小學數學復習課的邏輯走向

陳云

摘要：復習應是把原來碎片式的、隨意化的、思維暗線的學習變成整合式的、系統化的、思維明線的學習的重要過程。復習課不僅要關注學科章節(jié)知識的邏輯走向，更要關注核心概念（本源意義）、問題結構、數學思維的邏輯走向。

關鍵詞：復習課;核心概念;問題結構;數學思維

在由師生共同構成的課堂場所里，創(chuàng)造什么樣的條件和通過什么樣的途徑能讓學習真正發(fā)生？我以為，答案就是我們一直在倡導的“以學習為中心”的課堂，是改變學生學習方式、從破解“想學”的層面到破解“會學”的更高層面的課堂。很多教師會在新授課中努力去實現這樣的課堂，而復習課就容易進入考點化、材料化、訓練化的狀態(tài)。復習應是把原來碎片式的、隨意化的、思維暗線的學習變成整合式的、系統化的、思維明線的學習的重要過程。因此，復習課不僅要關注學科章節(jié)知識的邏輯走向，更要關注核心概念（本源意義）、問題結構、數學思維的邏輯走向。

一、核心概念的邏輯走向：重構模型

對核心概念的深度理解關乎學生對由這個核心概念生發(fā)出來的各個知識點的理解和運用。復習課中，教師應通過創(chuàng)設合適的情境，讓學生重新構建核心概念的模型，通過自評、互評的多維闡釋加以深度分析。下面，以“分數”復習課為例具體說明。

（一）“原型”搭橋，喚醒經驗

教材圖片使用得當，將具有多方面的積極作用。有學者將其歸納為：提高學習興趣和閱讀速度;調動多種感官參與學習;促進對知識的記憶和理解。從核心概念的角度看，教材圖片更能讓學生感受到真實情境，區(qū)分易混淆概念，凸顯這一部分內容的關鍵。

“分數”復習課，教師首先呈現蘇教版小學教材中兩次認識分數的情境圖（見下頁圖1、圖2），引導學生借圖感知“分數的意義”的產生和發(fā)展歷程，搭建“分數”這一概念內涵和外延的發(fā)展框架，在此基礎上進一步回顧各大主干以及分支內容中的具體概念。圍繞教材圖片展示出的核心概念，學生通過“設置問題—回顧‘原型—聯系經驗—重構模型”這樣的環(huán)節(jié)，喚醒最初的記憶和最本真的理解。

（二）多重表征，對接內涵

經驗喚醒后，教師引導學生發(fā)揮想象：“通過之前的學習，如果讓你來表示一個或幾個分數，你會怎么表示？為什么這么表示？可以沿著這樣的層次展開：畫出分數（圖解自己創(chuàng)造的分數）—解說分數（用這個分數寫一段話或講一個小故事）—聯想分數（這個分數還能讓你想到哪些知識）。”這個過程是學生獨立思考結果的呈現，融入了他們對核心概念的理解。學生的表達方式不一定最正確，也不一定很完善，但每位學生的獨特理解都是對“分數的意義”的不同表征。經過獨立思考和描畫的過程，不僅學生的自主學習能力得以提升，核心概念的內涵也得到進一步的深化。在此過程中，教師應及時評價學生構建的概念表征，及時診斷和調整學生對核心概念的理解，幫助學生更好地對接核心概念的本質意義。

（三）多點結構，厘清關系

復習課的核心任務之一是幫助學生梳理知識，把握知識的本質特征，找尋知識間的內在邏輯關系，形成完善的知識結構。在解讀了核心概念之后，圍繞“分數的意義”，提供時間給學生整體回顧教材，以理清“分數的基本性質”“相關概念”“分數的運算”“分數與小數的關系”這幾個主干。在掌握了分數相關知識的分類層次后，再引導學生進行詳細梳理，從更細的分支（如通分、約分、假分數與帶分數之間的互化、分數與整數以及分數與小數之間的關聯性等）入手構建知識網絡圖。最后，讓學生整體回顧分數相關的知識，尋找各知識點與核心概念之間的聯系，以加深對分數相關知識的記憶，讀懂概念間的層級關系，拓展思維空間。知識網絡圖是依據學生的思維邏輯建構的圖示，通過點與點的對接（連線）將知識之間的網絡關系可視化。它能將學生腦海中的各知識點之間的邏輯關系通過連線的形式表現出來，從而幫助學生清晰地明確不同知識間的邏輯關系。

