基于廣義雙曲分布的滬深300ETF期權定價實證研究

李旭桐

摘?要：本文利用廣義雙曲分布（Generalized?Hyperbolic，GH）來刻畫滬深300ETF收益率尖峰、偏態、厚尾的特征，彌補了正態分布的不足。并利用GARCH過程描述其時變波動率的特征，兩者結合建立了基于廣義雙曲分布的GARCH模型（GARCH-GH）為滬深300ETF期權定價。經測度轉換至等價鞅測度下，用蒙特卡洛方法模擬出樣本路徑來為滬深300ETF歐式看漲期權定價。結果顯示，從平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）以及平均絕對百分比誤差（MAPE）三個指標來看GARCH-GH模型比AHBS模型、B-S模型的定價誤差更小。

關鍵詞：廣義雙曲分布?GARCH模型?蒙特卡洛模擬?滬深300ETF期權

一、引言

2019年12月13日，滬深交易所上市滬深300ETF期權，其涵蓋更多A股標的，完善了多層次市場體系。新期權的推出是國內資本市場供給側結構性改革的新成果，是全面深化資本市場改革的重要措施，對進一步完善多層次資本市場產品體系，吸引長期資金入市，深化資本市場對外開放非常有利。并且能夠與上證50ETF期權發揮協同作用，使得風險管理體系更加完整。新期權品種的上市標志著我國衍生品市場走向更加成熟和完善。同時，期權定價問題自始至終都是期權研究領域的關注重點。通過利用合理有效的理論模型對滬深300ETF期權進行研究，不僅能夠避免出現盲目投資、投機行為，還可以為監管機構監控市場風險提供有效信息。

Black和Scholes（1973）假設標的資產價格服從幾何布朗運動，波動率和無風險利率為常數值，并用無風險利率進行貼現，推導出B-S模型。但是學者們利用B-S模型進行實證分析時發現波動率并不滿足常數這一假設，而是會出現微笑、偏斜的現象。同時標的資產收益率也不符合正態分布，而是呈現尖峰、偏態、厚尾的特征。Dupire（1994）假設標的資產收益波動率為資產價格和剩余期限的確定性函數，放松了波動率為常數的假設，并提出確定性波動率函數（Deterministic?Volatility?Function，DVF）期權定價模型。在此基礎上，Dumas，Fleming和Whaley（1998）將DVF運用到B-S模型中，構建了AHBS模型。此外Kim?I.J.和Kim?S.（2004）又對AHBS模型做了改變，他們以期權的在值程度作為波動率函數的變量。Duan（1995）用GARCH過程來描述波動率時變的特點，在正態分布假設下，來為期權定價。但是，正態分布難以捕捉標的資產對數收益率的尖峰、偏態、厚尾的特征。

Jensen和Lunde（2001）基于正態逆高斯分布（NIG）建立了期權定價模型來進行實證分析，且正態逆高斯分布是廣義雙曲分布（GH）的一個特殊情況。Chorro、Guégan和Ielpo（2012）基于廣義雙曲分布建立了GARCH-GH模型，廣義雙曲分布可以更好地捕捉標的資產收益率的特征，并通過CAC40指數期權和S&P500指數期權進行實證分析。郝夢和杜子平（2017）基于GARCH-GH模型對上證50ETF期權進行實證研究，結果表明要比GARCH-Gaussian模型與B-S模型更接近期權實際價格。楊曉輝和王裕彬（2019）以上證50ETF為標的，利用GARCH模型對其進行歷史波動率研究，結果表明隱含波動率數值相較于歷史波動率研判結果更準確。宮文秀和許作良（2020）在波動率滿足GARCH模型下，建立三叉樹模型，結果表明基于GARCH模型的三叉樹定價方法是有效的，且計算穩定。

本文的主要研究是比較各個模型對滬深300ETF期權的定價效果。通過文獻整理選擇B-S模型、AHBS模型和GARCH-GH模型作為本文的理論定價模型。其原因是這三個模型對標的資產收益率的波動率假設逐漸放松，且從正態分布到廣義雙曲分布對標的資產收益率特征的捕捉逐漸增強，能夠起到比較好的對比效果。結果表明，相較于B-S模型與AHBS模型，GARCH-GH模型的結果更接近其實際價格。

