不完全量測下基于信息一致性的分布式容積卡爾曼濾波算法

王寧，李銀伢，戚國慶，盛安冬

(南京理工大學 自動化學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

現代火控系統主要包含目標搜索識別、跟蹤、命中和毀傷4個重要環節，其中目標跟蹤是后續武器系統命中和毀傷目標的必要前提[1]。因此，實時、準確、穩定地獲取目標的運動狀態是火控系統信息處理領域中重要的研究課題之一。

隨著傳統空中目標的機動性能、隱身性能的提高，以及制導炸彈、巡航導彈和無人機等新型飛行器在現代戰場上的大量應用，使得單一傳感器的估計性能難以滿足新形勢、新技術條件下的目標跟蹤作戰需求[2-3]。另一方面，網絡通訊和智能傳感器的飛速發展為多傳感器信息融合提供了技術支持，這使得網絡化的目標跟蹤系統被廣泛應用于現代火控系統中，其中分布式跟蹤系統更是由于通信量小、可靠性高等優勢受到了越來越多的關注和研究[4]。

在實際應用中，分布式火控網絡中各個作戰單元需要協調一致地對目標進行跟蹤、打擊，以獲得最佳的綜合毀傷效果。因此，分布式火控網絡需要避免部分探測單元由于自身估計精度太低而造成目標漏網現象，這就要求分布式跟蹤系統在提高各探測單元估計精度的同時保持估計狀態的一致性。此外，在實際應用中，由于目標的隱身性、高機動性，設備自身的偶發故障，以及真實戰場上電子對抗干擾等諸多因素，使得探測單元對目標的探測概率小于1，即出現不完全量測現象[5]。不完全量測下跟蹤系統的估計性能往往隨著探測概率的下降而降低，特別是當探測概率小于跟蹤系統臨界探測概率時，跟蹤系統統計意義下的估計誤差方差會發散[6]。因此，將一致性估計算法應用于分布式跟蹤系統，并且在不完全量測下提高其估計精度、保證算法收斂性，對分布式火控系統目標跟蹤理論研究和工程應用都有著重要的現實意義。

在現有的一致性濾波算法中，基于信息一致性的分布式濾波算法由Battistelli等首先提出，該方法保證了估計結果即使在一步內也可以實現穩定[7]。這一特征引起了學者們的廣泛關注：Li等[8]提出了平均一致性無跡卡爾曼濾波(UKF)算法；Wei等[9]提出了基于協方差交叉方法的線性一致性濾波算法。考慮到一致性估計算法中可能存在的不完全量測情形，Li等[10]提出了一種不完全量測下的線性一致性估計算法；Xu等[11]提出了存在通信丟包情況的二級線性一致性卡爾曼濾波算法；陳燁等[12]提出了基于事件觸發機制的不完全量測線性一致性估計算法。然而，在不完全量測下，非線性系統的一致性估計問題及其對應算法估計方差的收斂性問題還鮮有相關研究成果發表。

基于以上分析，考慮實際應用中存在的不完全量測情形，本文提出了一種基于信息一致性的分布式容積卡爾曼濾波(ICDCKF)算法。該算法考慮了各探測單元量測信息的相關性，將協方差交叉方法應用于一致性融合系數的計算，提高了互協方差未知條件下分布式融合算法的估計精度。進一步地，本文給出了不完全量測下，ICDCKF算法估計誤差方差有界的條件，并通過數值算例對理論成果進行分析驗證。ICDCKF算法應用于一類光電跟蹤網絡，對兩種典型運動目標進行了跟蹤仿真和對比分析，驗證了所提算法的有效性和可行性。

1 問題描述

在笛卡爾坐標系下，考慮一類非線性運動目標的動態方程描述如下：

xk=f(xk-1)+wk-1,

(1)

(2)

(3)

