函數與幾何聯姻的中考題

方震軍

在函數背景中嵌入幾何圖形，將函數與幾何聯姻，形成新穎的綜合題，是中考命題的一個熱點.下面以2020年中考題為例，介紹這類問題的類型與解法.

一、一次函數與幾何聯姻

例1（2020·黑龍江·哈爾濱）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線AB與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點B，OA=OB，過點A作x軸的垂線與過點O的直線相交于點C，直線OC的解析式為[y=34x]，過點C作CM⊥y軸，垂足為M，OM=9.

（1）如圖1，求直線AB的解析式.

（2）如圖2，點N在線段MC上，連接ON，點P在線段ON上，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，交OC于點E.若NC=OM，求[PEOD]的值.

解析：（1）∵CM⊥y軸，OM = 9，∴點C縱坐標為9，∴C（12，9）.∵CA⊥x軸，∴A（12，0），∴OB = OA =12，則B（0，-12），可求得直線AB的解析式為y=x - 12.

（2） 由（1）可得∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四邊形MOAC為矩形，∴MC=OA=12. ∵NC=OM，∴NC=9，∴MN=3，∴N（3，9），易求得直線ON的解析式為y=3x. ∵PD⊥x軸交OC于點E，設E點橫坐標為4a，∴D（4a，0），E（4a，3a），∴DE=3a，P（4a，12a），∴PD=12a，∴PE=PD-ED=9a，∴[PEOD] = [94].

點評：本題以一次函數為背景，將矩形、直角三角形等嵌入其中，考查一次函數、矩形的判定與性質、直角三角形的性質等知識，熟悉并靈活運用這些幾何知識是解題的關鍵.

二、二次函數與幾何聯姻

例2（2020·青海）如圖3，拋物線[y=-12x2+bx+c]經過B，D兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）設拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積.

（3）設點Q在y軸上，點P在拋物線上. 要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標.

解析：（1）拋物線的解析式為[y=-12x2+x+32].

（2）∵[y=-12x2+x+32=-12（x-1）2+2]，∴點M的坐標為（1，2）. 令y = 0，解得[x1] [=-1]，[x2=3]，∴A（[-1]，0）;易知C [0，32]，∴OA = 1，OC = [32]，過點M作ME⊥AB于點E，如圖4，∴[ME=2]，[OE=1]，[BE=2]，

∴[S四邊形ABMC=12×1×32+12×32+2×1+12×2×2=34+74+] 2 [=92].

（3）根據題意，點Q在y軸上，則設點Q為（0，y），∵點P在拋物線上，且以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，如圖5，可分為三種情況：①AB為對角線時，則[P1Q1]為對角線.由平行四邊形的性質，得點E為AB和[P1Q1]的中點，∵E為（1，0），點Q1為（0，y），∴點P1的橫坐標為2，將[x=2]代入[y=-12x2+x+32]，得[y=32]，∴點[P1] [2，32];②當BQ2是對角線時，AP2也是對角線.∵點B（3，0），點Q2（0，y），∴BQ2中點的橫坐標為[32]. ∵點A為（[-1]，0），∴點P2的橫坐標為4，將[x=4]代入[y=-12x2+x+32]，得[y=-52]，∴點P2的坐標為[4，- 52];③當AQ3為對角線時，∵P3 Q3 = AB = 4，∴點P3的橫坐標為[-4]，將[x=-4]代入[y=-12x2+x+32]，∴[y=-212]，∴點P3的坐標為[-4，-212] .

綜上所述，點P的坐標為 [2，32]或[4，- 52]或[-4，-212].

點評：本題以二次函數為背景，將四邊形和平行四邊形嵌入其中，考查二次函數的性質，平行四邊形的性質，一元二次方程、四邊形面積的計算以及坐標與圖形等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數和平行四邊形的性質，注意運用分類討論和數形結合的思想進行分析.

（作者單位：江蘇省南通中學附屬實驗學校）