新集合概念的應用與學生創新思維的培養

鄭修才， 黃宗媛， 吳 臻

(山東大學 數學學院，濟南250100)

1 引 言

普通集合(有限普通集合，無限普通集合)及其運算是大學數學課程中的重要內容，無論是數學專業還是工科類專業學生，在數學基礎課程的學習中都會遇到.不僅如此，集合這一概念在計算數學、運籌學等其他數學分支中也占據著十分重要地位，因此對集合概念的理解與應用成為基礎數學教學中的重要環節.

給定一個有限普通元素集合X={x1,x2，…,xn}，在X內潛藏著以下特征：Ⅰ集合X表示的概念內涵與外延清晰(表示非此即彼概念)；Ⅱ集合X是精確的；Ⅲ 集合X是靜態的，不允許X內的元素從X內遷移到X外，也不允許X外的元素進入到X內.特征Ⅰ-Ⅲ刻畫了有限普通元素集合X的本質.

隨著應用科學與技術的進步，不斷涌現的新問題或研究領域，常常需要用數學語言給出刻畫與描述.對于集合(普通集合)而言，在實際應用中往往會遇到一些問題，例如：

(i)A={a1,a1,…,an}是“老年人”構成的集合，ai今年74歲是“老年人”，aj(i≠j)今年70歲，是不是“老年人”？用普通集合概念無法給出確切的答案，理由是：集合A表示的概念是內涵清楚，外延不清楚(表示亦此亦彼概念)；

(ii) 以等價類[x]作為元素構成集合B，B的邊界不規則，用普通集合概念精確表達B有困難；

(iii) 集合C中的元素xi在一定條件下從C內遷移到C外，C外的元素xj在一定條件下從C外遷移到C內，用普通集合的靜態性不能確切表達C.

問題(i)-(iii)在信息科學，信息工程的應用研究等領域及大數據分析中經常遇到，對這些問題的研究與認識一直困擾著相關使用者，也迫使人們尋找新的集合概念給予刻畫和表達.

1965年，美國學者L.A.Zadeh教授提出模糊集合[1]的概念并給出模糊集合的結構與特征，為研究一類內涵清楚而外延不清楚的問題提供了數學理論支持.目前，模糊集合已被廣泛地應用于模糊控制、模糊決策與模糊識別等眾多領域.1982年，波蘭人Z.Pawlak提出粗集合[2]的概念并給出粗集合的結構，用下近似R-(X)與上近似R-(X)共同近似表達邊界不規則的普通集合X，為研究一類近似問題提供了方便.2008年史開泉教授提出P-集合[3，4]的概念并給出其結構，為研究一類動態問題提供了新的思路.模糊集合、粗集合與P-集合都是由普通集合改進得到的，在一定條件下，它們可以被還原成普通集合.

本文作者將這些新集合概念滲透到本科生、碩士研究生的基礎數學教學中，實踐證明應用問題研究與新集合概念生成對學生的創新思維培養，研究能力提升效果明顯.

2 有限普通集合特征與新集合概念生成

給定有限普通元素集合X={x1,x2,…,xn}?U,X具有三個特征：

(i)X表示的概念邊界確定(或概念的內涵外延清楚)，元素x與X的關系滿足特征函數：

圖1 集合X的特征函數圖像

(ii)X是精確的.X內有5個元素xi，一個不能多，一個也不能少；

(iii)X是靜態的.X內有5個元素xi，不允許5個元素xi中任何一個離開X，也不允許X之外的任何一個元素xj進入X內.

特征(i)-(iii)潛藏在現代數學與工程技術領域具有廣泛應用的有限普通集合X內，在現行教材中并沒有給出討論.

