攻克一類含參絕對值函數(shù)最值問題中分類討論的難關

函數(shù)最值問題歷來是高考的熱點問題，縱觀近年來各地的高考、模考試題，筆者發(fā)現(xiàn)，形如“f（x）=g（x）+（kx+b）x-a（g（x）為不超過二次的整式函數(shù)，k，b不全為零）”的二次型含參絕對值函數(shù)的最值問題正悄然興起. 由于這類函數(shù)帶有絕對值，且有參數(shù)在內“攪局”，因此多數(shù)學生感到迷霧重重、頭緒紛亂，不知該如何找到問題的突破口. 顯然，分類討論、作圖觀察是解決含參函數(shù)最值問題的有效途徑，但對于這類函數(shù)而言，我們該如何理清函數(shù)作圖的頭緒、破解分類討論的迷局？本文就此問題進行探究.

破解策略

我們知道，函數(shù)y=f（x）（x∈D）的最值只能在其極值點（該點附近兩側的單調性相反）或區(qū)間D的端點（當端點為閉時）處取得. 從函數(shù)圖象上看，函數(shù)的最大（小）值是圖象最高（低）點的縱坐標. 換言之，只要能作出函數(shù)在定義域內的圖象，則其最值情況就將一目了然. 然而，函數(shù)作圖的依據是什么呢？顯然是要了解函數(shù)的極值點是否在其的定義域內. 筆者探究發(fā)現(xiàn)，判斷極值點是否在定義域內，最簡明的方法就是將極值點與區(qū)間端點進行排序（比較大小），一旦明確這種排序，就可作出大致圖象（僅關注單調性）. 然而，對于本題中這類含參絕對值函數(shù)（其極值點可能與參數(shù)有關）而言，我們該如何將極值點與區(qū)間端點進行排序？這就需要進行分類討論（分類討論思想正是在這一背景下應運而生，它首先服務于排序，最終服務于作圖）. 具體操作流程可按以下“路線圖”進行：去除絕對值→求出極值點→確定討論點→劃分討論段→排序極值點→作出定義圖.

（1）去除絕對值——以x-a的零點a為界（稱a為“界點”），將函數(shù)f（x）=g（x）+（kx+b）x-a寫成分段函數(shù)：f（x）=h1（x），x≥a，h2（x），x

（2）求出極值點——設二次函數(shù)h1（x），h2（x）的對稱軸分別為x1，x2，則x1，x2顯然可能是f（x）的極值點. 而由“連體函數(shù)”的圖象特征知，“界點”a也有可能是極值點.因此，函數(shù)f（x）最多會有三個極值點（即x1，x2，a只是f（x）的可能極值點）.

（3）確定討論點——設函數(shù)f（x）的定義域D=[m，n]（m

（4）劃分討論段——設方程x1=x2，x1=a，x2=a的根（討論點）分別為a1，a2，a3（設a1≤a2≤a3），將其插入于參數(shù)a的允許范圍（設a∈R）之內，即可獲得參數(shù)a的不同分段區(qū)間：（-∞，a1]，（a1，a2]，（a2，a3]，（a3，+∞），它們即為參數(shù)a的分類討論段.

（5）排序極值點——通過對上述區(qū)間的分段討論，即可對x1，x2，a的大小進行排序. 顯然，不同討論段內的排序也不同.

（6）作出定義圖——根據x1，x2，a的每一排序，在直角坐標系下依次作三條虛線：x=x1，x=x2，x=a，然后分別作函數(shù)y=h1（x）（x≥a），y=h2（x）（x

應用舉例

例1 （2015年·廣東卷（文）改編）設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x-a）2+x-a-a（a-1），x∈R，求f（x）的單調區(qū)間及最小值.

解 易知f（x）=x2-（2a-1）x，x≥a，x2-（2a+1）x+2a，x

例2 （2009年·江蘇卷（理）改編）設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）x-a，x∈R，求f（x）的最小值.

解 易知f（x）=3x2-2ax+a2，x≥a，x2+2ax-a2，x

點評 例1中，極值點的大小關系已定，故無需討論（不存在討論點）；而例2中，極值點的大小關系未定，故必須討論（存在討論點）. 另外，由于例1、例2中函數(shù)的定義域都為R，故作圖后直接觀察圖象，即可獲知最值.

例3 （2015年·浙江大聯(lián)考8（理）改編）設a為實數(shù)，求函數(shù)f（x）=xx-a+2a-8在[4，+∞）上的最小值.

解 易知f（x）=x2-ax+2a-8，x≥a，-x2+ax+2a-8，x0，所以f（x）min=f（a）=2a-8；②當<4≤a，即4≤a<8時，由圖象知， f（x）在[4，a]上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增，所以f（x）min=f（a）=2a-8；③當0≤a<4時，由圖象知， f（x）在[4，+∞）上單調遞增，所以f（x）min=f（4）=8-2a. （2）當a<0時，排序極值點得，a<，此時f（x）的大致圖象如圖5. 所以f（x）在[4，+∞）上單調遞增，所以f（x）min=f（4）=8-2a.

綜上， f（x）min=2a-8，a≥4，8-2a，a<4.

點評 與例1、例2不同的是，例3中函數(shù)的定義域不再是全體實數(shù)，此時作函數(shù)在定義域內的圖象，可分兩步進行：（1）先作出函數(shù)在全體實數(shù)上的圖象（僅對極值點排序后作圖）；（2）再截取圖象在定義域內的“片段”（由于函數(shù)圖象與定義域的位置是相對的，先給出定義域考慮圖象，與先畫圖象考慮定義域，這兩種方法在具體作圖時都是可行的，但前者要平移圖象，而后者僅需平移區(qū)間，所以相對而言后者更易）.

綜上，本文通過分類討論、作圖觀察的方法，詳細闡述了函數(shù)f（x）=g（x）+（kx+b）x-a最值問題的解題思路和操作步驟（可為其他含參最值問題提供借鑒），理清了函數(shù)作圖的頭緒——排序極值點，破解了分類討論的迷局——考慮如何排序極值點. 其思路是清晰明了的，其操作也是簡單易行的.