虛力原理在運動學速度分析中的應用

張居敏，周 嶺

（1.華中農業大學工學院，武漢 430070；2.塔里木大學機械電氣化工程學院，新疆阿拉爾 843300）

長期以來人們對虛位移原理進行了深入研究，通過該原理可以用動力學理論求解靜力學問題[1-2].既然如此，那虛位移原理是否也可以求解運動學問題？虛位移原理是否存在孿生對偶理論？

本文提出的虛力原理可作為虛位移原理的孿生對偶理論.通過虛力原理可以用靜力學理論和動力學理論聯合求解運動學中的速度問題，還可用滑動摩擦力理論求解相對速度.虛力原理為求解運動學中速度問題提供了新思路、新方法.

1 虛力原理

定常、理想、雙面約束運動學系統在運動過程中的任一時刻，假想系統在該時刻處于靜止狀態，并假想施加一個力系讓靜止系統中各物體都受力平衡，這個假想施加的力系稱為系統的虛力系，則此虛力系在該時刻系統無限小時間段內發生的實際位移上對應的虛功之和必為零，即

式中：Fi表示第i個虛力，因為是假想施加的力，所以稱為虛力；dri表示虛力Fi的作用點在系統無限小時間段dt內發生的實際位移；vi表示虛力Fi作用點的實際速度.

上述就是虛力原理，式（1）稱為虛力原理方程.虛力系可以隨意選取，只要能讓靜止狀態下系統中各物體都受力平衡就可以了.虛力與真實位移的點乘積或真實力與虛位移的點乘積都是虛功，所以虛力原理方程與虛位移原理方程都是虛功方程.

虛位移原理要求系統處于靜止狀態，因為該原理證明過程中用到了靜止狀態初始條件[3].但虛力原理對應的系統一開始可能就處于運動狀態.對于一個力系，不論是假想添加到系統上的虛力系，還是實際存在的真實力系，只要能讓靜止狀態下的系統受力平衡，該力系就有能力讓靜止狀態的系統繼續保持靜止狀態，即受力平衡狀態，就可以對該靜止狀態的受力平衡系統應用虛位移原理.對于定常約束系統，虛力原理中的實際無限小位移（簡稱實位移）屬于系統虛位移范疇.因此，虛力原理本質上是在虛位移原理中用虛力替代真實力、用實位移替代虛位移，即虛力原理的本質是虛位移原理必要性成立條件的另一種表述，所以無須再證明.

2 虛力原理求速度的具體應用

對于理論力學課程而言，運動學中速度分析問題重難點在剛體平面運動和點的復合運動章節，下面用虛力原理對不同問題分別予以討論.

2.1 平面運動問題

例1 如圖1a 所示，該機構在力偶M和M1共同作用下處于靜止且受力平衡狀態，即靜力學平衡狀態.OA=1 m，AB=1.5 m，BC⊥OC，各桿重量不計.已知OA桿上力偶M的大小，（1）求BC桿上的力偶M1；（2）如圖1b 所示，如果在AB桿上作用力偶M2使系統受力平衡，求M2的大小.

圖1a

圖1b

解（1）AB為二力桿（圖1a），其他桿受力如圖1c所示.

對OA桿平衡力系（圖1c）：

對BC桿平衡力系（圖1c）：

圖1c

式中，|BC|=|OA|sin60°+|AB|sin30°=1.62 m.

將式（1）（2）聯立可求解得：M1=2.80M.

（2）BC為二力桿（圖1b），其他桿受力如圖1d/1e所示.

對AB桿平衡力系（圖1d）：

圖1d

對OA桿平衡力系（圖1e）：

圖1e

將式（3）（4）聯立可求解得：M2=2.60M.

例2 在圖2a 中，OA桿勻速轉動，ω=4 rad/s，帶動系統運動，OA=1 m，AB=1.5 m.圖示位置時BC⊥OC，求此時BC桿、AB桿各自的角速度.

圖2a

解（1）求BC桿角速度ω1.分別在OA、BC桿上添加能讓系統受力平衡的虛力偶M和M1，如圖1a 所示.把圖2a 系統圖示時刻無限小時間段內的實際位移作為虛位移添加到圖1a所示平衡靜止系統上，對圖1a系統列虛功方程，即虛力原理方程：

其中，M1=2.80M（見例1（1）問的計算結果）.

將M1代入得：

（2）求AB桿角速度ω2.分別在OA、AB桿上添加能讓系統受力平衡的虛力偶M和M2，如圖1b 所示，列虛力原理方程，即虛功方程：

其中，M2=2.60M（見例1（2）問的計算結果）.