式中：P{·}為某一事件的發生概率；λi∈[0,1]為探測單元i成功測量目標的概率。

培養學生的求知欲望和解決實際問題的能力往往需從問題開始；學習的過程更是一個不斷發現問題、分析問題和解決問題的過程。啟發式教學可以調動學生學習的積極主動性；讓學生獨立思考，鍛煉邏輯思維能力；培養學生的動手能力、觀察能力、分析問題和解決問題的能力。

在本文考慮的跟蹤網絡中，每一個探測單元不僅具有對目標狀態的量測功能，還具備一定的通信和計算能力，可以完成對目標的狀態估計和信息融合任務，如圖1所示。圖1中，各探測單元均以相同的探測、通信以及估計頻率對目標進行跟蹤，且相鄰探測單元之間可以進行局部估計的信息交互。該探測網絡中的探測設備以光電探測儀、近程火控跟蹤雷達為主，探測單元之間通過有線或無線通信方式實現探測網絡的構建及信息交互，可用于要地末端防御中的防空目標探測跟蹤領域。

圖1 分布式跟蹤網絡結構圖

證明根據所提算法的第3步可知：

基于圖1所示的分布式跟蹤網絡，已有諸多算法可以基本完成目標跟蹤任務，但針對不完全量測條件下的非線性運動目標，仍有以下問題值得深入研究：如何設計一種新型分布式非線性融合算法以獲取針對非線性目標的一致性高精度狀態估計結果？如何保證不完全量測情形下所提算法估計結果的收斂性？并從理論上給出算法估計誤差方差有界性的嚴格證明？后文將就這些問題進行詳盡闡述。

2 基于信息一致性的分布式容積卡爾曼濾波算法

針對第1節所描述的非線性目標跟蹤系統(1)式和(2)式，為獲得分布式跟蹤網絡中針對非線性目標的一致性狀態估計結果，本節給出一種ICDCKF算法。該算法本質上屬于一類分布式估計算法，因此各探測單元需要首先完成對目標狀態的局部估計，然后通過與相鄰單元之間的信息交互，最終完成一致性融合估計。

以探測單元i為例，考慮實際應用中存在的不完全量測現象，參考文獻[13]中所提算法，首先給出一種改進的容積卡爾曼濾波(MCKF)算法用于目標狀態的局部估計，如算法1所示。

算法1MCKF算法。

1)時間更新

鋤禾火鍋主料有牛肉片、雞片、蝦片、魚片、豬排肉、豬腰片以及明蝦等，配料有粉絲、魚丸、菠菜、白菜、洋菜和色拉油等，吃法比較像中國的炒菜：食用時是先點燃平底鍋，等油燒熱時將菠菜和洋蔥等放入鍋中拌炒至八成熟，再放入白菜梗同炒，加白糖和醬油，待全部炒熟后再把自已喜愛的各式主料加放到鍋中煎熟，一邊食用一邊煎煮，吃到一半時，再加入一些鮮湯煮熟，加佐料后再在鮮湯內涮以主料食用之。

(4)

依據其分解結果，可以計算容積點為

MRI平掃檢出率高于多排螺旋CT平掃，P＜0.05；兩種檢測方式增強掃描檢出率對比無明顯差異，P＞0.05。如下表所示。

(5)

則有(14)式成立：

由此，可以獲得目標狀態的先驗估計值及先驗估計方差為

(6)

2)量測更新

對先驗估計方差進行Cholesky分解：

基于LabWindows/CVI的某型綜合控制單元測試設備開發………………………………郝云虎，李 強，張賢周(3)

(7)

可得相應的容積點如下：

(8)

(9)

(10)

和

(11)

(12)

上式中Y為被解釋變量，X為解釋變量，i為樣本個數，隨機擾動項μ代表著那些對Y有影響但又未納入模型的諸多因素的綜合影響。為了使對模型的估計具有良好的統計性質，對無法直接觀測的隨機擾動項的分布，需要進行以下一些基本假定：

(13)

