計算平面代數(shù)曲線虧格上界的符號-數(shù)值算法

吳曉麗

(高等教育出版社有限公司，北京100029)

1 引 言

代數(shù)曲線是代數(shù)幾何中最基本的研究對象, 具有豐富的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 代數(shù)曲線理論交融了代數(shù)、分析、拓撲和幾何. 特別地，橢圓曲線的理論與算法已經(jīng)在數(shù)論、密碼學(xué)、數(shù)學(xué)物理等學(xué)科中有重要應(yīng)用. 虧格是代數(shù)曲線的重要不變量，也是代數(shù)幾何與拓撲中最基本的概念之一. 當復(fù)數(shù)域上一條不可約射影代數(shù)曲線看成一個連通的、可定向的緊黎曼面時, 虧格可以定義為在該曲面上不將曲面分開最多可畫出的簡單閉曲線的數(shù)目. 當在實數(shù)域上看成可定向的二維緊光滑曲面時，虧格就是曲面上“洞”的個數(shù). 代數(shù)曲線的虧格可以通過曲線上線性無關(guān)的正則微分形式的個數(shù)來定義. 當域的特征非零時，虧格也可以通過純算術(shù)的方式定義. 但這些定義對于復(fù)數(shù)域上的不可約代數(shù)曲線來說都是等價的，這也體現(xiàn)了代數(shù)曲線作為重要數(shù)學(xué)對象所蘊含的統(tǒng)一美.

代數(shù)曲線的虧格計算是計算機代數(shù)領(lǐng)域中的經(jīng)典問題. 在代數(shù)閉域中計算代數(shù)曲線的符號算法請參看文獻[1]. 文獻[2] 給出了代數(shù)集的一維不可約分支的幾何虧格的數(shù)值算法. 在文獻[3] 中, 作者給出了一種計算代數(shù)曲線虧格的符號-數(shù)值算法，首先利用細分方法數(shù)值地計算平面代數(shù)曲線的奇點, 然后將奇點平移至原點, 接著計算代數(shù)鏈、Alexander多項式、δ不變量, 最后得到虧格，其中的計算每一步都是困難的.數(shù)值方法無論在工業(yè)應(yīng)用還是在教學(xué)實踐[4]中都發(fā)揮著重要作用.符號算法有精確的巨大優(yōu)勢[5].

本文通過數(shù)值穩(wěn)定的方法計算奇點的重數(shù), 從而給出虧格或者虧格的一個上界. 如果平面代數(shù)曲線有有限多奇點, 那么可以使用Reid-Zhi符號-數(shù)值算法[6]計算零維多項式系統(tǒng)的奇點重數(shù). 如果代數(shù)曲線有非尋常奇點, 那么我們可以計算曲線虧格的上界;否則，我們可以得到曲線的虧格.

2 預(yù)備知識

本文所考慮的復(fù)數(shù)域上的平面代數(shù)曲線定義如下

C={(x,y)∈2|f(x,y)=0}，

(1)

其中f(x,y)∈[x,y]是次數(shù)為d系數(shù)為精確或者浮點的非常數(shù)不可約多項式. 多項式f(x,y)稱為C的定義多項式, 并且次數(shù)d稱為曲線C的次數(shù). 在不計非零常數(shù)乘法的意義下定義多項式是唯一的. 更多細節(jié)請參見文獻 [7].

感興趣的是計算平面代數(shù)曲線的虧格. 虧格是雙有理不變量， 在平面代數(shù)曲線的有理參數(shù)化中的作用舉足輕重. 下面給出奇點的定義.

如果平面代數(shù)曲線沒有奇點，那么被稱為非奇異曲線. 次數(shù)為d的非奇異平面代數(shù)曲線的虧格g由下面公式給出

(2)

當平面代數(shù)曲線奇異時，需要首先確定奇點及其重數(shù)才能計算虧格.

3 通過符號-數(shù)值算法計算奇點

下面給出的符號-數(shù)值算法可以數(shù)值穩(wěn)定地求解浮點系數(shù)的多項式系統(tǒng).

3.1 多項式系統(tǒng)的對合

考慮多項式系統(tǒng)F={f1,…,ft},其中fi∈[x1,…,xs]是di次多項式,i=1,…,t且s≤t. 令d=max{d1,…,dt}. 研究簇

(3)

多項式系統(tǒng)F的一次延拓就是用各個變量x1,…,xs去乘F， 于是得到了d+1次的多項式系統(tǒng). 重復(fù)此項操作， 繼而得到了多項式系統(tǒng)序列F=F(0),F(1),F(2),…,用系數(shù)矩陣表示為

(4)

其中vi=[xi,xi-1,…,x,1]T.

多項式系統(tǒng)F的一次幾何投射定義為

(5)

投射算子π通過消去最高次數(shù)d次單項式從而將Nd中的點投射到Nd-1中. 多項式系統(tǒng)F的維數(shù)定義為其系數(shù)矩陣的零空間維數(shù)， 即符號矩陣定義為系數(shù)矩陣的對應(yīng)最高次數(shù)d次單項式的子矩陣. 系統(tǒng)對合的關(guān)鍵就是符號矩陣對合. 在文獻[6]中，作者給出了零維多項式系統(tǒng)對合的判斷準則.

