數形結合的解題策略

李標

數學是研究數量關系和空間形式的科學。“數”和“形”作為數學兩大主要研究對象，它們的辯證統一貫穿數學發展的主線。《義務教育數學課程標準（2011年版）》突出體現了數感、符號意識、運算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀等十項核心概念，其中幾何直觀就是數形結合思維。“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合將數量關系和空間形式有機結合起來，成為小學數學解題的重要思維。

一、小學數學數形結合的教學意義

（一）有利于培養學生數學素養

數形結合是中小學生必備的數學素養之一。數形結合內化為學生的素養，能夠使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化。通過數形結合，學生可以多層次、多角度地思考問題，從而培養良好的數學思維。小學生抽象思維的培養基本依賴數學學習，通過數形結合，小學生從形象思維向抽象思維有機過渡，并為培養邏輯辯證思維奠定基礎。

（二）有利于提高數學課堂活力

利用數形結合能有效拓寬學生學習思路，促進課堂氛圍的活躍，提高學生學習數學的主動性和積極性。小學生的思維正由形象思維向抽象思維過渡，形象思維雖然直觀，但有時無法解釋數學規律的嚴謹和邏輯。抽象思維雖然更顯深度，但對學生的思維要求較高。在小學數學課上，過多利用形象思維會導致課堂缺少深度，過多利用抽象思維則讓課堂缺少熱度。因此，有效的數形結合讓數學課堂的深度和熱度兼備。

（三）有利于培養學生解題能力

計算和解題貫穿小學數學的全過程，利用數形結合來描述問題和分析問題，把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索出解決問題的思路，預測結果。學生通過運用數形結合方法對題目進行解析，化抽象為直觀，簡化解題過程，快速找到解題方法，從而提升解題能力。

二、小學數學數形結合的解題策略

（一）以圖解意：讓解題思路更直觀

以圖解意，利用幾何直觀將一些數學概念與數理關系由抽象變為具體。數學概念的建立，以及數學解題的計算到處需要圖形轉換。小學低年級認識自然數、整數、分數及加減乘除的運算，蘇教版教材幾乎都有直觀圖形來進行展示，以幫助學生盡快地理解抽象概念。形象生動的“圖”能將枯燥的數學理論的“意”有趣、直觀地解釋出來，進而引導小學生對數學進行探索發現，從感到數學枯燥到對數學感興趣再到形成數學學習與解題的內生動力。以圖解意降低了小學生解題的困難度，將抽象的要求變為直觀的圖形，使形象思維占主導的小學生能更好地理解題意，形成思路并準確解答。

例如，筆者曾在教學蘇教版小學六年級“分數的計算”時設計了一道這樣的數學題：

例1：小明從家騎自行車前往學校，當騎行到總路程的時，距離學校還有3千米。請問，小明家到學校的距離是多少千米？

這道題看似簡單，但在解答過程中卻出現了2個答案。其中一個答案為“x=3，x=12”，另一個為“（1-）x=3，x=4”。不難發現，由于部分學生未能把握其中的空間觀念和數量關系，因此很容易列錯方程式，得出總路程為12千米這一錯誤答案。如果學生能夠在解題過程中用線段圖示的形式將題意表達清楚，就能夠避免類似的錯誤。

（二）用數釋圖：讓解題思路更直接

用數釋圖是指利用數的準確性、邏輯性將復雜圖形數學化，從而使下一步的分析計算更簡明直接。小學生在解題時借助用數釋圖的方法，其基本過程首先是根據題干意思對復雜圖形進行分析，然后以已學數學公式及定理對圖形進行數學表達并解答問題。這種方法主要運用于小學數學中幾何圖形的周長、面積、體積的計算。

例如，在蘇教版小學三年級下冊“長方形和正方形的面積計算”內容中，有這樣一道題：

例2：下圖中每個小方格代表1平方厘米。你能說出圖中陰影部分的面積嗎？

小學三年級的學生思維水平已經有了很大的發展，但最初遇到這種不規則的圖形時，部分學生還是無從下手。如何讓學生的解題思路更直接呢？此時可以這樣點撥學生：這個看似不規則的圖形，如果將它分解成我們熟悉的正方形和三角形，是不是就容易多了呢？在這樣的點撥下，學生利用已學的計算面積公式，馬上得出以下結果：

方法①：1×8+（1×2）×2+（2×2）×2=14

方法②：1×10+（1×2）×2+（1×1）×4=14

…………

（三）數形結合：讓解題思維更突出

數形結合是綜合以圖解意和用數釋圖的雙重方法，綜合題目中的數量和圖形關系，使數形有機結合。該方法利用圖的簡明直觀和數的邏輯嚴謹，將復雜問題簡易化，從而大幅度提高了學生的解題效率。

例如，在教學蘇教版三年級上冊“分數的初步認識”這節課時，筆者設計了一道這樣的題：

例3：小明的爺爺今天過生日，爸爸買來一個蛋糕，平均切成了10塊，小明吃了其中4塊，問：①小明吃了蛋糕的幾分之幾？②把剩下的蛋糕平均分給爺爺、爸爸和媽媽，他們每人能吃幾塊？爺爺和小明誰分到的蛋糕多？

在這一道題中，學生剛開始接觸分數，第一問是基礎題，很好回答。但對于第二問，如果直接用分數除以整數再計算，學生基本解答不出來。如果點撥學生用數形結合的辦法將蛋糕畫出來并進行均分，第二問就能快速地解答出來了，而且學生的思維也能得到激活，很容易達到學習的“最近發展區”。

小學階段是解題思維塑造的關鍵時期，而數形結合就是將抽象的數量關系圖形化，圖形的內容數量化，從而讓解題思路更加清晰和直觀。這不僅有助于學生數學學習興趣的培養，更有利于學生數學素養的積淀。

（責編 馬孟賢）