中國證券期貨2021年6月

第2期基于廣義雙曲分布的滬深300ETF期權定價實證研究

二、定價模型

（一）廣義雙曲分布

廣義雙曲分布因其密度函數的對數函數是雙曲線形狀而得名，并且可以較好地描述標的資產收益率呈現出的尖峰、偏態、厚尾特征。

對于（λ，α，β，δ，μ）∈

5且δ>0，α>β>0，一維廣義雙曲分布GH（λ，α，β，δ，μ）密度函數（density?function）為

dGH（x，λ，α，β，δ，μ）=（α2-β2/δ）λ2πKλ（δα2-β2）×eβ（x-μ）Kλ-1/2（αδ2+（x-μ）2）（δ2+（x-μ）2/α）1/2-λ（1）

其中，Kλ表示指標值為λ的一個修正三階貝塞爾函數，δ為尺度參數，μ為位置參數，α和β分別表示峰度和偏度;當λ=-1/2時，為正態逆高斯分布（NIG），當λ=1時，為雙曲線分布（HYP）。廣義雙曲分布的矩生成函數（moment?generating?function）的具體形式為

GGH（u）=eμuα2-β2α2-（β+u）2λ/2×Kλ[δα2-（β+u）2]Kλ（δα2-β2），β+u<α（2）

并且，該分布族經過仿射變換后是穩定的，即廣義雙曲分布的各個參數不因隨機變量x的仿射變化而改變，這一點非常重要，因為在GARCH模型的設定下，由此可以推導出對數收益率的條件分布。

（二）GARCH過程

GARCH過程可以捕捉時變波動率的特點，且能很好地刻畫金融市場的收益率序列。Bollerslev（1986）推導出了廣義自回歸條件異方差過程，給出了GARCH（p，q）模型，若εt～GARCH（p，q）則

εt=htzt

ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p（3）

其中，（zt）t∈0，1，…，T是期望為0、方差為1的獨立同分布的隨機變量，各個參數α0>0，（αi）i∈1，2，…，q≥0，（βj）j∈1，2，…，p≥0，p≥0，q≥0以保證條件方差嚴格為正，且α1+…+αq+β1+…+βp<1確保平穩性。

運用GARCH過程對標的資產收益率殘差的方差進行波動率建模，可以更好地描述標的資產收益率時間序列的異方差性問題，因此在金融研究領域得到廣泛應用。本文運用GARCH過程來描述華泰柏瑞滬深300ETF日對數收益率的波動率。

（三）GARCH-GH模型

標的資產收益率存在一定的集聚現象，且其波動率是隨機的并圍繞均值上下波動，所以可以由GARCH過程來描述。

在實際概率測度下，標的資產的動態價格過程為（St）t∈0，1，…，T，則其對數收益率為

Yt=ln（StSt-1）=r+mt+htztεt，S0=s（4）

其中，r為無風險收益率是個常數，其隨時間變化的超額收益mt取決于恒定的風險溢價λ0;在實證研究中mt的形式是固定的，本文保留其經典形式mt=λ0ht-12ht。接下來用GARCH過程來描述標的資產的方差，建立GARCH-GH模型為

Yt=ln（StSt-1）=r+λ0ht-12ht+htzt，εt=htzt

ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p（5）

所以在實際概率測度下，對于廣義雙曲分布，Yt在給定Ft-1[Et=σ（zu;0≤u≤t）]t∈0，1，…，T是實際概率測度下直到T時刻的信息集）條件下的分布服從

Yt～GH（λ，αht，βht，δht，r+mt+μht）（6）

構建GARCH-GH模型后，可以將模型分為均值方程式（4）和方差方程式（3）。對于均值方程其zt～GH（λ，α，β，δ，μ），準確地知道其密度函數方程式（1），采用經典最大似然估計來得出參數（λ，α，β，δ，μ），對于方差方程采用擬最大似然估計。

（四）Ad?Hoc?Black-Scholes模型

Ad?Hoc?Black-Scholes模型（AHBS）是在B-S模型的基礎上假設標的資產收益率的波動率為資產價格和剩余期限的確定性函數，放松了波動率為常數的假設，其中，Kim?I.J.和Kim?S.改善了AHBS模型，以期權的在值程度作為波動率函數的變量，其波動率函數形式為

σAHBS=b0+b1（St/K）+b2（St/K）2（7）

其中σAHBS為標的資產價格為St、執行價格為K的期權的波動率。本文采用以上函數形式作為AHBS模型中的確定性波動率函數（DVF）。

將σAHBS代入至B-S模型的定價公式中，便可以得到AHBS模型歐式看漲期權的定價公式為

Ct=StN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）

d1=ln（St/K）+（r+σ2AHBS/2）（T-t）σAHBST-t，d2=d1-σAHBST-t（8）

三、定價方法

（一）隨機貼現因子

在等價鞅測度下，期權價格為標的資產的收益貼現到現在的期望值。需要將建立在實際概率測度下的模型，轉化到等價鞅測度進行期權定價。若標的資產在T時刻下，給定FT條件下的收益為ΦT，則歐式期權在t時刻的價格為

