6個桃平均分，對照這兩次分桃的過程，都是6個桃，為什么剛才每份是這盤桃的12，現在卻是13？

生前面是平均分成2份，現在是平均分成3份。

師如果平均分成6份，每份是這盤桃的幾分之幾？

生16。

師（出示圖6—圖8）你能看著這幾幅圖說一句話嗎？

生把一些桃看作一個整體，平均分成幾份，每份就是這個整體的幾分之一。

師剛才我們通過分一盤桃，認識了一個整體的12和13。下面，我們自己來創(chuàng)造更多像幾分之一這樣的分數：請大家完成課本第77頁“試一試”。（出示圖9）這里有一幅已經畫好的圖，你知道這里的一份是表示的是幾分之一嗎？你的好辦法是什么？

生只要看平均分的份數就可以了。

師除了平均分成4份，還可以平均分成幾份？每份各是它的幾分之一？先分一分，再填一填，能想出幾個就寫幾個。

（全班交流，把12個桃平均分，分別得到它的12、13、14、16、112。）

師都是12個桃，表示每一份的分數為什么不同？

（學生討論。）

（三）鞏固練習，深化知識結構

1.完成“想想做做”練習。

（學生完成“想想做做”前2題，互相批改，集體糾錯。）

師（出示圖10）為什么都填14？涂色的個數為什么不同？（出示圖11）都是把8個正方體平均分，為什么表示涂色部分的分數不同？

（學生回答。）

2.鏈接生活，舉例運用。

師剛才我們都是把一些物體看作一個整體，平均分成幾份，表示這樣的1份，那么，在生活中，你能找到這樣的例子嗎？

（學生舉例。）

（四）全課總結，梳理知識脈絡

師通過今天的學習，你能說說為什么這節(jié)課要再次認識分數了嗎？和之前的認識分數有什么不一樣的地方？

（學生回答。）

參考文獻：

[1] 王凌.從整數視角到分數視角——“分數的初步認識（二）”的學生錯誤與教學對策[J].教育研究與評論（課堂觀察），2021（1）.