基于深度理解 發展數學思維
——淺析數學教師對教材有效利用和開發能力的提升

江蘇省宜興市實驗小學 周美琴

小學數學教材是編寫者根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求，結合數學學習的特點和學生的認知規律精心編寫的。它是小學數學課程標準的具體化，也是實現小學數學教育目標的重要工具。教材是教師和學生的通用讀本，串聯起教師的教與學生的學，使知識授受活動變得有章可循、有據可依，具有工具性、權威性、系統性等特點。但同時，教材受眾較多，不同地區、不同性格特質對教材有著不同的需求。因此，既會充分利用教材，又會合理開發教材，成為教師的基本能力。這不僅要求教師對概念等新授知識有自己的理解和引申，還應對習題有深度發掘，使學生有意義、有深度地學習，努力使學生成為思考領域的勞動者，逐步發展學生的數學思維和數學素養。

一、在“調整”中深度理解，發展數學思維

教材給定的內容和結構固然有其科學性，但是教材使用不是狹義的就事論事、照本宣科，而應是置于學生知識發展和能力提高上的靈活使用。站在不同的視角，根據學生實際情況適當調整知識呈現與思維線索的順序，有時能給你不一樣的驚喜。

如蘇教版數學五年級下冊“圓的周長”一課，按照教材的編寫順序，教學圓的周長，主要通過“猜想—驗證—應用”的線索，讓學生經歷操作、推理、推導等過程，有意義地獲得圓周率的意義，理解圓周長的計算方法。那么，基于學生的實際情況，在發展學生數學思維方面，看哪些地方值得我們向更深層處發掘呢？圓周率得出的過程顯然有更深的研究價值。

深度理解、發掘教材，站在學生的立場，圓周率的得出具有高度的抽象性、概括性和微觀性。這就決定了圓周率的得出不只是靠教師“講”出來的，而是學生可以通過探究體驗和理解，加以證據推理、思考建構出來的。作為引導者，有必要引導學生進行謹慎的推理和嚴密的驗證，讓推理論證過程更主動、更有說服力，驅動學生對“圓周率”這一知識的形成過程理解和記憶更深刻。帶著這樣的思考與嘗試，筆者對本課進行了調整實踐。

調整后的教學把核心定在了學生的突出需求上——“怎樣推理驗證圓周長與直徑的倍數關系”，調整后的設計著重帶領學生經歷祖先們研究圓周率的精彩過程，而這個過程需要引入學生比較熟悉的圖形來幫助他們有邏輯性而全面地進行論證，逐步縮小倍數的范圍。調整后的教學把選擇權交給學生，選擇什么樣的圖形與圓對比、排除哪一種倍數關系，這都由學生自主完成。經過“內部、外部、內外夾擊”一系列直觀的感知、理性的推理、嚴密的論證，學生的思維駛向了更深處：圓周長與直徑的倍數關系范圍會更小，最終會到達一個準確的倍數關系，那就是“π”。至此，圓周率的得出水到渠成，而“周三徑一”“割圓術”等數學文化的滲透也是無痕而深刻的。

發掘概念得出的深度，可以更進一步關注到知識的內在形成過程，遵循兒童認知規律，培養學生邏輯思維，而不僅僅停留在“知道”這一層面。這樣的過程帶給學生的是思維的深入和嚴謹，體會到的是數學的理性和美妙，對探究數學知識、解決實際問題、提升數學素養都是非常有意義的。

二、在“變化”中深刻理解，發展數學思維

習題是數學教學的重要內容，在教材中占有很大的比重，它不僅是學生掌握基本知識和基本技能訓練、鞏固、提升的載體，更是對零碎的數學知識的歸納和延展，從而提高學生的數學思維能力和數學素養。作為教師，需要在教材習題的運用上動心思、尋創新，需要創造性地開發并利用好教材的習題，在領會教材習題編寫意圖的同時，適當地對習題進行合理的改編，或以本源習題為參照進行合理創編，使本源習題煥發出新的生命力。

