基于自適應免疫-最小一乘算法的生物電阻抗特征參數(shù)提取

黃經(jīng)緯，曹樂，闞秀，李敏

上海工程技術大學電子電氣工程學院，上海201620

前言

生物阻抗特性是指生物組織的電學參數(shù)（電阻值和電容值）隨著加載激勵電信號頻率的變化而發(fā)生顯著變化［1］。近年來生物電阻抗技術發(fā)展迅速，目前已廣泛應用于早期疾病診斷、生物組織液檢測和生理狀態(tài)評估等領域［2-5］。為了更好地研究生物阻抗，Cole等［6-7］建立了生物阻抗特征方程，即Cole-Cole方程，并提出4 個生物組織特征參數(shù)（Cole-Cole 參數(shù)）。隨后，越來越多的研究者投入到提取Cole-Cole參數(shù)的工作中［8-11］，目前最常用的方式是通過擬合Cole-Cole 圓弧間接提取。Macdonald 等［12］首次將非線性最小二乘法（LS）用于Cole-Cole 參數(shù)的提取。Chen 等［13-14］采用Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法降低了算法復雜度，同時利用最小一乘法（LAD）提取Cole-Cole參數(shù)，并與LS算法的提取結果進行對比，結果表明當含有多種誤差數(shù)據(jù)時，LAD算法可以獲得更為準確的Cole-Cole 參數(shù)。Gholami-Boroujeny 等［15］將細菌覓食算法（BFO）與LAD 算法結合，將參數(shù)擬合問題轉化為參數(shù)值的組合問題，規(guī)避了BFGS 中近似Hessian 矩陣的求解，進一步簡化了算法。受生物免疫系統(tǒng)的啟發(fā)，免疫算法作為一種新型智能搜索算法被提出。近年來，免疫算法已廣泛應用于非線性最優(yōu)化、組合優(yōu)化、控制工程、機器人、故障診斷、圖形處理等諸多領域［16-20］。本文針對提取Cole-Cole參數(shù)提出了一種將最小一乘法與自適應免疫算法相結合的新方法，該方法具有結構簡單、魯棒性強、收斂速度快的特點。其中，自適應免疫算法在免疫算法的基礎上設計了多種自適應算子，并通過借鑒遺傳算法精英保留的思想，增設記憶單元，從而提高了算法的全局收斂速度、增強了局部尋優(yōu)能力。為了驗證本算法提取Cole-Cole參數(shù)的有效性和優(yōu)越性，本文通過設定相應的評價指標，將自適應免疫-最小一乘算法與其他3 種算法進行對比分析。

1 模型建立與算法優(yōu)化

1.1 Cole-Cole模型

生物細胞組織的電學特性可用圖1所示的等效電路模型表示。其中，Re、Ri分別表示細胞外液電阻與細胞內(nèi)液電阻，C表示細胞膜電容。

圖1 生物細胞組織等效電路模型Fig.1 Biological tissue equivalent circuit model

基于生物細胞組織等效電路模型和Cole-Cole理論建立Cole-Cole方程：

其中，Z(ω)為生物復阻抗，ω為角頻率，ω= 2πfc，fc為特征頻率，即表示阻抗值最大時的電流頻率，R∞、R0分別表示電流頻率無窮大與電流頻率為零時生物組織的電阻，α為散射系數(shù)（0 ＜α＜1），τ為弛豫時間。基于方程（1）得到Cole-Cole 參數(shù)：R∞、R0、α和τ（或fc）。其中，τ與fc具有以下關系：