另外，工作坊雖然可以為學生提供自主學習、探索創新的平臺，其不僅需要從教學方法上進行探討，還要從硬件環境上予以保證[12]：學校要為工作坊提供充足的工作空間、設備、材料和制度支持等，如：建立完善的校內專業實訓室并堅持對學生開放，選聘優秀的實訓教師，鼓勵學生申報科研項目、實踐訓練項目和創新項目，做好管理工作等，保證工作坊的健康、可持續發展。

證明由于算法的估計結果呈高斯分布，記

案例1：學生到學校生物園觀察植物，回到教室后遭到了教師的質問：為什么要到那兒去？教師的本意是讓學生明白，我們身邊到處都有可供觀察的植物，但是他的質問已構成了對學生自主行為的一種干預，這或許是教師權威主義的瞬間行為。

(14)

進一步地，將不同單元j∈Ni代入(14)式并相乘：

在可可西里的一周里，溫衡去了傳說中的無人區，去了巴顏喀拉山頂看日出，走的那天她才打開手機，陶小西沒有再發來任何消息，她最后一點希冀也破滅了。

(15)

(13)式代入(15)式，可以得到

(16)

引理1得證。

根據引理1可知，利用(13)式可以求得無偏的融合估計結果，但在現有的一些基于信息一致性的融合算法中，通常采用最大度權重方法和Metropolis權重方法求取一致性融合系數[16-17]。這些方法只考慮了跟蹤網絡的拓撲結構，并沒有考慮各探測單元的局部估計信息精度和相互之間估計信息的相關性。事實上，跟蹤網絡中各探測單元的局部估計通常是相關的[18]，因此在融合過程中需要充分考慮各探測單元局部估計信息的相關性。不過在實際應用過程中，由于各探測單元估計值之間的互協方差通常難以求取或求取的計算量較大，通常無法獲取各探測單元局部估計誤差的互協方差。因此，本文引入協方差交叉方法，用以解決各探測單元之間互協方差未知的問題[19]。通常，協方差交叉算法表述如下：

(17)

(18)

該優化問題是一個N維非線性優化問題，可以由MATLAB軟件通用優化函數“fmincon”求解。

針對本文研究的不完全量測條件下非線性系統的分布式跟蹤問題，借鑒協方差交叉方法在解決互協方差未知情況時狀態估計問題的精度優勢，將該方法用于一致性算法的融合系數求取，進而給出k時刻的ICDCKF算法，如算法2所示。

算法2ICDCKF算法。

需要說明的是，針對非線性目標跟蹤系統，常用的濾波方法有擴展卡爾曼濾波(EKF)、UKF、容積卡爾曼濾波(CKF)、粒子濾波(PF)等。相關研究表明，CKF算法在高維非線性系統中的估計精度和穩定性優于EKF和UKF[14]，更適合用于實際的目標跟蹤系統。另一方面，由于研究的非線性系統為高斯白噪聲，PF算法在處理非高斯噪聲方面的優勢無法體現，且相對CKF算法，其運算復雜度更高[15]，難以適應實時性要求較高的目標跟蹤系統。綜上所述，本文采用CKF算法對目標進行狀態濾波。

3)探測單元i接收探測單元j(j∈Nii)的局部估計信息，并按(19)式完成一致性融合計算：

(19)

式中：I為適維單位矩陣。

(20)

3 不完全量測下ICDCKF算法的穩定性分析

估計方差是否有界是判定一個算法能否有效應用的重要標準。尤其對于非線性系統和不完全量測情形，估計方差是否有界直接決定了所提算法能否有效、可行地對目標狀態進行估計。針對這一問題，本節對不完全量測下所提ICDCKF算法的穩定性進行深入分析，并給出確保估計方差有界的條件。

(21)

