分?jǐn)?shù)階滑模控制算法在四容水箱中的應(yīng)用及仿真

白淏文，韓光信

(吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022)

四容水箱系統(tǒng)可以在工業(yè)生產(chǎn)過程中模擬很多被控對象[1]，如在石油氣泵水位控制、化工精餾塔控制等許多行業(yè)都有體現(xiàn)，如何更好地解決多輸入多輸出系統(tǒng)的耦合性以實現(xiàn)更準(zhǔn)確的控制精度是當(dāng)今工業(yè)生產(chǎn)中的熱門研究話題[2].針對四容水箱實驗裝置,文獻(xiàn)[3]將無模型自適應(yīng)算法引入到其中，可以不需系統(tǒng)模型僅憑輸入輸出關(guān)系實現(xiàn)對系統(tǒng)控制.文獻(xiàn)[4]設(shè)計隱式廣義預(yù)測自校正控制，通過預(yù)測值、滾動優(yōu)化、反饋校正等環(huán)節(jié)極大增強(qiáng)了魯棒性.文獻(xiàn)[5]通過將系統(tǒng)解耦變成單輸入單輸出系統(tǒng)，對解耦后的每個單輸入單輸出系統(tǒng)進(jìn)行控制，使用不依賴精確模型的自抗擾控制器對每個獨立系統(tǒng)進(jìn)行控制,使得系統(tǒng)的復(fù)雜程度大大降低.

在各種控制方法中，滑模控制方法有著諸多優(yōu)點.如設(shè)計簡單、對參數(shù)攝動的不敏感性、對外部擾動具有很強(qiáng)的魯棒性[6]，這些特性使得滑模控制方法得到了廣泛的應(yīng)用.傳統(tǒng)積分滑模面具有響應(yīng)速度快、調(diào)節(jié)時間短等特點，但是系統(tǒng)如果與設(shè)定值誤差過大會使積分飽和，從而導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)過大、抖震劇烈[7].分?jǐn)?shù)階的微分算子和積分算子可以選擇為任意實數(shù)，擴(kuò)大了參數(shù)選擇范圍，使得在參數(shù)調(diào)節(jié)上有了更大的選擇范圍[8].本文將滑模控制與分?jǐn)?shù)階理論結(jié)合，針對系統(tǒng)可能會出現(xiàn)超調(diào)量過大的問題將積分和微分環(huán)節(jié)引入滑模面的設(shè)計當(dāng)中，使用具有分?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)的滑模面和趨近率，提升了控制效果且系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性.

1 四水箱系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

四水箱結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 四容水箱結(jié)構(gòu)圖

水泵1將儲水池液體送至水箱4和1,水泵2將儲水池液體送至水箱2和3.調(diào)節(jié)水泵1和2電壓可進(jìn)行控制回路水流量的調(diào)節(jié).水泵1和2送至水箱1和2液體流量可以通過手動閥門進(jìn)行調(diào)節(jié),在該實驗裝置中起到進(jìn)水閥分流作用.水箱1和2通過底部管道相連接，可以通過改變分流系數(shù)比調(diào)節(jié)代表不同水箱之中的耦合和干擾作用.最終使得下水箱液位快速、準(zhǔn)確地跟蹤上設(shè)定液位高度，減小系統(tǒng)內(nèi)部耦合的影響.

根據(jù)質(zhì)量守恒定律及伯努利原理對系統(tǒng)進(jìn)行建模：

(1)

式中，hi為容器液位高度；A為容器橫截面積；γ1，γ2為可調(diào)輸入；d1,d2為干擾輸入.

由式(1)可以看出水位與輸入電壓呈非線性關(guān)系，水泵1的電壓與水箱1和2有關(guān)，水泵2的電壓也影響著水箱1和2.水泵1和2的共同作用使得控制系統(tǒng)難道增加，呈現(xiàn)出多輸入多輸出、非線性、強(qiáng)耦合特性.

在平衡工作點[h10,h20,h30,h40,v10,v20]將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為如下狀態(tài)空間模型：

(2)

其中狀態(tài)變量為xi=Δhi=hi-hi0控制輸入為ui=vi-vi0，由式(2)可得到線性化處理后四容水箱狀態(tài)空間表達(dá)式：

(3)

2 分?jǐn)?shù)階滑模控制器設(shè)計

將分?jǐn)?shù)階微積分理論與滑模控制相結(jié)合，首先設(shè)計分?jǐn)?shù)階滑模函數(shù)s.因為分?jǐn)?shù)階增加了系統(tǒng)控制的靈活性，可以展現(xiàn)良好的動態(tài)性能，使得系統(tǒng)到達(dá)滑動模態(tài)后誤差逐漸收斂為零，其次設(shè)計分?jǐn)?shù)階滑模趨近率，使得系統(tǒng)進(jìn)入到分?jǐn)?shù)階滑模面后在這個區(qū)域保持滑模運(yùn)動[9].

設(shè)軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)

e=y-yd，

(4)

式中取yd為液位期望軌跡；y為液位實際軌跡.則控制目標(biāo)為對液位h1和h2的跟蹤，即t→∞時，e→0.

對式(4)求導(dǎo)：

(5)

傳統(tǒng)整數(shù)階滑模在設(shè)計時，通常選擇誤差和誤差的積分項作為滑模面函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)與設(shè)定值誤差過大或者控制器出現(xiàn)飽和，就會出現(xiàn)積分飽和效應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能較差，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定[10].