2.1 用“邊界不確定”代替“邊界確定”與模糊集合生成

一個事實：xi今年78歲，定義xi是一個“老年人”.人們自然要問xj今年72歲，xk今年77歲，xj，xk算不算“老年人”？顯然“老年人”構成的集合A的邊界是不確定的(模糊性的)，不能說“xi是老年人”“xj不是老年人”，或者不能簡單的用“非此即彼”回答這個事實，只能用xi，xj，xk關于A的“老的程度”回答，更不能絕對的用“0”或絕對的用“1”回答.這類事實在信息(數據)識別，目標辨識與智能系統中經常出現，而用有限普通集合的概念刻畫和表達卻遇到困難.L.A.Zadeh在[1]中提出了模糊集合(Fuzzy set)概念，定義映射

圖2 元素xi與A的關系

模糊集合A的一般形式是

2.2 用“近似性”代替“精確性”與粗集合生成

圖3，4給出兩個直觀表示.

圖3 元素x1,x2,…,x8構成的有限普通元素集合 圖4 元素x1,x2,…,x8構成的新集合

令X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，圖3中集合X的邊界是規則的，用粗實線表示.圖4中集合X的邊界(細實線表示)是不規則的,R-(X)是X的下近似，R-(X)是X的上近似.圖中每一個小方塊是R-等價類，R是X上的等價關系.比較圖3與圖4容易得到：

(i) 任意有限普通元素集合X={x1,x2,…,xn}都能用圖3的方法給出直觀表示，X的邊界是精確的；

(ii) 任意一個邊界不規則的集合X無法用有限普通元素集合的方法表示，只能用X的下近似R-(X)和X的上近似R-(X)共同近似的表示.這種方法與積分學中曲邊梯形面積的逼近思想類似，但利用圖3給出圖4的表示在理解上遇到了困難，1982年 Z.Pawlak在文獻[2]中提出了粗集(Rough set)概念.

給定有限普通集合X，R是X上的等價關系，[x]是R-等價類，X的R-粗集的形式

R-(X)=∪[x]={x|x∈U,[x]?X}，

R-(X)=∪[x]={x|x∈U,[x]∩X≠?}，

BnR(X)=R-(X)-R-(X)

是X的R-邊界，由R-(X)與R-(X)構成的集合對(R-(X)，R-(X))稱作X的R-粗集.

2.3 用“動態性”代替“靜態性”與P-集合生成(P=Packet)

首先注意到集合的“動態性”特征存在的客觀事實.例如：設X={x1,x2,…,xn}是準備乘坐某列火車回家過春節的旅客構成的集合，因為某些原因，X內的一些旅客不能按時乘坐本次列車，集合X變成

另有一些旅客因未能買到本次列車的車票，只能上車補辦車票，集合X變成

XF={x1,x2,…,xr}，n

(1)

為X生成的內P-集合.

若記X生成的F-元素補充集合為X+={ui|ui∈U,uiX,f(ui)=x′i∈X,f∈F}，且的屬性集合αF滿足

αF=α∪{α′i|βi∈V,βiα,f(βi)=α′i∈α,f∈F}，

(2)

則稱

XF=X∪X+

(3)

為X生成的外P-集合.

(4)

圖5 P-集合的直觀表示

3 新集合概念的應用

隨著計算機科學的迅速發展，數學兼有了科學與技術的雙重身份.在信息化發展的大數據時代，科學技術的突出特點是定量化，而定量化的標志就是運用數學思想和方法.下面結合實例給出新數學概念P-集合、粗集合的簡單應用.

3.1 P-集合在優秀學生選拔中的應用實例

設x1～x10是山東大學數學學院2017年入學的本科新生，x1～x10構成有限普通集合

X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10},

記α1為數學成績，α2為語文成績，α3為英語成績，α1,α2,α3構成X的屬性集合

α={α1,α2,α3}.

?xi∈X，xi同時具有屬性α1,α2,α3；用數理邏輯中的合取“∧”表示，xi的屬性αi滿足αi=α1∧α2∧α3.