利用偽線性化方法對(21)式進行線性化處理[20]，可得

近年來，隨著標準化事業的蓬勃發展，標準學研究與實踐不斷深入，新的理論與方法不斷涌現，標準化學科的領域不斷拓展、內涵日益豐富。當前，國內外對于標準化基本理論的研究發展迅速，除了傳統經濟學、管理學以外，法學、社會學、公共治理理論、產業創新理論、網絡經濟學等領域全面介入，對標準、標準化的內涵和外延開展跨學科研究，形成了標準化學科發展的新特點。為此，我們需要就標準化的基本概念進行重新認識與現代詮釋。

(22)

考慮由N個探測單元組成的跟蹤網絡對上述目標狀態進行量測，當存在不完全量測時，探測單元i的量測方程通常描述為

(23)

ΔPxz,k|k-1+δPxz,k|k-1,

(24)

(25)

在給出算法收斂性定理之前，首先給出必要的引理和假設。

(A+B)-1>A-1-A-1BA-1.

(26)

假設2初始估計誤差方差有界。

我們對他們婚后的床上生涯就這樣略知一二，我們對他們另外的生活知道得就更多了，總之我們都認為林孟艷福不淺，萍萍的漂亮是有目共睹的，她的溫柔與勤快我們也都看在眼里，我們從來沒有看到過她和林孟為了什么而爭執起來。我們坐在他們家中時，她總是及時地為我們的茶杯斟上水，把火柴送到某一雙準備點燃香煙的手中。而林孟，結婚以后的皮鞋總是锃亮锃亮的，衣著也越來越得體了，這當然是因為有了萍萍這樣的一個妻子。在此之前，他是我們這些朋友中衣服穿得最糟糕的人。

基于上述分析及假設，可給出定理1如下。

2、表面平整，截面尺寸準確，梁的撓度變形及柱的垂直度符合相關規定。主要受力和連接部位無露筋、蜂窩、空洞、夾渣、疏松、明顯裂縫、孔洞、腐蝕、蟲蛀等現象。

為分析各年級加法減法速度的差異性，采用SNK方法，以P<0.05顯著性差異為依據，根據組間及組內變異的具體情況將其分為5個等級，等級越高，代表口算時間越短，即速度越快，具體如表5所示．

(27)

為方便描述，跟蹤網絡的通信拓撲用無向圖g=(N,ε)表示，其中N={1,2,…,N}為節點的集合，ε為邊的集合。如果一條邊(i,j)∈ε，則稱探測單元j為探測單元i的鄰居節點，且將探測單元i的鄰居節點集合記為Ni.特別地，探測單元i屬于自身的鄰居，即i∈Ni.當所指集合Ni不包含探測單元i時，記作Nii.

增減翻譯策略是常見的翻譯技巧之一。然而，無論是增詞還是減詞，翻譯范疇里強調的是，在不更改原文語義的基礎上，為了更加符合目的語文本的語言系統規范，才可以考慮增詞或減詞。若減詞使原文語義在譯文中遭受缺損，不僅違背了忠實傳達原文語義的翻譯原則，對文學文本而言，還會降低文本欣賞的完整度，限制譯文讀者的聯想空間。如：

(28)

(29)

對(29)式兩邊求逆，且該逆矩陣的跡為

(30)

(31)

(32)

(33)

又由假設1，可以將(33)式進一步轉化為

(34)

(35)

令

則不等式(35)式可以轉換為

(36)

綜上所述，定理1得證。

注1如果跟蹤網絡中存在部分節點沒有探測能力，可假設該類節點的探測概率為λi=0，則在滿足上述估計方差有界的條件時，本文所提ICDCKF算法仍可保證該類節點估計信息的有界性。因此，本文所提算法可推廣應用于包含部分無探測能力節點的跟蹤網絡中。

4 數值算例

4.1 算例1

為說明不完全量測下ICDCKF的收斂性和定理1所給的估計方差有界條件的正確性，考慮一個由3個探測單元組成環形的跟蹤網絡對理論結果進行仿真驗證。同時，為了與文獻[13]所提單個探測單元濾波(CKFI)算法的估計方差進行對比，本文考慮與文獻[13]中算例1相同的非線性系統：