設(shè)計分?jǐn)?shù)階滑模面為：

(6)

對滑模面式(6)求導(dǎo)：

(7)

滑模趨近律可改善系統(tǒng)運(yùn)動過程中的趨近性能，抖震劇烈、收斂時間較長是傳統(tǒng)滑模趨近率選擇的一大難點，為此將分?jǐn)?shù)階微積分理論引入到滑模趨近律中.

選取分?jǐn)?shù)階趨近律

(8)

其中sgn(s)=[sign(s1)|s1|θ1,sign(s2)|s2|θ2].

由公式(7)和公式(8)可得:

=-ks1s-ks2sgn(s)，

(9)

得到設(shè)計的滑模控制律

(10)

設(shè)李亞普諾夫函數(shù)為:

(11)

對式(11)求導(dǎo)：

(12)

由于sign具有如下性質(zhì):

所以式(12)：

(13)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)可以得到分?jǐn)?shù)階滑模控制可以使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

3 仿真分析

為了驗證方法的有效性選擇四容水箱作為控制對象，其參數(shù)如下：水箱1和3的橫截面積為28 cm2；出水管橫截面積0.071 cm2；水箱2和4的橫截面積32 cm2出水管橫截面積0.057 cm2；水泵1和2流量比例系數(shù)分別為3.33、3.35；水泵1和2分配系數(shù)分別為0.70、0.60；選擇kd1與kd2為幅值為1的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù).通過MATLAB實驗仿真平臺，選擇分?jǐn)?shù)階PID方法與本文分?jǐn)?shù)階滑模控制方法進(jìn)行比較.

3.1 動態(tài)性能分析

動態(tài)性能是系統(tǒng)在動態(tài)過程中所表現(xiàn)出的性質(zhì)、特點及性能情況.選擇水箱1和2的初始液位高度分別為8、10 cm.圖2～3中點劃線為理想液位，黑色實線為實際液位.在200 s時刻水箱1設(shè)定值越變?yōu)?2 cm，水箱2設(shè)定值越變?yōu)?4 cm.在800 s時刻水箱1設(shè)定值越變?yōu)?3 cm，水箱2設(shè)定值越變?yōu)?5 cm.兩種軌跡呈交替上升、下降規(guī)律.在分?jǐn)?shù)階滑模控制下，液位h1和h2很好地完成了追蹤過程，分?jǐn)?shù)階滑模控制能夠?qū)崿F(xiàn)四容系統(tǒng)設(shè)定液位值的快速跟蹤，超調(diào)量較小.考慮到電壓不能超過控制器電壓幅值，將電壓限幅為0～6 V.在設(shè)定液位值發(fā)生變化時，系統(tǒng)比分?jǐn)?shù)階PID具有更快速的液位跟蹤，如圖4～5所示，更小的超調(diào)量，電壓運(yùn)行在控制器電壓合理區(qū)間內(nèi)，穩(wěn)定較快.兩個水箱設(shè)定值分別變化于不同高度時，兩個水箱液位之間互不影響，系統(tǒng)具有很好地抗干擾能力.很好地解決了系統(tǒng)耦合問題，追蹤上了理想液位.

t/s圖2 水箱1液位變化曲線

t/s圖3 水箱2液位變化曲線

t/s圖4 水泵1輸入電壓變化曲線

t/s圖5 水泵2輸入電壓變化曲線

3.2 魯棒性能分析

令γ1,γ2,k1,k2增大10%，在200 s時增加干擾，水箱1設(shè)定液位上升，水箱2設(shè)定液位下降.研究水箱液位及參數(shù)變化時的動態(tài)響應(yīng)情況.水箱1和2的液位變化曲線如圖6～7所示.

t/s圖6 水箱1液位變化曲線

t/s圖7 水箱2液位變化曲線

從圖6～7中可以看出，在0～200 s時，初始液位與設(shè)定液位存在較大誤差，控制器會輸出較大電壓，但考慮水泵電壓安全范圍，對控制器進(jìn)行約束，從而起到保護(hù)水泵作用.與分?jǐn)?shù)階PID相比，系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)階滑模控制下具有一定超調(diào)，但超調(diào)較小調(diào)節(jié)時間快.分?jǐn)?shù)階PID控制超調(diào)較大，系統(tǒng)穩(wěn)定時間慢.當(dāng)參數(shù)摂動時，分?jǐn)?shù)階滑模超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等性能影響不大，水箱1上升水箱2下降的耦合性基本消除，可以很快追蹤上給定液位，可見系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)階滑模控制下具有良好的魯棒性.控制輸入的變化曲線如圖8～9所示.

t/s圖8 水泵1輸入電壓變化曲線

t/s圖9 水泵2輸入電壓變化曲線

4 結(jié) 論

本文以雙輸入雙輸出、非線性、強(qiáng)耦合的四容水箱系統(tǒng)作為研究對象，將分?jǐn)?shù)階理論引入到滑模控制中，使用分?jǐn)?shù)階滑模控制器對四容水箱液位控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并對控制器漸進(jìn)穩(wěn)定條件進(jìn)行了理論證明.仿真結(jié)果表明分?jǐn)?shù)階滑模控制與分?jǐn)?shù)階PID相比，分?jǐn)?shù)階滑模算法中引入了分?jǐn)?shù)階算子、微分算子擴(kuò)大了控制器適用范圍，避免了出現(xiàn)控制超調(diào)過大，有良好的的削弱抖震能力，具有更快的收斂時間和跟蹤性能.在外界擾動和參數(shù)攝動情況下，有效地抑制了干擾對控制系統(tǒng)的影響，具有良好的魯棒性.