（一）讀題千遍不厭倦——讀懂教材習題的內涵與外延

教材的一般編排，新授內容與隨堂練習的比例約為1∶1，再加上一些整理復習的練習，從篇幅來講，練習會占到55%~60%，因此，讀懂教材中的練習，理清教材習題的價值功能非常重要。我們一般應該將教材中的習題都做一遍，不僅僅是做出答案，更要重視理清教材的編寫意圖，琢磨習題中蘊涵的解決問題的策略和數學思想方法，還要連貫地來看前后習題之間的聯系，哪些習題是哪道題的變式題，它變在哪兒；哪些習題是哪道題的拓展延伸題，拓展的點又是什么。很多有經驗的教師通常會這樣做——在習題旁把這道題的答案標注出來，講解這道題的幾種解題方法；或者在原題附近寫下類型相似的補充題進行對比練習；或者把原題的數據改一改，強化這道題的解題方法。

最應該做的是提取這道題的主要解題策略，展開遷移，進行拓展、延伸、變式，或者根據前后幾道題的對比，對同一個類型的題進行對比整理、系統總結，讓學生把分散的知識點串聯成線，提高學生從會解一道題到會解一類題的能力。以六年級下冊“圓柱與圓錐”這個單元為例：圓柱的三維視圖與側面展開圖有什么區別？把圓柱的側面剪開，會得到什么圖形？它們與圓柱各有什么聯系？與其相對比，用長方形的紙圍成一個圓柱，長方形紙與圓柱又有什么聯系？

基本上每一個單元結束時，都需要運用對比的手段，幫助學生把一些書本的基礎知識進行歸納整理和鞏固提升，以提高學生整理歸納的學習能力，培養學生發散思維。例如，學習了分數乘法以后，有這樣一道思考題：

這是由五年級課本上的思考題進行延伸的一道題，單看題目，發現規律、舉例驗證、運用規律似乎并不難，但這道題的改編與創編其實非常豐富，如可以把連加改成連減，雙數改成單數，呈現的形式也可以發生變化。這一系列的改編與創編都是牢牢抓住了這道題最基本的規律和方法來進行發散和拓展的。

（二）掀起題的“蓋頭”來——重視教材習題的開發和延伸

在教學過程中，教師們常會忽視教材中“動手做”板塊的深度思考，或是蜻蜓點水般地點到為止，或是壓根就忽略不講。如果真正深入地去研究“動手做”內容，就會發現其中所蘊含的知識量讓人驚訝。比如蘇教版數學六年級上冊第83頁的“動手做”（見下圖）：

初看這題，舉個例子—初步猜想—多方驗證—得出結論這樣一個常規的路線是教師的首選，有啥更值得研究的呢？但是，當和學生一起研究這道題的方法時，會發現方法豐富多樣且各有優劣：

1.畫圖法直觀但局限

如果是長（或寬）不變，寬（或長）增加或減少，或者是長和寬同時在增加或減少，畫圖的方法也會非常具象，比如上述題目的前一個問題，用畫圖的方法一目了然。但如果是長（或寬）增加，寬（或長）減少，畫圖的方法對于學生來說就有些困難了，而且，相對于其他方法來說，畫圖法也比較費時。

2.列舉法具體但煩瑣

一個例子解決一個問題，換一個問題需要重新舉一個例子，但如果把題中的數據改一改，就得重新再進行列舉，才能得到結果。這樣的論證過程具體但煩瑣。

3.推理法思維含量高且使用范圍廣

用字母a、b表示長方形原來的長與寬，可以得到如下式子：

學生有了多次運用這種方法的經驗后會發現，只要是求新長方形的面積是原來長方形面積的幾分之幾，只需要用即可。

各種方法的較量，正是培養學生嚴密論證意識、提升思維能力的最佳途徑。比較、歸納等方法的滲透，思維的碰撞，會讓學生熱血沸騰，從而更深入地研究。不難發現，它其實與積的變化規律的本質是一樣的：

找到這樣的一條主線，就從一道題發散到了一類題，甚至可以打破知識板塊之間的壁壘，延伸到常用的數量關系里去，延伸到實際的解決問題里去。

看，從如何引入，找到這道題主要知識的生長點，到這道題的講解層次，最后到變式的梯度、拓展的深度，方方面面細致考慮，一道“動手做”的題多么富有研究的價值呀！而且，對“動手做”內容的研究，也會為我們改編和創編命題提供非常好的素材。

教材給我們提供了明確的主題，它也給教師提供了一種提綱挈領似的宏觀視角，而教師應該通過深入研究、深度理解、大膽實踐，盡可能地把教材中較為“隱性”的知識凸顯出來，尤其是隱含的數量關系、數學方法和數學思想，從而幫助學生更好地發展數學思維，也能更好地發揮數學的價值功能，從而進一步提升學生的數學素養。