由特殊到一般 從數學到生活

王培培

真題呈現

例1（2020·湖南·湘西·第25題）問題背景：如圖1，在四邊形[ABCD]中，[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]，[BA=BC]，[∠ABC=120°]，[∠MBN=60°]，[∠MBN]繞B點旋轉，它的兩邊分別交[AD]，[DC]于E，F. 探究圖中線段[AE]，[CF]，[EF]之間的數量關系. 小李同學探究此問題的方法是：延長[FC]到G，使[CG=AE]，連接[BG]，先證明[△BCG≌△BAE]，再證明[△BFG≌△BFE]，可得出結論，他的結論就是 ;

探究延伸1：如圖2，在四邊形[ABCD]中，[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]，[BA=BC]，[∠ABC=2∠MBN]，[∠MBN]繞B點旋轉，它的兩邊分別交[AD]，[DC]于E，F. 上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不需說明理由.

探究延伸2：如圖3，在四邊形[ABCD]中，[BA=BC]，[∠BAD+∠BCD=180°]，[∠ABC=2∠MBN]，[∠MBN]繞B點旋轉，它的兩邊分別交[AD]，[DC]于E，F. 上述結論是否仍然成立？請說明理由.

實際應用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西[30°]的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東[70°]的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等. 接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東[50°]的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為[70°]，試求此時兩艦艇之間的距離.

追根溯源

原型1（北師大版八年級上冊第6頁“隨堂練習”第2題）如圖5，在△ABC中，D，E是BC的三等分點，且△ADE是等邊三角形. 求∠BAC的度數.

本題考查等邊三角形的性質、等腰三角形、三角形內角和等知識. 易求得∠BAC = 120°，即∠BAC = 2∠DAE.

原型2（北師大版八年級上冊第168頁“數學理解”第20題）如圖6，四邊形ABCD是正方形，點E在AB上，點F在AD的延長線上，BE = DF，在此圖中是否存在兩個全等三角形？其中一個三角形能夠通過旋轉另一個三角形而得到嗎？

本題考查旋轉、正方形的性質、全等三角形的判定等知識. 易知△CDF ≌ △CBE，其中一個三角形能夠通過旋轉另一個三角形而得到. 如果過點F作FM⊥BC的延長線于點M，又易知△CEF是等腰直角三角形，因此有∠BCM = 2∠ECF.

以上兩個原型就是例1的“根”，將它們向動態問題變式，即可演變出類似問題.

破解策略

解決例1需要熟知如圖7所示的基本圖形：如果AB = BC，∠A與∠BCF互補，∠ABC = 2∠EBF，則可將△ABE旋轉至△BCG的位置，進而有結論EF = AE + CF.

問題背景是一個特殊情況，由小李同學探究此問題的方法，延長[FC]到G，使[CG=AE]. 連接[BG]，先證明[△BCG≌△BAE]，可得BG = BE，∠CBG = ∠ABE，再證明[△BFG≌△BFE]，可得GF = EF，順利得到結論EF = AE + CF. 在這里，閱讀理解小李同學的探究方法很重要，它是解決下面兩個探究問題的基礎.

探究延伸1將問題背景中的條件[∠ABC=120°]和[∠MBN=60°]一般化為[∠ABC=2∠MBN]，用好這個條件是解題的關鍵. 將問題背景中通過計算得到∠EBF = ∠GBF = 60°，改為在圖8中通過推理證明得到∠EBF = ∠GBF即可，其余步驟完全相同.

探究延伸2將探究延伸1中的條件[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]一般化為[∠BAD+∠BCD=180°]，只要由直角的鄰補角為直角推得兩個角相等，改為由[∠BAD+∠BCD=180°]推得∠BCF的鄰補角與∠A相等即可，其余步驟完全相同.

延長[FC]到G，使[CG=AE]，連接[BG]，如圖9.

∵[∠A+∠BCD=180°]，∠BCG + ∠BCD = 180°，∴∠BCG = ∠A.

∵BC = BA，∠BCG = ∠A，CG = AE，

∴[△BCG≌△BAE]（SAS），

∴BG = BE，∠CBG = ∠ABE.

∵∠ABC = 2∠MBN，∴∠ABE + ∠CBF = [12]∠ABC，

∴∠CBG + ∠CBF = [12]∠ABC，即∠GBF = [12]∠ABC，

∴∠GBF = ∠EBF.

∵BG = BE，∠GBF = ∠EBF，BF = BF，

∴△BGF ≌ △BEF（SAS），∴GF = EF，

∴EF = GC + CF = AE + CF.

實際應用中沒有如圖7所示的模型，但連接EF，延長AE，BF相交于點C，求得∠AOB = 140°，∠EOF = 70°，可發現模型，則EF = AE + BF，將AE和BF的長代入即可.

如圖10，連接EF，延長AE，BF相交于點C，

∵∠AOB = 30° + 90° + （90° - 70°） = 140°，∠EOF = 70°，

∴∠EOF = [12]∠AOB.

∵OA = OB，∠OAC + ∠OBC = （90° - 30°） + （70° + 50°） = 180°，

符合探究延伸中的條件，∴結論EF =? AE + BF仍然成立，

∴EF = 75 × 1.2 + 100 × 1.2 = 210（海里）. 此時兩艦艇間距離為210海里.

原題延伸

變式1 例1是將有特殊關系的角繞公共頂點旋轉來研究的，現在研究有公共端點的線段旋轉問題.

例2 如圖11，在Rt△ABC中，AB = AC，D為BC邊上一點（不與B，C重合），將線段AD繞A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關系式為 ，證明你的結論.

解析：BC = DC + EC.

理由：∵∠BAC = ∠DAE = 90°，∴∠BAD = ∠CAE.

∵AB = AC，AD = AE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），

∴BD = CE，∴BC = BD + DC = DC + EC. 故應填BC = DC + EC.

變式2 將變式1中研究線段的旋轉改變為研究等腰三角形的旋轉.

例3 如圖12，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB = AC，AD = AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論.

解析：BD2 + CD2 = 2AD2.

理由：連接CE，由變式1得△BAD ≌ △CAE，

∴BD = CE，∠B = ∠ACE，

∴∠DCE = ∠ACE + ∠ACB = ∠B + ∠ACB = 90°，∴CE2 + CD2 = ED2.

在Rt△ADE中，AD2 + AE2 = ED2. 又∵AD = AE，∴BD2 + CD2 = 2AD2.

變式3 研究構造旋轉等腰三角形來解決數學問題.

例4 如圖13，在四邊形ABCD中，∠ABC = ∠ACB = ∠ADC = 45°. 若BD = 9，CD = 3，求AD.

解析：如圖14，作AE[⊥]AD，使AE = AD，連接CE，DE.

∵∠BAC = ∠DAE = 90°，∴∠BAD = ∠CAE.

∵AB = AC，AD = AE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），∴BD = CE = 9.

∵∠ADC = ∠EDA = 45°，∴∠CDE = 90°，

∴DE = [CE2-CD2] = 6[2].

∵∠DAE = 90°，∴AD = AE = 6.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區城西實驗學校）