按照學校的培養模式，數學學院每年要從本科新生中選拔“泰山學堂”新生進入拔尖人才培養計劃，力爭通過本科階段的強化教育，結合本-碩-博一站式培養，使學生具備優異的數學綜合素質和活躍的數學思想，成為數學研究領域的杰出人才.因此，要對x1～x10進行篩選.利用(2)式在屬性集合α內補充屬性α4=數學能力面試，α5=創新思維問卷，α變成αF，

αF=α∪{α4,α5}={α1,α2,α3,α4,α5}.

由(1)式得

αj=(α1∧α2∧α3)∧α4∧α5.

3.2 粗集合在數據智能挖掘中的應用實例

粗糙集理論和應用的研究已成為智能信息處理領域的熱點問題, 是近年來出現的處理模糊和不確定性問題的有力數學工具，現已成功應用于人工智能的許多領域.本文以實例給出在數據智能挖掘中的簡單應用.

將集合X的下近似R-(X)記作[x]，即[x]=R-(X)稱作數據，?xi∈[x]稱作數據元，R是[x]上的等價關系構成的集合：

[x]={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},R={R1,R2,R3,R4}.

給定等價關系集合

R*=R∪{R5,R6}={R1,R2,R3,R4,R5,R6},R?R*，

則存在數據[x]*≠?，R，R*，[x]與[x]*滿足粗推理：

若R?R*， 則 [x]*?[x],

這里“?”與“?”等價，R?R*稱作推理條件，[x]*?[x]稱作推理結論.在R?R*的條件下，數據[x]*被智能挖掘-獲?。篬x]*={x2,x4,x7}.

4 教學效果

創新思維是一切創新活動的核心與靈魂，其主要包括抽象思維、類比思維、求異或發散思維、逆向思維、直覺思維等，而創新實踐則是在客觀需要的推動下，借助于創新思維獲得靈感而創造出新方法、新概念、新思想，從而突破性地解決實際問題.

本文作者在面向控制科學與工程專業“模式識別與智能系統”方向研究生延伸開設的“數學分析選講”中，通過智慧教學創新充分再現數學發現的思維過程，運用歸納和類比引導學生進行直覺思維，鼓勵學生突破常規思維定式，倡導學生養成逆向思維、發散思維的習慣，結合智能系統的動態性特征、模糊或不確定性領域的熱點問題引入新數學概念P-集合、粗集合的簡單應用，使學生真正地接受創新思維能力的培養和訓練.

為確認新集合概念的滲透、融合教學效果，我們對2016-2018級來自控制專業“模式識別與智能系統”方向的碩士研究生進行了如下教學嘗試：將每屆碩士研究生分成A、B兩組，教學中A組學生的數學分析選講內容以常用數學方法的應用為主，B組學生除此之外還介紹新集合概念提出的背景、與普通集合的關系、新集合的某些簡單應用.連續三年碩士畢業論文開題綜合評價結果發生了明顯變化，具體統計如下：

表1 碩士研究生畢業論文開題綜合評價成績

圖6 碩士研究生畢業論文開題綜合評價成績柱狀圖

其中A組學生在畢業論文選題、開題時，一般選用常規方法和手段解決問題，明顯感到創新性不足，理解應用粗淺.而B組學生多數能夠運用新集合概念、特征刻畫智能系統的動態性和不確定性領域的模糊問題，進而給出一些創新性研究思路和預期結果.因此，我們在大學數學教學過程中更加注重對學生進行創新思維的培養，善于給學生提供創新實踐的機會.

5 結 論

本文2中給出的幾種新集合概念、結構、特征及其直觀表示均來自于實際應用領域，當今信息科學、系統科學，人文、社會學科及其他“軟科學”的數學化、定量化趨向是它們產生的直接動力.應用問題的研究是新集合概念形成的依據，是新集合概念孕育生長的沃土；應用問題的再分析、再認識誘導出新集合的結構與特征.研究性實踐表明，新集合概念與基礎數學教學滲透、有機融合既是對集合概念的豐富、發展、完善，更是提升研究生發散思維、創新思維能力的有效途徑.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.