高中數學課堂例題變式設計探析

陳林芳

摘 要：例題教學是課堂教學的重要環節，通過例題的學習使學生更加深刻理解本課堂的教學內容，提高學生對知識的應用能力。如果在教學設計中對例題進行變式教學，最大地發揮例題的有效性，提高它在課堂教學中的價值，是提高課堂效率十分有效的方式之一。

關鍵詞：例題;例題變式;課堂教學

“在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何學，促使更多的學生熱愛數學。”這是高中數學新課程標準提出的具體建議。站在不同的角度、情境和層次上，對教材中的數學概念、數學公式和數學定理等知識，做出相應的變化，改變具體的條件和形式，這就是數學變式訓練。雖然形式發生了變化，而本質特征卻不變。經過不同形式的訓練，學生對數學知識的理解和掌控也會變得更加深入，因此變式教學對于深度學習知識不失為一種有效的教學方法。

圓錐曲線是高考的重點考查內容，它主要利用基本概念、標準方程及其幾何性質，解決相關問題。從高考的命題方式看，選擇題、填空題和解答題均有涉及。筆者在圓錐曲線的復習教學過程中，通常在例題設計環節采用了變式教學，這樣不僅使知識間的聯系更加明晰，形成知識網絡，還能使原有的例題再發生機，達到事半功倍的效果。

一、 通過例題變式，加強對概念的教學

在相關聯的平行概念中通過例題變式加深對概念的理解與掌握。例如，橢圓與雙曲線的定義有一定的類似，可以同時復習;由于概念的類似，導致它們標準方程就比較容易混淆。復習中教師可以展開變式，讓學生在比較中對概念及其標準方程有更清晰的理解與掌握。

【例1】 根據下列條件判斷方程x29-k+y24-k=1表示什么曲線。

（1）k<4;（2）4

解析：（1）當k<4時，9-k>0，4-k>0。根據橢圓的標準方程，方程x29-k+y24-k=1表示的是橢圓。（2）當40，4-k<0。根據雙曲線的標準方程，方程x29-k+y24-k=1表示的是雙曲線。

為了能更好地引導學生對兩種曲線標準方程特點的理解與掌握，教師可以進行如下變式：

變式1 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦點在y軸上的橢圓，求k的取值范圍;

變式2 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦點在y軸上的雙曲線，求k的取值范圍;

變式3 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦點在坐標軸上的雙曲線，求k的取值范圍。

通過以上的變式設計，對在相同的表達形式，k取不同的值，得到的曲線不同。可以引起學生對橢圓、雙曲線概念及其標準方程的區別與聯系的深入思考。通過比較得出規律，使對概念的理解更為深刻。

例題的變式可以在有類似知識背景的章節間展開，使學生更加明確知識間的區別與聯系，使關聯的章節形成知識網絡，也能啟發學生主動地歸納總結知識點，有助于梳理知識體系，有效地加深了知識的理解與掌握，避免知識混淆，基礎扎實，為日后解決更難的問題提供了可能。

二、 圍繞幾個重要性質進行變式，加強對本章重點知識的掌握

在圓錐曲線的教學中，雙曲線是十分重要的一種，在雙曲線的幾何性質中漸近線與離心率是研究的重點。漸近線是揭示表達式中a，b的數學關系，離心率是揭示表達式中a，c的數學關系，它們在解題中離不開對a2+b2=c2這個關系式的運用。

【例2】 橢圓x249+y224=1與雙曲線共焦點，且雙曲線的漸近線為y=±43x，求雙曲線方程。

解析：由橢圓x249+y224=1與雙曲線共焦點，得雙曲線的半焦距c=5。設雙曲線方程為x2a2-y2b2=1，則ba=±43a2+b2=25，解得a2=9b2=16，故所求雙曲線方程為x29-y216=1。

本題條件給出雙曲線的漸近線方程，可以明確a與b的比值和關系式a2+b2=c2，求對應的雙曲線方程;因此教師可以圍繞著a，b，c，離心率e，漸近線斜率k，進行有目的的變式練習。

變式1 已知焦點在x軸上雙曲線的離心率為2，求雙曲線C的漸近線方程。

變式2 已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1，其一漸近線被圓C：（x-1）2+（y-3）2=9所截得的弦長等于4，求E的離心率。

通過這組變式訓練，學生對雙曲線的離心率、漸近線方程和標準方程等概念公式的理解更加明晰，并能對三個概念的互相轉化求解更加游刃有余。

課本里提供的例題基本是十分典型的，教師除了使用它，還可以通過變式，讓學生通過不同程度，不同角度來感知這種題型所承載的數學知識。題目的變式研究有利于題目的推陳出新，提高教學的創新性。近年來隨著教改的不斷深化，創新性使用教材，培養學生的思維品質，靈活應對新高考，是教師努力研究的方向。

三、 適當改變題設條件，對題目進行梯度變式，加強思維品質的提高

學生的知識結構和能力水平均存在差異，教師可以對題目難度進行有梯度的設置，這樣有利于不同程度的學生都有收獲。因題目的本質相同，學生在層層遞進中，逐步提高審題與分析問題的能力，同時也能抓住問題的本質，提高解決相同問題的能力。

【例3】 設點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，求x0的取值范圍。（選自2014年高考全國卷）

解析：由圖可知點M所在直線y=1與圓O相切，又ON=1，由正弦定理得ONsin∠OMN=OMsin∠ONM，所以122=OMsin∠ONM，即OM=2sin∠ONM。因為0≤∠ONM≤π，所以OM≤2，即x20+1≤2，解得-1≤x0≤1。