常微分方程在電子信息專(zhuān)業(yè)中的教學(xué)案例探析

鄧瑾

[摘? ? ? ? ? ?要]? 常微分方程的理論體系嚴(yán)謹(jǐn)且抽象，又是高職工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生重要的學(xué)習(xí)工具。在日常教學(xué)中，只有緊密聯(lián)系學(xué)生的專(zhuān)業(yè)實(shí)際，選取合適的教學(xué)案例，才能為學(xué)生的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)，提高他們分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。結(jié)合湖南信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)實(shí)際，探究了常微分方程的教學(xué)實(shí)例。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 常微分方程;電子信息;教學(xué)案例

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G712? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）14-0168-02

一、引言

微分方程是應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要組成部分，廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，如在人口模型、傳染病模型、天氣預(yù)報(bào)模型等方面，都起著舉足輕重的作用。高職工科專(zhuān)業(yè)中的自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)等，都與微分方程有關(guān)。

我院電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程如電工電子技術(shù)、模擬電子技術(shù)、數(shù)字電路等都需要用到大量的常微分方程知識(shí)，根據(jù)高職數(shù)學(xué)“服務(wù)專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)”的性質(zhì)，我們的課堂教學(xué)案例需要對(duì)接專(zhuān)業(yè)內(nèi)容，從專(zhuān)業(yè)實(shí)際出發(fā)，這樣學(xué)生才能更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，因此在“常微分方程”教學(xué)中融入實(shí)際案例非常必要且意義重大。

二、 教學(xué)案例探析

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，對(duì)基本概念掌握比較扎實(shí)的話，能夠?yàn)楹罄m(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，在介紹常微分方程通解和特解的基本概念時(shí)，我們可以引用如下RLC串聯(lián)電路問(wèn)題。

案例1：一個(gè)由電阻R、電感L、電容C串聯(lián)組成的簡(jiǎn)單閉合電路，如果在某一時(shí)刻將電容器充電使它得到一個(gè)電位差，然后斷開(kāi)電源，在電感的作用下這個(gè)閉合電路中開(kāi)始了電流振蕩，試建立電容器兩極間的電位差和實(shí)踐之間關(guān)系的微分方程。

分析講解：首先，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言重述這個(gè)專(zhuān)業(yè)問(wèn)題：用Q（t） 表示在時(shí)刻t 電容器上的電量，C 表示電容器的電容，v（t） 表示在時(shí)刻t 電容器兩極間的電位差，R 表示電阻的阻值，L 表示電感的電感系數(shù)。

其次，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該問(wèn)題作出合理的假設(shè)：如忽略電感中的電阻，忽略電阻中的電感效應(yīng)，忽略線路中的電阻，認(rèn)為電容器兩極間沒(méi)有電流。

學(xué)生是電子專(zhuān)業(yè)，對(duì)電學(xué)原理——“總電動(dòng)勢(shì)等于電容器的電位差和電感電動(dòng)勢(shì)的總和”是熟悉的，所以可以提示學(xué)生據(jù)此列出表達(dá)式：

如果我們能根據(jù)以上條件，求出v（t）的表達(dá)式，即時(shí)刻t電容器兩極間的電位差，就得到了電路的振蕩規(guī)律。雖然這是一個(gè)抽象函數(shù)表達(dá)式，但是其中的專(zhuān)業(yè)背景比較明確，所以學(xué)生能理解。

常微分方程理論中有一個(gè)很重要的解法，叫“常數(shù)變易法”，它主要用于求一階線性非齊次微分方程的通解。教師在分析清楚其中原理后，更多地需要通過(guò)專(zhuān)業(yè)實(shí)際來(lái)引導(dǎo)學(xué)生感悟該方法的應(yīng)用價(jià)值。這時(shí)，可以講解這樣的RC電路問(wèn)題。

案例2：（RC電路）在一個(gè)含有電阻R（單位：Ω）、電容C（單位：F）和電源E（單位：V）的RC串聯(lián)回路中，由回路電流定律，知電容上的電量q（單位：C）滿足以下微分方程：

若回路中有電源400cos2t（V），電阻100Ω，電容0.01F，電容上沒(méi)有初始電量。求在任意時(shí)刻t電路中的電流。

問(wèn)題分析：要求任意時(shí)刻電路中的電流，需要先知道任意時(shí)刻電路中的電量q，因此第一步，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意建立關(guān)于電量q的微分方程模型。

高職院校培養(yǎng)的不是高深的理論人才，而是手腦并用的技能型人才，因此我院數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，開(kāi)設(shè)了Matlab數(shù)學(xué)實(shí)訓(xùn)，將學(xué)生從煩瑣的計(jì)算中解脫出來(lái)。在介紹Matlab求解二階微分方程時(shí)，可以引用如下案例。

案例3：（RLC電路分析）一個(gè)RLC串聯(lián)回路由電阻R=180 Ω，電容C=1/280 F，電感L=20 H和電源E（t）=10sint V構(gòu)成，假設(shè)在初始時(shí)刻t=0，電容上沒(méi)有電量，電流是1 A，求任意時(shí)刻電容上的電量所滿足的微分方程。

問(wèn)題分析：首先，明確問(wèn)題需要知道的是電量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，可設(shè)為Q=Q（t），然后作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)：假設(shè)整個(gè)回路電阻沒(méi)有電壓損耗;電容忽略感抗，電感忽略容抗。

三、結(jié)語(yǔ)

上述案例是常微分方程在電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。通過(guò)這樣的教學(xué)，使學(xué)生了解該知識(shí)在專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用。實(shí)際上，我們還可以拓展知識(shí)面，引入生活案例或其他領(lǐng)域問(wèn)題來(lái)講授，如單種群指數(shù)生長(zhǎng)的微分方程模型、經(jīng)濟(jì)學(xué)中市場(chǎng)價(jià)格模型、減肥問(wèn)題模型等。把實(shí)際生產(chǎn)生活問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的同時(shí)，還提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，也在一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

編輯 馬燕萍