基于Cole-Cole 理論，生物阻抗的軌跡可用一段分布在復平面第4 象限內(nèi)的圓弧表示，即Cole-Cole圓弧，圓心坐標為如圖2所示。

分析圖2中幾何關系，可得：

圖2 生物組織細胞Cole-Cole圓弧Fig.2 Cole-Cole arc of biological tissue cells

其中，(x0,y0)為Cole-Cole圓弧的圓心，r0為半徑。

根據(jù)式（1），弛豫時間常數(shù)τ表示為：

其中，Zi(ωi)表示fi激勵頻率下Cole-Cole圓弧軌跡上對應的復阻抗，且ωi= 2πfi。

將式（2）～（5）代入式（6）中，并化簡：

由于τ表示弛豫時間，為實數(shù)，因此：

為了確保測量精度，實際操作中采用多個數(shù)據(jù)點的平均值作為最終參數(shù)值：

綜上所述，Cole-Cole 參數(shù)的提取流程如圖3所示，可分為以下幾個階段：首先，根據(jù)阻抗數(shù)據(jù)擬合Cole-Cole 圓弧，得到圓心坐標和半徑；接著，分析Cole-Cole 圓弧的幾何關系，求解參數(shù)R0、R∞和α；最后，求解弛豫時間τ。

圖3 Cole-Cole參數(shù)提取流程圖Fig.3 Flowchart of Cole-Cole parameter extraction

1.2 自適應免疫-最小一乘算法

為了提高Cole-Cole 參數(shù)的提取精度，本文提出一種用于Cole-Cole 參數(shù)提取的自適應免疫-最小一乘算法，即AIA-LAD 算法。該算法一方面采用最小一乘法進行擬合，增強魯棒性能；另一方面利用自適應免疫算法進行迭代，提高尋優(yōu)能力。其中，自適應免疫算法是在傳統(tǒng)免疫算法的基礎上，借鑒遺傳算法中精英保留的思想增設了記憶單元，并設計了適用于Cole-Cole 參數(shù)提取的抗體親和度評價算子、抗體激勵度算子、自適應變異算子和自適應克隆抑制算子。

（1）基于最小一乘法的抗體親和度評價算子

采用最小一乘法擬合Cole-Cole圓弧的核心思想是使各阻抗點與擬合所得的Cole-Cole圓弧對應點的徑向誤差和最小：

其中，(x0,y0)、r0為抗體解，分別表示擬合Cole-Cole 圓弧的圓心坐標與半徑。因此，通過確定最小徑向誤差和即可獲得Cole-Cole 參數(shù)，但由于存在絕對值運算，造成參數(shù)的直接求解較為困難，且最小一乘法可看作一種無約束多元非線性優(yōu)化問題，因此本文結合最小一乘與迭代尋優(yōu)算法進行Cole-Cole參數(shù)的求解，并設計了新的抗體親和度評價算子：

其中，F(xiàn)it_abj表示第j組抗體解的親和度，ei,j表示第i組阻抗值(xi,yi)與第j組抗體解的徑向誤差，誤差越小、親和度越高，(x0j,y0j)和r0j分別表示第j組解中圓弧的圓心和半徑。

（2）抗體激勵度算子

第j組抗體解與第k組抗體解的距離表示為：

其中，abj,t和abk,t分別為第j組與第k組抗體解的第t維數(shù)值，L為抗體編碼的總維數(shù)。

抗體間的相似度可通過設定相似度閾值δs來區(qū)別：

若兩個抗體解的距離小于δs，則抗體間相似度S(abj,abk)= 1；反之，S(abj,abk)= 0。

根據(jù)抗體間的相似度，將抗體濃度Den_abj表示為：

進而得到抗體激勵度算子

其中，η、?為計算系數(shù)。

（3）自適應變異算子

為了提高算法前期抗體種群的多樣性，并改善后期局部尋優(yōu)能力，本算法設計如下自適應變異算子：

其中，abj,k,n表示abj第n組克隆抗體的第k維數(shù)值，rand(0,1)可產(chǎn)生區(qū)間(0,1)內(nèi)的隨機數(shù)，δ為偏移鄰域內(nèi)的隨機數(shù)，pm為變異概率。該算子能自適應地改變抗體變異的偏移鄰域大小與迭代過程中的變異概率。