(37)

仿真結果如圖2所示。由圖2可知：節點的探測概率越高，ICDCKF算法的估計精度越高；當探測概率為1時，可以取得最佳的估計精度；當λi>0.15時，CKFI算法的估計方差可以收斂；而對于基于分布式跟蹤網絡的ICDCKF算法而言，當探測概率λi>0.05時，估計方差即可實現收斂。

圖2 不同探測概率下ICDCKF和CKFI估計誤差方差

綜上所述，兩種算法的估計精度和探測概率均呈正相關關系，且在滿足估計方差有界的情況下，本文所提ICDCKF算法相對于CKFI算法有更低的探測概率需求。另外，在數值仿真中，ICDCKF算法估計方差有界所需的條件驗證了本文定理1所提理論的正確性。

4.2 算例2

為進一步驗證本文所提算法的有效性和在實際應用中的可行性，將本文所提ICDCKF算法應用于一類光電跟蹤網絡，通過對不同運動模型下的目標進行跟蹤仿真實驗，對比不同探測概率下本文所提ICDCKF算法的估計精度，并將其與其他現有常見估計算法進行比較。

不失一般性，記目標狀態為

式中：I3為三維單位向量；T為采樣周期；q為噪聲強度，q=1; ?為Kronecker積。

考慮由9個探測單元組成的分布式跟蹤網絡對三維目標進行跟蹤。假設所有探測單元均分布于高度為0 km的水平面上，且以探測單元5的坐標為坐標原點，則該分布式跟蹤網絡的拓撲結構及探測單元坐標分布如圖3所示。

圖3 探測單元坐標水平投影及網絡拓撲結構

在該跟蹤網絡中，記單個探測單元i的量測方程為

(38)

為了評估算法估計精度，分別定義位置均方根誤差(RMSE)和速度RMSE如下：

進一步地，參考累積RMSE(ARMSE)的定義方法[23]，本文利用位置平均ARMSE(AARMSE)和速度AARMSE來評價濾波算法在跟蹤網絡中的整體估計性能，將其分別定義為

式中：K為目標航路的采樣周期次數。

為比較不同算法在跟蹤系統中狀態估計的一致性，定義系統非一致估計值[24]為

在以下兩種典型的目標運動模型(勻速圓周運動模型和再入段彈道目標運動模型)下進行200次蒙特卡洛仿真實驗。

仿真場景1勻速圓周運動(CT)模型，運動半徑為2 000 m，角速度ω=0.05 rad/s，航高為1 000 m.目標初始狀態和狀態轉移函數分別為

x0=

[0 m -100 m/s 2 000 m 0 m/s 1 000 m 0 m/s]T,

f(xk)=

式中：T=0.5 s.該模型下的目標運動軌跡如圖4所示。

圖4 仿真場景1下目標運動軌跡

首先考慮探測概率為0.7的情況，將ICDCKF算法應用于如圖3所示的跟蹤網絡中，并與CKFI算法、基于Metropolis權重的信息一致容積卡爾曼(KCF_Me)算法[17]和基于協方差交叉方法的容積卡爾曼融合(CKF_CI)算法[19]對比，可得如圖5和圖6所示部分探測單元融合結果的位置RMSE曲線和速度RMSE曲線。

圖5 仿真場景1下探測概率為0.7時估計算法的位置RMSE對比

圖6 仿真場景1下探測概率為0.7時估計算法的速度RMSE對比

由圖5和圖6可知，與CKFI算法和CKF_CI算法相比，本文所提ICDCKF算法和KCF_Me算法均有較高的估計精度和較好的一致性性能。在估計誤差的收斂速度方面，ICDCKF算法可在t=6 s時達到穩定，而KCF_Me算法在t=10 s時才能穩定。因此，本文所提ICDCKF算法的收斂性更好，也使得該算法在實際應用中較其他算法更具實用性。

