波利亞“怎樣解題”理論指導下的一次教學實踐

胡宇

摘要：培養(yǎng)學生解題能力是數學教育的核心，也是貫穿于教學始終的一項基本任務。本文以一道經典的“線段和的最小值問題”為例，展示了波利亞“怎樣解題”理論中“弄清問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧反思”四個步驟。從核心素養(yǎng)培養(yǎng)的視角來看，在數學教學中貫徹波利亞“怎樣解題”理論，有助于學生學會用數學的眼光發(fā)現問題并提出問題，用數學的思維分析問題，用數學的語言表達問題并解決問題，從而進一步理解其數學本質。

關鍵詞：弄清問題? 擬訂計劃? 實現計劃? 回顧反思

解題即解決問題，是數學教學活動的核心。波利亞“怎樣解題”理論把解題過程分成四個步驟，即弄清問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧反思，每一個步驟分別由多個具體的子部分組成。這一理論注重引導學生首先弄清問題，分析條件和結論，接著擬訂計劃，探索條件和結論之間的聯系，最后實現計劃，及時回顧反思，并嘗試改變條件或結論，將問題推廣，從而使學生進一步理解其數學本質。

筆者結合校內教研課例《線段和的最小值問題》，基于波利亞“怎樣解題”理論指導下的一次初中數學課堂教學實踐活動，談一談自己的一些思考。

一、問題呈現

如圖1，∠MON=30°，點A，C分別是邊ON，OM上的動點，點B在ON上，OB=2，求AC+BC的最小值。

本題屬于平面幾何中線段和的最小值問題，對于初中生來說是棘手問題之一，也是中考數學命題熱點之一。此類問題經常出現于各省市中考試題中，出題主要有角、三角形、四邊形、圓、函數等，基本解題思路是：注意觀察動點的運動規(guī)律或存在的特殊位置，可以先把一個動點看作定點，化“動”為“靜”;然后找出定點關于直線的對稱點，通過對稱化“折”為“直”，化“散”為“集”;再與勾股定理聯系在一起，求出線段的長;依據垂線段最短，進而得到線段和的最小值。