抗體權重親和度fg定義為：

其中，fbest,g、favg,g分別表示第g代抗體種群的最佳親和度與平均親和度。α、β均為計算系數(shù)，且α+β= 1。

為了更好地衡量抗體的收斂程度，將收斂因子λ定義為：

λ越小表示抗體越集中。可通過實時調(diào)節(jié)λ改變變異個體的偏移鄰域Δ：

其中，ζ為計算系數(shù)，δ0_min、δ0_max分別表示鄰域取值的下限和上限。

同時，將自適應變異概率pm定義為：

其中，PM表示變異率的初始值，g、G分別表示當前迭代次數(shù)與最大迭代次數(shù)，φ表示變異率衰減因子。

（4）自適應克隆抑制算子

AIA-LAD 算法通過設計自適應克隆抑制算子，保留了抗體種群的多樣性，同時提高了算法的尋優(yōu)速度，克隆抑制算子可表示為：

其中，γ表示適應度和濃度的權重因子，Norm(Fit_abj)、Norm(Den_abj)分別表示抗體abj適應度歸一化與濃度歸一化后的值。由式（21）可知，適應度越高、濃度越小的抗體保存至下一代的概率越大。因此，本算法不僅能保留高適應度抗體，而且可以提高抗體種群的多樣性，進而使算法性能得到優(yōu)化。

AIA-LAD 算法通過增設記憶單元存儲每一代抗體種群中的優(yōu)秀個體，并在每次迭代后自動更新該單元，從而提高算法的全局收斂速度。本算法流程如圖4所示。

圖4 AIA-LAD算法流程圖Fig.4 Flowchart AIA-LAD algorithm

綜上所述，AIA-LAD 算法提取Cole-Cole 參數(shù)的具體實現(xiàn)過程如下：（1）獲取阻抗數(shù)據(jù)，初始化算法參數(shù)，并生成初代抗體種群；（2）根據(jù)最小一乘原理設置算法抗體親和度評價算子；（3）計算每個抗體的抗體親和度；（4）更新記憶單元中存放的抗體，并判斷是否滿足終止條件。若滿足，執(zhí)行（8），否則執(zhí)行（5）；（5）計算抗體濃度與抗體激勵度；（6）執(zhí)行自適應免疫操作，包括免疫選擇、克隆、自適應變異、自適應克隆抑制，生成子代抗體種群；（7）從子代抗體種群中篩選優(yōu)秀抗體，結合記憶單元中的抗體形成新種群，并執(zhí)行（3）；（8）輸出親和度最高的抗體所表示的Cole-Cole 圓弧的圓心和半徑；（9）計算得到Cole-Cole參數(shù)R∞、R0、α和τ（或fc）。

2 實驗驗證

2.1 仿真數(shù)據(jù)集

本文通過參考文獻［14-15］中阻抗數(shù)據(jù)集的設計方式建立仿真數(shù)據(jù)集。首先，設定Cole-Cole參數(shù)標準值：R0=150 Ω，R∞=50 Ω，α=0.8，τ=3.0×10-6，計算得到特征頻率fc=53.0516 kHz；其次，在頻率范圍1 kHz～1 MHz內(nèi)均勻選取呈對數(shù)分布的32個頻率點；最后，根據(jù)Cole-Cole 方程生成各頻率點對應的阻抗數(shù)據(jù)。標準阻抗數(shù)據(jù)均勻分布在圓心為（100，-16.246 0），半徑為52.573 1的Cole-Cole圓弧上，同時，添加3種形式的噪聲組合生成3組實驗數(shù)據(jù)集，具體描述如下：

第1組數(shù)據(jù)集D1僅含奇異點噪聲，即在標準數(shù)據(jù)集的第13 個和第25 個頻率點處增加30%的徑向誤差，其余數(shù)據(jù)不變。