定理1[6]零維多項式系統(tǒng)F經(jīng)過m次延拓和l次投射后對合當且僅當πl(wèi)(F(m))滿足投射消去測試

dimπl(wèi)(F(m))=dimπl(wèi)+1(F(m+1))

(6)

和符號對合測試

dimπl(wèi)(F(m))=dimπl(wèi)+1(F(m)).

(7)

即多項式系統(tǒng)滿足投射消去測試和符號對合測試，多項式系統(tǒng)和系數(shù)矩陣都達到了對合狀態(tài). 一旦找到了零維多項式系統(tǒng)的對合形式, 我們就可以通過特征值方法求出多項式系統(tǒng)的解.

3.2 曲線的奇點

這個定理說明平面曲線只有有限奇點. 因此介紹的符號-數(shù)值對合方法可以應(yīng)用到曲線的奇點求解當中. 如果曲線的定義多項式f(x,y)是關(guān)于變量x和y分離的特殊情形，即

f(x,y)=f1(x)+f2(y)，

{(x,y)|x∈V(f′1(x)),y∈V(f′2(y)),(x,y)∈V(f)}.

算法1計算奇點的符號-數(shù)值算法

輸入：曲線的定義多項式f(x,y)和允許誤差τ.

輸出：所有的奇點.

(ii) 計算多項式系統(tǒng)F的對合形式；

(iii) 構(gòu)造對合形式的乘法矩陣；

(iv) 求解乘法矩陣的特征向量，從而得到奇點.

4 平面代數(shù)曲線的虧格

為了得到本文的最終目標求得平面代數(shù)曲線的虧格上界，還需要重數(shù)的定義.

定義2曲線C在點P=(a,b)處的重數(shù)為其定義多項式f(x,y)在點P處的泰勒展開式, 即

(8)

中不為零的首項的階數(shù).

也可以通過坐標的線性變換把奇點P變換到原點, 從而把f寫成齊次形式之和

f=fm+fm+1+···+fd,

(9)

其中deg(fi)=i.最低次數(shù)即為所求的重數(shù).

定義3平面曲線C上的重數(shù)為m的奇點P稱為尋常的當且僅當曲線C在點P處的m條切線互不相同, 否則稱為非尋常的.

由此可見曲線的奇點不是尋常的就是非尋常的.

定理3[7]如果曲線C的奇點都是尋常的, 且d是曲線C的次數(shù), 那么

(10)

其中mP是曲線C在點P的重數(shù).

定理4[7]如果曲線C有非尋常的奇點, 且d是曲線C的次數(shù)，那么

(11)

其中mP是曲線C在點P的重數(shù).

對于包含非尋常奇點的曲線, 公式(11)僅僅給出了虧格的上界. 因為非尋常的奇點的小鄰域內(nèi)可能出現(xiàn)其他的奇點, 所以在用公式(10)計算時要格外小心.

算法2虧格上界

輸入: 曲線的帶有浮點系數(shù)的次數(shù)為d的定義多項式f.

輸出: 虧格上界g.

(ii) 如果Sing(C)=Φ, 那么返回“虧格為(d-1)(d-2)/2”； 否則計算每個奇點P∈Sing(C)的重數(shù)mP；

注 算法 2 對于僅有尋常奇點的平面代數(shù)曲線給出了虧格的準確數(shù)值. 然而對于含有非尋常奇點的平面代數(shù)曲線，算法 2 僅給出虧格的一個上界.

5 數(shù)值實例

例1由f(x,y)=y2-x3+x定義的曲線, 考慮兩種類型擾動.

(i)fσ(x,y)=f(x,y)-σ, 其中σ∈{10-1,…,10-10}.

例2[1]對準確系數(shù)多項式f(x,y)=-x3-xy+y2, 考慮兩種擾動. 由f(x,y)定義的曲線只有尋常奇點, 算法 2 返回曲線的準確虧格.

(i)fσ(x,y)=f(x,y)-σ, 其中σ∈{10-4,…,10-10}；

(ii)fσ(x,y)=f(x,y)+σg(x,y),其中g(shù)(x,y)為任意精確系數(shù)的多項式, 且σ∈{10-3,…,10-10}. 此處按照文章 [1] 中令g(x,y)=-x3-2xy+y2.

通過這兩個數(shù)值實例, 發(fā)現(xiàn)如果允許誤差τ與擾動σ相差不多, 那么算法 1 和 2 就會分別返回一個奇點和虧格g=0.

6 結(jié) 論

本文是符號-數(shù)值混合計算虧格的初步探索，希望拋磚引玉，能用計算機代數(shù)方法為更多經(jīng)典數(shù)學(xué)研究提供直觀分析.

致謝作者非常感謝審稿專家提出的寶貴意見.