二、教學實錄

活動1 弄清問題

師：題目已知什么，求什么？

生1：已知∠MON=30°，點A、點C是動點，OB=2。

生2：求AC+BC的最小值。

師：求線段的最小值，也就是最值問題，以前我們有過這樣的解題經歷嗎？是利用什么解決的？

生1：兩點之間線段最短。

生2：垂線段最短。

生2：利用最短路徑求解，如圖2所示。

活動2 擬訂計劃

師：我們進行怎樣的轉化，利用它們就能求出AC+BC的最小值呢？

師：點A、點C都是動點，可不可以先把一個點固定，讓另一個點為動點？

生1：固定點C。

生2：固定點A。

學生思考，分小組合作、交流，制訂解決方案，教師巡視指導。

活動3 實現計劃

生：固定點C，如圖3所示。

師：此時BC長固定，要使AC+BC的值最小，需要AC長最小即可，怎么辦？

生：過點C作ON的垂線段CA。

師：按照這個思路，C點變化，BC+AC的值也發(fā)生變化嗎？

生1：變化。

生2：BC與OM垂直時，AC+BC的值最小。

師：這種情況下AC+BC的值最小嗎？

生：不一定。

師：下面，我們換另一個點A，再試著思考。

生1：固定點A，如圖4所示。

生2：轉化為最短路徑問題了。

師：我們現在可以解決問題嗎？

生：作A點關于直線OM的對稱點A′，連接BA′，與OM交于C點，連接AC，AC+BC的值最小。

師：A點其實是一個動點，這種做法能不能進行改進？

生：作B點關于直線OM的對稱點就可以了。

師：是的，如圖4右圖，AC+BC的值就是B′A的長。想一想什么情況下它的值最小。

生：B′A與OB垂直時最小。

師：你能算出這個值嗎？

生：利用勾股定理，可得3。

活動4 回顧反思

師：請重新敘述題目已知什么和求什么，是怎樣計算出結果的。

生：……

師：本節(jié)課，我們學習了哪些數學知識和數學思想方法？

生1：利用數學基本事實和最短路徑模型求出線段和的最小值。

生2：轉化思想、模型思想。

師：把這個問題進行變形，能不能求出BC+AB或AC+BC+AB的最小值？同學們接著進行思考和總結。

生：……

三、幾點思考

（一）以生為本，注重探究

對于當前的基礎教育，專家強調：教師要立足教材，還原課堂的本色，展現學生的個性，關注學生人格的養(yǎng)成，讓學生充分發(fā)揮自己的主動性和能動性。可見，我們的課堂教學應該回歸本真，力求簡潔和實效。本節(jié)課僅安排了一個主要問題，充分詮釋了這一理念。教師開門見山地出示問題，以問題為載體，從學生已經掌握的數學知識和經驗出發(fā)，引導學生從待求問題聯想到最短路徑幾何模型，運用數學公理“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”，依據模型化動為靜，再聯系勾股定理求出線段的長，從而得到線段和的最小值。在“分析問題”教學過程中，學生結合已經掌握的數學知識和經驗、思維和靈感參與課堂活動全過程，嘗試畫一畫、議一議、做一做。教師引導每一位學生動腦、動手、動口，進行展示與交流。一系列的探究交流活動，讓學生主動思考與討論，交流收獲與體會，逐步感悟數學思想方法，積累數學活動經驗。

（二）經歷過程，關注生成

“生成”是課程改革倡導的一個重要的教學理念。數學教師的任務不僅僅是教給學生數學知識，更重要的是培養(yǎng)學生的思維能力，使其感悟數學知識的生成過程，讓枯燥的數學知識變得鮮活。本節(jié)課教師首先引導學生明確題目已知什么、待求什么，讓學生養(yǎng)成“聚焦”“標注”關鍵條件的審題習慣。然后讓學生分組合作、交流討論，擬訂解決方案。教師引導學生明確解題思路，根據“有什么”，確定“要什么”，把握“做什么”。接著學生實行計劃，給出解題過程，若過程中出錯或思維受阻，及時進行方案或計劃的調整，并檢驗每一步保證都正確，直到問題解決。最后學生回顧反思，從知識、思想、方法、基本模型、解題策略等角度進行總結，明確問題本質，并思考其他解法（即一題多解），同時學生從條件、結論入手，延伸、改編問題，或提出新問題（即一題多變，多題歸一）。在“解決問題”教學過程中，既有解決問題前的分析——弄清條件與結論，明確解決思路，又有解決問題后的反思——積淀轉化問題的數學活動經驗，感悟問題中蘊含的數學思想方法和核心素養(yǎng)。既有教師引導下學生的思考與交流，又有教師的經典性評析。這一過程極大地促進了學生數學能力的提高。

（三）促進發(fā)展，落實素養(yǎng)

《義務教育數學課程標準（2011年版）》把問題解決作為課程目標之一，并指出：要使學生獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。數學解題是數學學習中的核心活動，是數學思維的實質化，解題的核心價值就是運用數學知識。解題教學如果僅限于教會學生解課堂上的題目，不能舉一反三，學生就會陷入茫茫題海，導致思維固化，漸漸失去學習數學的興趣。根據波利亞“怎樣解題”理論，只有引導學生深入了解問題中的已知條件，分析已知條件和待求結論的內在聯系，把握解決問題的關鍵所在，才能把握每一類數學問題的本質。教學中，教師不能只關注題目的結果，更應該了解學生的思維方式和思路的形成過程。學生在解決問題的每一次思維過程中，不斷體驗基本數學活動經驗，獲得基本數學思想方法，發(fā)展綜合能力。

波利亞“怎樣解題”理論在數學教材中并沒有明顯地呈現出來，但在大多數情況下，它隱含于數學知識和問題解決的過程中，需要教師不斷地進行提煉和概括。在課堂教學中，教師應當設計有效的數學活動，引導學生提煉問題情境，檢索數學知識，激活解題思路，不斷地反思解題過程。在解決問題的過程中，既培養(yǎng)學生良好的思維習慣，使其學會學習的技能，理解數學知識的本質，又給學生提供可應用于其他學科的推理方法，培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，從而促進學生的全面發(fā)展。

參考文獻：

[1]G.波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007年.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.