其中，xφ、yφ分別為標準阻抗數(shù)據(jù)的實部與虛部，xφ'、yφ'分別為添加噪聲后阻抗數(shù)據(jù)的實部與虛部，θφ表示頻率為fφ時徑向與水平軸之間的夾角，θφ=arccos((xφ-x0)/r0)。

第2組數(shù)據(jù)集D2僅含隨機噪聲，即在標準數(shù)據(jù)集的16個偶頻率點處(f2,f4,…,f32)分別增加-10%～10%的徑向誤差，其余數(shù)據(jù)不變。

第3組數(shù)據(jù)集D3同時包含奇異點噪聲和隨機噪聲，即在標準數(shù)據(jù)集的第13個和第25個頻率點處增加30%的徑向誤差，并在16個偶頻率點處（f2,f4,…,f32）分別增加-10%～10%的徑向誤差，其余數(shù)據(jù)不變。

2.2 實驗結果

本文為了驗證AIA-LAD 算法提取Cole-Cole 參數(shù)的優(yōu)越性，將其與BFGS-LS、BFGS-LAD 和BFO-LAD 算法進行對比。本實驗主要從擬合精度、耗時長短和初值依賴性3個方面展開討論，每組實驗各進行50次。

為了客觀地比較4種算法的性能，本文設置了相同的目標參數(shù)(x0,y0,r0)的迭代初值：

其他初值分別設為：最大迭代次數(shù)50，種群大小20；根據(jù)多次實驗結果，當η= 2，?= 1，α= 0.3，β= 0.7，ζ= 2，PM= 0.8，φ= 0.5時算法結果最優(yōu)。

（1）基于數(shù)據(jù)集D1，圖5a～圖5d分別對應4種算法對Cole-Cole 圓弧的擬合結果。圖中紅色實線表示標準Cole-Cole 圓弧，藍色虛線表示擬合Cole-Cole圓弧，藍色點為阻抗數(shù)據(jù)點。通過對比圖中圓弧的重合程度，可知BFGS-LS算法擬合精度最低，其他3種算法擬合效果較好。本文選擇相對誤差作為算法提取精度的評價指標。表1列出了4種算法提取的Cole-Cole參數(shù)R0、R∞、α和fc及其相對誤差eR0、eR∞、eα和efc。其中，AIA-LAD算法提取的各參數(shù)的相對誤差均為0.00%。因此，該算法對奇異點噪聲的敏感性較低，容錯能力較強。

表1 數(shù)據(jù)集D1的4種算法的提取結果Tab.1 Extraction results obtained by 4 different kinds of algorithms for data set D1

圖5 數(shù)據(jù)集D1的4種算法擬合的Cole-Cole圓弧Fig.5 Cole-Cole arcs fitted by 4 different kinds of algorithms for data set D1

（2）數(shù)據(jù)集D2中含有隨機噪聲，因此本實驗僅展示某次Cole-Cole 圓弧的擬合結果。對比分析圖6中4種算法對Cole-Cole圓弧的擬合效果，顯然BFGS-LS算法的擬合精度不如其他3種算法。表2顯示4種算法提取的Cole-Cole 參數(shù)及其相對誤差，表中數(shù)據(jù)均為50次實驗結果的平均值。對比表中數(shù)據(jù)，4種算法的提取精度均受隨機噪聲的影響，其中，AIA-LAD算法提取結果的平均相對誤差分別為0.26%、0.29%、0.27%、0.04%，均低于0.3%。

表2 數(shù)據(jù)集D2的4種算法的提取結果Tab.2 Extraction results obtained by 4 different kinds of algorithms for data set D2

圖6 數(shù)據(jù)集D2的4種算法擬合的Cole-Cole圓弧Fig.6 Cole-Cole arcs fitted by 4 different kinds of algorithm for data set D2

（3）圖7為4 種算法對數(shù)據(jù)集D3的一個擬合結果，其中BFGS-LS 算法的擬合效果最差。表3數(shù)據(jù)均為50 次實驗結果的平均值，AIA-LAD 算法提取的4 個特征參數(shù)的相對誤差分別為0.43%、0.44%、0.69%、0.15%，均低于其他3種算法。因此，奇異點噪聲與隨機噪聲同時存在時，AIA-LAD 算法的提取精度優(yōu)于其他3種算法。