將M2代入得：

至此，例2題求解完畢.

借助虛力原理，我們在不用運動學理論情況下單純用靜力學理論和動力學理論就可求解出桿BC、AB各自的角速度.

作為比照，下面用運動學理論再次求解例2問題.

如圖2b 所示，vA=|OA|ω=4 m/s.AB桿作平面運動，以A為基點，則B點速度：

圖2b

該矢量方程分別向水平、豎直方向投影得：

可見用運動學理論與虛力原理理論，兩者求解結果相同.這也間接檢驗了虛力原理的正確性.

2.2 點的復合運動問題

例3 如圖3a 所示，偏心輪半徑為r，繞軸O轉動角速度ω=2 rad/s.圖示位置時CO⊥AO，求此時AB桿角速度ω1的值.

圖3a

解如圖3b所示，設系統在虛力偶M和M1共同作用下靜止平衡，忽略彈簧彈力（虛力系可以任意選取，只要能讓靜止系統受力平衡即可）.把圖3a 系統在圖示位置處無限小時間段內的實際位移作為虛位移添加到圖3b 所示系統中，對圖3b 系統列虛功方程，即虛力原理方程：

圖3b

圖3b中AB桿對應的平衡力系如圖3c所示，

圖3c

圖3b中圓輪對應的平衡力系如圖3d所示，

圖3d

把M和M1表達式同時代入式（5）并整理得：sin60°·rω-rω1/tan30°=0 ?ω1=0.5ω=1 rad/s.

至此，例3題求解完畢.

作為比照，下面用運動學理論再次求解例3問題.

如圖3e 所示，動點取圓輪輪心點C、動系建立在AB桿上，有

圖3e

在式（6）中，va=rω（←）；ve=|AC|ω1，ve⊥AC，|AC|=2r；vr平行于AB桿軸線.

式（6）分別向水平、豎直方向投影得：

AB桿角速度：ω1=ve/|AC|=0.5ω=1 rad/s.

可見用運動學理論和虛力原理的求解結果相同.但是用虛力原理求解時只用到了靜力學力系平衡理論和動力學理論，不涉及運動學理論；而用運動學理論求解時牽扯到一系兩點三運動等相對抽象的點的復合運動理論.

2.3 平面運動與點的復合運動綜合問題

例4 如圖4a 所示，系統靜止平衡.O1A桿水平，長度為r，b=4r，θ=30°，O2B⊥DB.不計各構件自重，求力偶M與力F之間的平衡關系.

圖4a

解O1A桿所受平衡力系如圖4b所示，且

圖4b

DB為二力桿，O2B桿所受平衡力系如圖4c 所示，且

圖4c 圖4d

DC桿所受平衡力系如圖4d所示，且

將式（8）（9）同時代入式（7）得：M=F·r.

這就是力偶M與力F之間的力學平衡關系.

例5 如圖5a所示，O1A桿長度為r，勻速定軸轉動，角速度為ω，帶動系統運動.b=4r，圖示時刻θ=30°，求此時CD桿速度v的大小.

解分別在O1A桿、CD桿上添加虛力偶M及虛力F使系統受力平衡，如圖4a所示.把圖5a所示系統在圖示時刻無限小時間段內的實際位移作為虛位移添加到圖4a 所示平衡靜止系統上，對圖4a系統列虛功方程，即虛力原理方程：

圖5a

即Mω-Fv=0，其中，M=Fr（見例4計算結果）.

將M代入上式整理得：v=rω.

至此，例5題求解完畢.

作為比照，下面用運動學理論再次求解例5問題.

如圖5b所示，以O1A桿A端點為動點、O2B桿為動系，va=ve+vr，va⊥O1A，ve⊥O2B，vr沿O2B桿軸線；va=vA=rω，ve=va·sin30°=0.5rω，O2B桿角速度

圖5b

BD桿作平面運動，由速度投影定理得：

CD桿平行移動，該桿速度：ν=νD=rω.

可見用運動學理論求解結果與上述虛力原理法求解結果相同，這也相互檢驗了兩套理論各自的正確性.

點的復合運動與剛體平面運動一直都是理論力學課程教學的重難點，是很多初學者的薄弱環節.在例5 中，虛力原理解題法比運動學理論求解方法有明顯優勢：完全避開了點的復合運動理論中動點、動系的選擇問題，也避開了速度投影定理等平面運動理論.

在理論力學教材中，物體的運動包含平行移動、定軸轉動、平面運動和相對運動（即點的復合運動）等，不同形式的運動對應著不同的速度求解理論及方法.但是在利用虛力原理求解速度時候，不同運動形式剛體卻有著相同的求解理論，即在靜力學力系平衡理論和動力學理論運用中，我們可以在完全不懂運動學理論的情況下求解出速度問題.