Ct=E[ΦTe-r（T-t）Ft]（9）

或者等價于

Ct=E[ΦTMt，TFt]（10）

其中，Mt，T表示在給定FT條件下的隨機貼現因子。一般來講，市場通常是不完全的，因此鞅測度并不唯一。所以可以對隨機貼現因子的形式施加一定程度的約束，選擇一個特定的鞅測度來符合相應的經濟風險標準。這樣一來在唯一的風險中性概率測度下，可以使用蒙特卡洛模擬通過方程式（10）來對期權定價。

本文選取Chorro、Guegan和Ielpo給出的隨機貼現因子Mt，t+1的形式，其為對數收益率的指數仿射函數：

t∈{0，…，T-1}

Mt，t+1=eθt+1Yt+1+ξt+1（11）

其中，Yt+1=ln（St+1/St），并且θt+1，ξt+1是給定Ft條件下的隨機變量。因為廣義雙曲分布是穩定的，經過仿射變換后各個參數不因此而改變。

Gt（θt+1）=e-（r+ξt+1）

Gt（θt+1+1）=e-ξt+1（12）

要計算（θt+1，ξt+1），Chorro、Guegan和Ielpo證明在符合式（12）時，存在唯一的風險中性概率測度，且同時證明了在基于廣義雙曲分布的GARCH模型下方程式（12）有解。其中Gt為Yt+1的條件矩生成函數，由方程式（2）可推導出在方程式（5）條件下Yt的條件矩生成函數：

GYtFt-1（u）=e（μht+r+mt）u（α2-β2α2-（β+uht）2）λ/2×Kλ（δα2-（β+uht）2）Kλ（δα2-β2）（13）

則由方程式（12）得出的解為（θqt+1，ξqt+1），所以隨機貼現因子為Mt，t+1=eθ?q?t+1Yt+1+ξqt+1，由此就可以得到在等價鞅測度下的對數收益率分布。

（二）測度轉換

經隨機貼現因子貼現后，可將實際概率測度轉化為等價鞅測度。在等價鞅測度下，對于廣義雙曲分布，Yt在給定Ft-1條件下的分布服從：

Yt～GH（λ，αht，βht+θqt，δht，r+mt+μht）（14）

則由方程式（5）可得zt～GH（λ，α，β+htθqt，δ，μ）。在測度轉換過程中，因為廣義雙曲分布是穩定的，所以可以通過蒙特卡洛模擬的方法來估計滬深300ETF期權的價格。

四、實證分析

（一）蒙特卡洛模擬步驟設計

GARCH-GH模型構建完成后，運用蒙特卡洛模擬的方法來模擬標的資產的樣本路徑為期權定價，具體步驟如下。

①選擇華泰柏瑞滬深300ETF日收盤價并以此計算日對數收益率。

②以步驟①計算的收益率作為樣本，來估計方程式（5）中均值方程和方差方程中的參數。在估計過程中也會產生t+1時刻的條件方差，即ht+1。

③在等價鞅測度下，從t時刻的下一期t+1開始模擬樣本路徑。

i從步驟②產生的條件方差ht+1開始;

ii通過式（12）求解（θqt+1，ξqt+1）;

iii產生服從GH（λ，α，β+ht+1θqt+1，δ，μ）分布的zt+1;

iv由方程式（5）計算出對數收益率Yt+1與t+2時刻的條件方差ht+2;

v返回至步驟i，用t+1代替t，直到t=T-1，T是期權的到期日。

在等價鞅測度下，模擬出標的資產收益率路徑（Yk）k∈t+1，t+2，…，T，在T時刻標的資產價格為ST=St∏Tk=t+1eYk。

④最終，模擬出N條標的資產收益率路徑來計算T時刻標的資產價格。ST，i表示第i條樣本路徑下T時刻標的資產價格，然后用蒙特卡洛模擬的方法，用N條樣本路徑的均值作為估計的執行價格為K的歐式看漲期權價格：