二、問題結構的邏輯走向：求同存異

數學家G.波利亞提出了解題過程中“檢驗回顧”的多個視角：你能擬訂其他解題方案嗎？你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？你能找到什么方法檢驗你的結果嗎？這些問題無疑都在強調：在復習回顧的過程中，要重新斟酌，審視結果及獲得結果的過程，促進學生優(yōu)化解決問題的經驗結構，發(fā)現不同問題的核心要素、不同思路的本質意義，從而發(fā)展學生解決問題的能力。我們可以從方法與方法之間、問題與問題之間的關系入手，探尋數學知識內部的生態(tài)結構，整合出符合數學本質意義的模型。下面，以三年級“解決問題的策略”（從條件出發(fā)和從問題想起）復習課為例具體說明。

（一）不同的方法之間有什么聯系？

“從條件出發(fā)”是從已知信息入手，逐步“綜合”到“終極問題”處;“從問題想起”是從“終極問題”入手，一步步“分析”到已知信息處。在復習這兩個策略時，可對典型例題進行情境變式處理，讓學生累積“情境不同，方法相同”的經驗，慢慢抽象出解題模型（兩種策略的解題模型分別如下頁圖3、圖4所示）。在兩個解題模型的對比中體會異同，發(fā)現“中間問題”的核心價值，將“方法”真正上升為“策略”。

（二）不同的問題之間有什么聯系？

完成上述總結之后，教師出示三道變式題，請學生嘗試解答。

1.果園有蘋果樹100棵，梨樹比蘋果樹少18棵，桃樹又比梨樹少20棵，桃樹有多少棵？

2.時值中、高考剛剛結束，某書店推出針對考生的各種優(yōu)惠政策。以《唐詩宋詞鑒賞》一套書為例，正常售價為345元，該店會員持會員卡購買要便宜42元，應屆中、高考考生憑準考證購買只需285元，應屆中、高考考生購買這套《唐詩宋詞鑒賞》比該店會員購買要少付多少錢？

3.為應對夏日高溫，某城市公交系統全面啟用空調。已知坐空調車成人刷卡比投幣便宜8角，學生持學生卡刷卡又比成人刷卡便宜1元2角。這天張阿姨帶兒子小明乘坐公交，小明刷了學生卡，扣費2元，張阿姨忘了帶卡，只能選擇投幣，她應該投幣幾元？

結果顯示，學生普遍認為第3題較難，其次是第2題。事實上，這三道題是相似的類型和結構，不過是逐次增加了干擾性文字，以及對信息的排序做了些許變更，而這些變化確確實實就成為學生解題的“絆腳石”。事實上，任何一道習題呈現在學生面前時，學生都會把它與已有的經驗進行對比，希望把新問題與原有模型建立聯系，但套用模型的心理往往又會束縛學生的思路。教師需要通過這樣的變式引導學生在瞬息萬變中快速捕捉信息，分析包含稍復雜信息的問題中思路和結構上的關聯，重新整合模型，把握“變”中的“不變”。

此外，可以拋出更為靈活的問題：“你能繼續(xù)改變信息和問題，重新編幾道題目嗎？”“沿著這樣的解題方法，你認為還有哪些問題可以拿來研究？”學生要回答這樣的問題，必須深入思考，發(fā)掘已有經驗與認知，還要多方向、多角度地對現有模型進行必要的改造。這里的例題可以不再需要學生列式解答，把學生從煩瑣的運算中解放出來，重點分析問題的“同”與“異”，對看似不同的問題情境進行模型整合，營造一源多流的、生生不息的生態(tài)課堂。