表3 數(shù)據(jù)集D3的4種算法的提取結果Tab.3 Extraction results obtained by 4 different kinds of algorithms for data set D3

圖7 數(shù)據(jù)集D3的4種算法擬合的Cole-Cole圓弧Fig.7 Cole-Cole arcs fitted by 4 different kinds of algorithms for data set D3

（4）利用MATLAB 2017b軟件分別對4種算法提取Cole-Cole 參數(shù)進行代碼實現(xiàn)，并對比耗時長短。電腦配置為Inter?CoreTMi7-9700 CPU@3.00 GHz，內(nèi)存RAM 為16.0 GB，系統(tǒng)為64 位Win10 操作系統(tǒng)。實際環(huán)境中，奇異點噪聲與隨機噪聲不可避免，因此本實驗基于數(shù)據(jù)集D3對4 種算法提取參數(shù)的平均耗時進行了對比。BFGS-LS、BFGS-LAD、BFO-LAD、AIA-LAD 算法運行時間分別為15.26、15.03、9.02、6.57 s，可知AIA-LAD算法的耗時最短。

（5）另外，迭代初值也是影響算法提取精度的一個重要因素［13］。本實驗基于數(shù)據(jù)集D3，通過設計一組較差的初值，評估AIA-LAD算法對初值的依賴性。其中，目標參數(shù)(x0,y0,r0)的迭代初值均設為200。根據(jù)表4中50次實驗的平均結果可知，AIA-LAD算法在初值較差的情況下，依然能準確地提取Cole-Cole參數(shù)，提取得到的4個特征參數(shù)R0、R∞、α、fc的相對誤差分別為0.51%、0.47%、0.45%、0.22%，均低于其他3 種算法，可知AIA-LAD 算法對初值設定的依賴性較弱。

表4 初值較差時數(shù)據(jù)集D3的4種算法的擬合結果Tab.4 Fitting results obtained by 4 different kinds of algorithms for data set D3 when the initial value is poor

根據(jù)所設計的多組對比實驗結果顯示，相較于其他3 種算法，AIA-LAD 算法在Cole-Cole 參數(shù)的提取過程中，擬合精度較高、耗時最短、初值依賴性最弱，且對噪聲不敏感。

3 結論

本文為Cole-Cole參數(shù)的提取提供了一種新方法。該方法在傳統(tǒng)免疫算法的基礎上，設計自適應策略并引入記憶單元結構，同時，結合最小一乘法形成了一種結構簡單、魯棒性強的AIA-LAD算法。其中，自適應策略具體包括適用于Cole-Cole參數(shù)提取的抗體親和度評價算子、抗體激勵度算子、自適應變異算子和自適應克隆抑制算子。為了驗證AIA-LAD算法提取Cole-Cole參數(shù)的有效性與優(yōu)越性，本文通過在標準生物阻抗數(shù)據(jù)集的基礎上增加奇異點噪聲與隨機噪聲，形成3種不同的數(shù)據(jù)集，采用AIA-LAD、BFGS-LS、BFGS-LAD和BFO-LAD算法分別擬合Cole-Cole圓弧，并提取Cole-Cole參數(shù)，根據(jù)所設計的評價指標對4種算法的提取結果做出判斷。同時，本文還對比分析了AIA-LAD算法提取Cole-Cole參數(shù)的耗時長短及對初值的依賴性。實驗結果表明，AIA-LAD算法在含有噪聲的生物阻抗數(shù)據(jù)集下有較高的擬合精度、較快的運行速度，且對初值的依賴性不高。因此，AIA-LAD算法的應用能夠快速、有效地解決Cole-Cole參數(shù)的提取問題，降低算法對初值的依賴性。