C^（t，T，K）=e-r（T-t）1N∑Ni=1max{ST，i-K}+（15）

（二）數據選取與描述性統計分析

本文將上海證券交易所交易的滬深300ETF歐式看漲期權（以華泰柏瑞滬深300ETF為標的）作為實證研究對象。本文首先選取華泰柏瑞滬深300ETF自2012年5月28日上市以來至2020年10月29日的每日收盤價數據，并由此計算每日對數收益率，然后進行統計性描述，數據來源于Wind金融終端。滬深300ETF對數收益率波動情況如圖1所示。

從圖1得知，標的資產華泰柏瑞滬深300ETF的對數收益率序列存在集聚現象，選取GARCH（1，1）過程來對波動率建模，它的實際應用是GARCH眾多模型中最普遍的，可以準確捕捉標的資產時變波動率的特征。華泰柏瑞滬深300ETF的對數收益率的描述性統計如表1所示。

從表1得知，標的資產收益率同時出現偏態、尖峰、厚尾等特征，而且JB統計量過大。這些情況表明該標的資產對數收益率序列顯著拒絕服從正態分布，正態分布并不足以描述其特征，所以需要尋找更符合數據特征的分布，而廣義雙曲分布的優勢就會就此凸顯出來。不同分布下對標的資產對數收益率的擬合如圖2所示。

如圖2所示，分別用樣本經驗分布、廣義雙曲分布、正態分布對華泰柏瑞滬深300ETF日對數收益率進行擬合，可以直接觀察到，正態分布對于華泰柏瑞滬深300ETF樣本的擬合較差，難以符合標的資產收益率尖峰、偏態、厚尾的特征，而廣義雙曲分布的擬合曲線近似于樣本經驗分布，其表現較為良好，可以捕捉標的資產收益率的各種特征。

（三）實證結果

為了對滬深300ETF期權進行定價，本文對比B-S模型、AHBS模型、GARCH（1，1）-GH模型的定價效果，首先要估計各個模型的參數，各模型的參數估計如表2所示。

模型參數估計

B-Sσ=0.25627

AHBSb0=-0.17463?b1=0.55581?b2=-0.17463

模型參數估計

GARCH（1，1）-GH

GH分布λ=0.71877?α=0.41049?β=0.03829?δ=0.99853?μ=-0.04257

GARCH（1，1）模型λ0=0.01873?α0=0.02085?α1=0.06726?β1=0.92484

期權樣本選取上海證券交易所交易的滬深300ETF期權（以華泰柏瑞滬深300ETF為標的）2020年11月到期（距到期期限T-t=27天）、2020年12月到期（距到期期限T-t=55天）、2021年3月到期（距到期期限T-t=146天）、2021年6月到期（距到期期限T-t=237天）的歐式看漲期權來進行定價分析，比較不同模型的定價效果，數據來源于Wind金融終端，t時刻為2020年10月29日。無風險利率設定為當日一年期國債即期利率，且已將無風險利率轉化為連續復利形式，數據來源于中國債券信息網。

接下來本文將把樣本滬深300ETF歐式看漲期權數據按照在值程度大小劃分為≤0.95，0.95～1.01，1.01～1.07，1.07～1.13，>1.13五檔，其中區間為左開右閉形式。期權的在值程度是指標的資產價格與期權執行價格的比值，即S/K。其中S為標的資產價格，K為期權執行價格。一般看漲期權可根據在值程度>1，=1，<1分為實值期權、平值期權與虛值期權。

并同時選取三個指標：平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）以及平均絕對百分比誤差（MAPE），來對樣本進行更為細致的比較，這三個指標的計算公式如下所示：

MAE=1N∑Ni=1Ci-C^i，MSE=1N∑Ni=1（Ci-C^i）2，MAPE=1N∑Ni=1Ci-C^iCi（16）

其中，Ci為第i個執行價格的滬深300ETF期權的實際價格，C^i為在GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型估計下的理論價格。如表3所示，分別給出了各個模型為不同在值程度的期權定價的MAE、MSE、MAPE誤差結果。

從橫向角度來看，結合MAPE指標可以觀察到，隨著在值程度的增大，GARCH-GH模型的誤差越來越小，效果越來越穩定。而另外兩個模型的擬合效果則會出現一定程度的波動。

從縱向角度來看，當在值程度介于0.95～1.01與1.01～1.07時，三個指標都表明，其結果表現最好的是AHBS模型，其次才是GARCH-GH模型，在值程度接近1的期權稱為平值期權，其特點是，它們的行權價格與標的資產當天收盤價接近。結果說明GARCH-GH模型在對于平值期權的定價效果較差，其擬合誤差較大。當在值程度處于其他區間時，從三個指標來看，GARCH-GH模型的表現最為優秀，其次為AHBS模型。

