題組，提高數學解題能力的階梯

江蘇省無錫市新吳區春星小學 丁曉丹

一、緣起

以下是“認識公頃和平方千米”教學后的綜合練習：

（1）一張郵票的表面積大約是8（ ）。

（2）天安門廣場是我國最大的廣場，它的占地面積大約是40（ ）。

（3）一張課桌的桌面面積大約是36（ ）。

（4）北京到上海的鐵路長度大約是1300（ ）。

據統計，第（4）題只有三分之二左右的學生能夠正確辨析。題目本身并不難，但由于受到前三題的影響，不少學生填寫了“平方千米”等錯解。這充分暴露了小學生所掌握的知識是碎片化的，缺乏結構性，一旦題意稍作改變，就不懂得觸類旁通，舉一反三。因此，提高小學生數學解題能力顯得尤為重要。

在教學中，筆者嘗試通過“題組練習”：改變題目的關鍵語句；改變題目的敘述方式；增加題目的多余條件；對換題目中的問題和條件；優化解題方法，學會多題一解等幾個方面幫助學生在對比過程中建構起知識間的聯系，從而提高數學解題能力。

二、改變題目的關鍵語句，分解審題性錯誤

審題，就是理解題意，理解題目中給予的條件與問題，明確題目的要求。小學生在審題過程中，常見錯誤有兩個：一是不善于審題，不知道審題時應注意些什么，或不理解題中的關鍵句，或遺漏了題中的隱蔽因素；二是粗枝大葉，忽視題目中的重要條件，從而造成各種錯誤。

通過改變題目的關鍵語句，能夠引導學生找準題目關鍵，發現問題，從而曲徑通幽，找到解題方法。在設計題組練習的時候，教師可以有意識地替換關鍵語句或者替換單位名稱，提高學生審題能力。

例如，在蘇教版數學第九冊“多邊形面積的計算”這一單元中，教材安排了每份數、份數、總數之間的數量關系與多邊形面積計算融合的教學內容。在實際教學過程中，學生出現了很多問題，其中找準題目中的每份數、份數和總數，是一個難點。根據以往的經驗，在教學這一內容時，筆者對教材作了以下整合：首先將“份總關系”與多邊形面積計算分兩課時教學，隨后設計了題組練習組織比較、深化：

（1）一塊大白菜地的面積是1200平方米，如果每平方米種大白菜8棵，這塊地一共可以種多少棵大白菜？

解題思路：1200×8＝9600（棵）?！懊科椒矫追N大白菜8棵”說明8是“每份數”，“一共有1200平方米”即1200是“份數”，根據“每份數×份數＝總數”，可知“一共可以種多少棵大白菜”即求“總數”，用乘法。

（2）一塊大白菜地的形狀是三角形，它的底是80米，高是30米。如果每平方米種大白菜8棵，這塊地一共可以種多少棵大白菜？

解題思路：先求得三角形的面積是80×30÷2＝1200（平方米），是“份數”，“每平方米種大白菜8棵”說明8為“每份數”，故求總數仍是用乘法。

（3）一塊大白菜地的形狀是三角形，它的底是80米，高是30米。如果每棵大白菜占地8平方分米，這塊地一共可以種多少棵大白菜？

解題思路：先求得三角形的面積是80×30÷2＝1200（平方米），根據“每棵大白菜占地8平方分米”可知8是“每份數”，而本題中的1200平方米是總數而不是份數，根據“份數＝總數÷每份數”，經過單位換算得120000÷8＝15000（棵）。

這組題組練習，既有遞進又有對比。首先，從學生中低年級時學過的最簡單的“份總關系”問題入手，幫助學生明確每份數、份數和總數。其次，把關鍵句“每平方米種大白菜8棵”改成“每棵大白菜占地8平方分米”，幫助學生理解第（1）、（2）題求的是總數，第（3）小題求的則是份數，看似差不多，但本質截然不同。同時，第（3）題還替換了單位名稱，使學生意識到單位不統一的問題在圖形面積計算中非常常見，更使他們意識到仔細審題的重要性。

在平時的教學中，教師要善于改變題目中的關鍵語句，幫助學生理解題目的本質含義，分解學生的審題性錯誤，從而提高學生的解題能力。

三、改變題目的敘述方式，去除知識性錯誤

知識性錯誤是指學生對數學概念、原理及規律理解不透、模糊不清而導致的錯解。通過改變題目的敘述方式，在對比過程中幫助學生建構起知識體系，去除知識性錯誤，從而提高學生的解題能力。

例如，在教學了公倍數和公因數的知識后，可以設計這樣的題組練習：

（1）把長120厘米、寬80厘米的長方形紙片剪成若干個相等的小正方形，并且無剩余，最少可以剪多少個？

（2）有若干張長12厘米、寬8厘米的小長方形紙片，至少需要多少張這樣的小長方形紙片才能拼成一個正方形？

這兩題看上去相似，實則不同，關鍵在于“剪”與“拼”。前者運用的是公因數的知識，后者則是用公倍數的知識。在解題時，教師要引導學生根據題意畫圖，在交流的過程中，要引導學生對比、辨析，從不同中發現相似之處，巧妙利用數形結合的方法解決問題。