另一方面，該場景下不同算法的系統非一致估計值如圖7所示。由圖7可知，在估計結果穩定后，本文所提ICDCKF算法和KCF_Me算法在系統的狀態估計一致性方面性能相似，但本文算法能夠更快地達到狀態估計的一致。

圖7 仿真場景1下探測概率為0.7時估計算法的非一致估計值對比

針對估計算法在跟蹤網絡中的整體估計精度，這4種估計算法在不同探測概率條件下的AARMSE數據如表1所示。由表1可以看出：當探測概率為0.7時，ICDCKF算法的位置精度較CKFI算法、CKF_CI算法和KCF_Me算法分別提高了58.8%、30.8%和28.4%，速度精度分別提高了26.4%、17.2%和17.7%；當探測概率降低到0.3時，本文所提算法的位置精度較其他3種算法更是提高了63.0%、34.9%和45.0%，速度精度分別提高了27.9%、18.6%和23.1%.因此，本文所提算法較其他算法在估計精度上均有大幅提高，且在低探測概率條件下，本文所提算法的優勢更加明顯。

表1 仿真場景1下不同探測概率的估計算法AARMSE對比

仿真場景2再入段彈道目標運動(RBT)模型[25]，目標初始航速為200 m/s，初始航高為5 000 m，目標彈道系數β=4 000 kg/(m·s2)。目標初始狀態和狀態轉移函數分別為

x0=[2 300 m -200 m/s 2 000 m

0 m/s 5 000 m 0 m/s]T,

G[0 0 -g]T,

圖8 仿真場景2下目標運動軌跡

類似地，對彈道目標再入段飛行軌跡進行跟蹤，可以分別得到探測概率為0.7時不同估計算法的位置RMSE和速度RMSE變化趨勢分別如圖9和圖10所示，系統非一致估計值對比如圖11所示，以及不同探測概率時不同估計算法的AARMSE如表2所示。

表2 仿真場景2下不同探測概率的估計算法AARMSE對比

圖9 仿真場景2下探測概率為0.7時估計算法的位置RMSE對比

圖11 仿真場景2下探測概率為0.7時估計算法的非一致估計值對比

與CT模型相似，針對RBT模型的運動目標，本文所提ICDCKF算法分別在t=10 s和t=6 s時分別實現位置RMSE和速度RMSE的收斂，均早于其他算法。就系統狀態估計一致性而言，本文算法達到系統估計狀態一致的速度也略快于KCF_Me算法。在整體估計精度方面，當探測概率為0.7時，本文算法的位置精度較CKFI算法、CKF_CI算法和KCF_Me算法分別提高了60.3%、35.4%和32.2%，而速度精度也分別提高了17.7%、12.6%和13.3%.當探測概率由0.7下降到0.3時，本文算法的整體估計精度較其他算法也有大幅提高，且該算法的位置精度和速度精度較λi=0.7時分別損失46.7%和10.1%，與其他3種算法相比，精度損失也為最小。

綜上所述，根據兩種典型運動模型下的目標跟蹤仿真，結果表明：在不完全量測條件下，無論目標的運動軌跡為線性時變模型(CT)還是非線性模型(RBT)，本文所提ICDCKF算法均可以得到一致性的估計結果，且與其他算法相比，本文算法的估計精度更高、收斂速度更快，在實際應用中具備可行性，是一種有效的非線性分布式一致性狀態估計算法。

5 結論

在考慮實際應用中存在的不完全量測情形下，本文圍繞分布式火控系統中的非線性目標跟蹤問題展開了研究。得出如下主要結論：

1)提出了一種不完全量測下的ICDCKF算法。

2)從理論上證明了在不完全量測條件下，若系統探測概率大于一給定閾值，則所提ICDCKF算法的估計誤差方差有界。

3)在一類光電跟蹤網絡中，通過兩種典型運動模型下的目標跟蹤實驗，驗證了所提算法的有效性和在實際應用中的可行性。

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