最后對于全樣本的擬合效果，從MAE、MSE、MAPE三個指標來看，都表明GARCH-GH模型擬合的總體誤差最小，效果最優，其次是AHBS模型與B-S模型。

接下來為了更加直觀地展現各個模型對不同到期期限的滬深300ETF期權所定出的期權價值C與執行價格K之間的關系，把GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型的定價結果與滬深300ETF期權實際市場價格進行對比。結果如圖3所示。

從各個模型得出的定價結果來看，滬深300ETF期權的實際市場價格與GARCH-GH模型的結果最為貼近，其相差的距離最小，且隨著期權在值程度的增加，GARCH-GH模型的優勢更加明顯。所以GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型更接近滬深300ETF期權的實際市場價格。

五、結論

期權定價一直是期權研究領域的熱點，首先本文通過文獻梳理，選擇了B-S模型、AHBS模型以及GARCH-GH模型作為文章的理論模型。這三個模型對標的資產的波動率假設逐漸放寬，且從正態分布到廣義雙曲分布對標的資產收益率特征的捕捉逐漸增強，能起到較好的對比效果。

接下來本文選用廣義雙曲分布來捕捉滬深300ETF收益率尖峰、偏態、厚尾的特點，結合GARCH過程描述其時變波動的特征，建立GARCH-GH模型為滬深300ETF期權定價。在等價鞅測度下，利用蒙特卡洛方法模擬出樣本路徑來估計滬深300ETF歐式看漲期權價格。通過對滬深300ETF期權的定價研究，本文希望能夠找到較為準確的定價理論模型，從而為投資者制定投資策略以及為監管者監督市場風險提供價格指標。

經過實證研究，選取四種不同到期期限的滬深300ETF歐式看漲期權作為樣本，結果表明，三個模型對實值期權、平值期權以及虛值期權的擬合效果都比較好，但是GARCH-GH模型的效果最優，而B-S模型效果最差。此外GARCH-GH模型對平值期權的定價效果較差，對于這類期權，AHBS模型的表現最好。總體來看，GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型，得到的結果更接近于滬深300ETF期權的實際價格。

同時，本文只是使用對波動率與正態性假設進行了改進的定價模型來對滬深300ETF期權進行研究。在未來的研究重點是，還可以將標的資產收益率中的跳躍情況考慮進期權定價模型，或是用Lévy過程描述資產價格運動的模型來進行更深入的研究。

參考文獻

[1]BOLLERSLEV?T.Generalized?autoregressive?conditional?heteroskedasticity[J].Journal?of?Econometrics，1986，31（3）：307-327.

[2]BLACK?F，SCHOLES?M.The?pricing?of?options?and?corporate?liabilities[J].Journal?of?Political?Economy，1973，81（3）：637-654.

[3]DUPIRE?B.Pricing?with?a?smile[J].Risk，1994，7（1）：18-20.

[4]DUMAS?B，FLEMING?J，WHALEY?R?E.Implied?volatility?functions：Empirical?tests[J].The?Journal?of?Finance，1998，53（6）：2059-2106.

[5]KIM?I?J，KIM?S.Empirical?comparison?of?alternative?stochastic?volatility?option?pricing?models：Evidence?from?Korean?KOSPI?200?index?options?market[J].Pacific-Basin?Finance?Journal，2004，12（2）：117-142.

[6]DUAN?J?C.The?GARCH?option?pricing?model[J].Mathematical?Finance，1995，5（1）：13-32.

[7]JENSEN?M?B，LUNDE?A.The?NIG-S&ARCH?model：a?fat-tailed，stochastic，and?autoregressive?conditional?heteroskedastic?volatility?model[J].Econometrics?Journal，2001，4（2）：319-342.

[8]CHORRO?C，GUGAN?D，IELPO?F.Option?pricing?for?garch-type?models?with?generalized?hyperbolic?innovations[J].Quantitative?Finance，2012，12（7）：1079-1094.

[9]郝夢，杜子平.基于GARCH-GH模型的上證50ETF期權定價研究[J].數學的實踐與認識，2017，47（5）：289-296.

[10]楊曉輝，王裕彬.基于GARCH模型的波動率與隱含波動率的實證分析——以上證50ETF期權為例[J].金融理論與實踐，2019（5）：80-85.

[11]宮文秀，許作良.基于GARCH模型的三叉樹期權定價方法[J].數學的實踐與認識，2020，v.50（7）：106-114.