三、數學思維的邏輯走向：鑒往知來

現代認知心理學認為，思維過程是一種信息加工的過程，思維品質是智力活動特別是思維活動中智力與能力在個體身上的表現，實質是人的思維的個性特征。在復習課教學中，既要關注怎么幫助學生理清知識上的深層次聯系，更要關注如何幫助學生實現思維能力的發(fā)展和提升。我們可以引導學生在審查、反思舊知的過程中，提升抽象、概括、批判等數學思維;幫助學生在預判和升級知識的過程中，發(fā)展應用和創(chuàng)新等數學思維。下面，以“周長和面積”復習課為例具體說明。

（一）理繁就簡，提升抽象概括能力

教學的一個最重要的起點就是學生已經知道了些什么，從這個起點出發(fā)，有的放矢地為學生提供思維發(fā)生的背景材料，展示龐雜知識體系的化歸思想脈絡，可以很好地提升學生的抽象概括能力以及思維的靈活性和深刻性。

“周長和面積”復習課，教師針對課程內容對學生做如下指導：首先，通讀“導學案”中與圖形相關的各章節(jié)內容，并依據“點—線—面”的發(fā)展流程畫出基本框架;接著，將相關內容按一定的順序實現信息的分類梳理，重點凸顯“周長”與 “面積”這兩個主題內容;然后，利用線條連接不同主體，采用箭頭、圖形、色彩等元素呈現長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的周長與面積計算方法的由來或計算公式的推導過程;最后，抽象概括出長度測量和面積計算的本質，即用數學的方式（計算）簡潔地得出圖形含有多少個“1”（長度單位或面積單位）。

（二）反例論證，提升批判性思維能力

在前面提到的“解決問題的策略”復習課案例中，教師創(chuàng)設探討情境，利用問題變式，通過互換條件與問題、改變關鍵詞的呈現、從單個問題到問題串等方式，促使學生打破思維定式，尋求更廣闊的解題思路。這其實已經是一種提升學生批判性思維能力的方式了。除此之外，我們還可以考慮在復習課教學中引入“反例論證”，進一步提升學生的批判性思維能力。

“周長和面積”復習課，可以提出如下反例供學生討論。

1.正方形、長方形的面積都是鄰邊相乘，平行四邊形的面積可不可以用鄰邊相乘來計算呢？

2.張爺爺用18 m長的籬笆圍了一個最大的長方形雞圈，小明很快用4×5=20（m2）算出了籬笆圍出的面積，你認為正確嗎？

要解決這樣的問題，學生需要不斷地完善和補充自己的認知，先要質疑“錯誤”觀點存在的漏洞，這是“破”;接著要“立”，提出自己的“正確”觀點。這樣的正反例對立論證，能有效提升學生的批判性思維能力。

（三）集中后發(fā)散，提升應用與創(chuàng)新能力

良好的數學思維是既能集中也能發(fā)散的。在學習了不同的圖形周長、面積之后，教師引導學生通過比較提煉出其中不變的本質內涵，這是集中;而根據提煉過程，嘗試得出“全新”的圖形面積計算方法，這是發(fā)散。從已發(fā)現的數學知識與數學方法中生成新的知識鏈、方法鏈、問題鏈、思維鏈，這樣的學習是終點也是起點，學生的應用能力、創(chuàng)新能力與邏輯推理素養(yǎng)于其中也能得到較好的培養(yǎng)。

當學生已經會計算長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積，并對各圖形面積計算方法的推導過程十分了然時，教師提供一些圖案（如圖5），并提出問題：這些圖形中還有哪些你不會計算面積的？你認為它們的面積是什么？你有什么辦法獲取它們的面積嗎？

這樣的研究性學習，讓復習不止步于“過去”，更放眼于“未來”，促使學生把已有的知識和能力創(chuàng)造性地應用到小的課題研究中去，使得原有的思考路徑、思維方法有可能實現“迭代升級”。

參考文獻：

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