四、增加題目的多余條件，防范推理性錯誤

推理是由一個或幾個已知判斷推導出一個新的判斷的思維形式。有些學生只根據題目所提供的表面條件做出判斷而導致錯誤。其中很多都是由題目出示的多余條件引起的，題目中增設的條件看似與解決問題有關，實則是多余的信息或是設置的一些與有效信息相似或相近且易于混淆的信息，主要起到干擾和迷惑的作用。

筆者在教學中發現，學生對題目中出現的多余條件幾乎毫無抵抗力，在作業中亂用“多余條件”的現象比較嚴重。

例如，在教學平行四邊形面積之后，出示下圖，求下面平行四邊形的面積：

有部分學生會出現“16×10＝160m2”的錯誤解題，究其原因是沒有找準對應的底和高，被“16m”這個多余條件迷惑了。

所以，在教學“多邊形的面積”這一單元時，筆者設計了這樣的題組練習：

（1）一個直角三角形的三條邊分別是15厘米、20厘米和25厘米，這個直角三角形的面積是多少平方厘米？

（2）一個平行四邊形相鄰的兩條邊長分別是16厘米和20厘米，它的一條高是18厘米，這個平行四邊形的面積是多少平方厘米？

解題時，教師要引導學生仔細分析，可以通過畫圖等方法找出無意義條件，找到有效信息，弄清楚問題的因果關系，進而突破難點。教師在設計這樣的題組練習時，一定要突出題組的“異”與“同”，重視對比與辨析，把握題目的本質，提高學生的解題能力。

五、對換題目中的問題和條件，化解記憶性錯誤

遺忘某一知識，或將某一知識與另一知識的記憶相混或記錯，結果由記憶混淆而錯解的現象即為記憶性錯誤。解題時對換題目中的問題和條件不是為了找到答案，而是為了培養學生多角度地看待問題的習慣。對換題目中的問題和條件會在一定程度上增加題目的難度，但可以拓展學生的思維。教師在設計這類題組練習時，可以先順著學生思維設計，然后抽取某個已知條件和結論進行對換，培養學生的逆向思維能力，借此提高學生的解題能力。

例如，在教學了梯形的面積計算后，可以設計這樣的題組練習：

（1）一塊梯形玻璃，上底是118厘米，下底是132厘米，高是160厘米。這塊玻璃的面積是多少平方厘米？

（2）一塊梯形玻璃，已知上底是118厘米，下底是132厘米，這塊玻璃的面積是20000平方厘米，這塊玻璃的高是多少厘米？

這兩個問題的解題依據都是梯形的面積公式，看似差不多，但由于第（2）題是梯形面積公式的逆運用，學生理解起來難度很大。這就要求學生能準確地回憶梯形面積的推導過程：用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，平行四邊形的底等于梯形的上底加下底，平行四邊形的高等于梯形的高，因此，梯形面積等于拼成的平行四邊形的面積除以2。反之，已知梯形面積，乘2就表示拼成的平行四邊形面積，再除以梯形上、下底之和就能求得梯形的高。通過對換題目中的問題和條件，就能順利化解學生的記憶性錯誤。

六、總結優化解題方法，學會多題一解

在平時的數學解題中，優化后的方法只有一種，那就是經典方法。經典方法是后續知識方法學習的基石。在進行了一系列題組練習，學生基本掌握了“讀題”“畫圖”“數形結合”等數學方法后，教師就要逐步引導學生歸納經典解題方法，學會“多題一解”。

例如，在學習了公倍數的知識后，可以設計這樣的題組練習：

（1）8路車每隔8分鐘發一次車，12路車每隔6分鐘發一次車，在某一時刻這兩路車同時從一個車站發車，至少再過多少分鐘這兩路車才又同時發車？

（2）用一種長20厘米、寬16厘米的長方形地磚拼成一個正方形，正方形的邊長至少是多少厘米？

（3）同學們訓練廣播操。每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且沒有多余的學生，請問至少有多少人參加廣播操訓練？

這三題看似毫不相關，實質都是求幾個數的最小公倍數。

“解決問題的策略”和“找規律”這部分知識尤其適合設計“多題一解”題組進行思維訓練，培養學生的解題能力。

《國語·鄭語》有云：聲一無聽，色一無文，味一無果，物一無講。意思是說：一種聲響不成音樂，沒有聽頭；一種顏色不成文采，沒有看頭；一種味道不成美食，沒有吃頭；一種事物沒有比較，沒有說頭。同樣的，碎片化的教學內容太過單薄，沒有對比，談何深刻？因此，對學習內容進行“結構化”設計尤為重要：給學生創設具有適度挑戰性的問題情境，借助題組練習帶領學生走好數學學習過程中關鍵的每一步，教師有結構地教，學生有關聯地學，才能幫助學生豐富感知、加深理解，從而提高數學解題能力。