3 滑動摩擦力理論在速度求解中的應用

在利用虛力原理時候，引入摩擦力理論可以簡化相對速度問題的分析求解難度.

例6 如圖6a 所示，凸輪向右運動，推動AB桿向上運動.圖示時刻凸輪速度v=3m/s，α=60°，求此時AB桿速度vA及AB桿B端點在凸輪上的相對滑動速度vr的值.

解如圖6b 所示，設系統在虛力F和FA共同作用下靜止平衡，并且凸輪與AB桿之間有摩擦力，設滑動摩擦系數為f.把圖6a 所示系統在圖示時刻無限小時間段內的實際位移以虛位移形式添加到圖6b所示系統上，摩擦力做負功，列虛力原理方程：

圖6a

其中FB表示AB桿B端對凸輪的正壓力.

對于圖6b所示靜止平衡即靜力學平衡系統，凸輪、AB桿所受平衡力系依次如圖6c、6d所示.

圖6b

圖6c

對凸輪平衡力系（圖6c）：

對AB桿平衡力系（圖6d）：

圖6d

將式（11）（12）同時代入式（10）并整理得：

其中摩擦系數f可以取任何值，例如當f=0.1，f=0.2和f=0.3 時，式（13）都應該成立.這說明式（13）中所有含f項的和等于零，即

將式（14）代入式（13）并整理得：

式（15）是滑動摩擦系數f=0(即不存在摩擦力)時候系統虛力方程的化簡結果.實際上不論是否存在摩擦力，凸輪與AB桿之間的速度關系都相同.將式（14）（15)聯立求解得：

至此，例6題已求解完畢.

作為比照，下面用運動學理論再次求解例6問題.

如圖6e 所示，動點取AB桿B端點，動系建立在凸輪上，ve=v=3 m/s，va=ve+vr，該式分別向水平、豎直方向投影得：

圖6e

可見用運動學理論和用虛力原理理論，兩者求解結果相同.引入摩擦力理論以后，可以把系統的虛力原理方程式由一個裂變為兩個，然后聯立求解兩個未知數.

例7 如圖7a 所示，套環Q同時套在水平桿DE和直角彎桿ABC上.彎桿ABC繞A軸左右擺動，AB=0.2 m，A點到水平桿DE的垂直距離也為0.2 m.圖示時刻ω=5 rad/s，求此時套環Q的絕對速度v和沿ABC桿滑動的相對速度vr的值.

解如圖7b 所示，在套環Q上添加虛力F，在彎桿ABC上添加虛力偶M，設系統在F和M共同作用下靜止平衡，并且套環Q與彎桿ABC桿之間存在摩擦力，設滑動摩擦系數為f.把圖7a 所示系統在圖示時刻無限小時間段內的實際位移以虛位移形式添加到圖7b 所示靜止平衡系統上，滑動摩擦力做負功，列虛力原理方程得：

圖7a

式中FN表示彎桿ABC對套環Q的正壓力.

圖7b所示系統靜止且受力平衡，套環Q、彎桿ABC所受平衡力系依次如圖7c、7d所示.

圖7b

對套環Q平衡力系（圖7c）：

圖7c

對彎桿ABC平衡力系（圖7d）：

圖7d

由圖7e可知，|BQ|=|AB|tan35°=0.140 m.

圖7e

式（16）（17）同時代入式（18）并整理得：

其中摩擦系數f可以取任何值，例如f=0.1,f=0.2和f=0.3等時，式（19）都應該成立.這說明式（19）中所有含f項的和為零，即

式（20）代入式（19）并整理得：

上式實際上是摩擦系數f=0（即不存在摩擦力）時系統虛力方程的化簡結果.實際上不論是否存在摩擦力，套環Q與彎桿ABC之間的速度關系都相同.

將式（20）（21）聯立求解得：

至此，例7題已求解完畢.

作為比照，下面用運動學理論再次求解例7問題.

取套環Q為動點、彎桿ABC為動系（圖7e），ve=ω·|AQ|=ω·|AB|/cos35°=1.220 m/s，ve⊥AQ，va=ve+vr，該式分別向水平、豎直方向投影得：

可見用運動學理論和用虛力原理，兩者求解結果相同.但是例題7用運動學理論求解時比較抽象，很多學生尤其是初學者對牽連速度大小及方向不易接受，而用虛力原理求解時就完全避開了這些問題，解題思路及過程也很流暢.

4 結語

借助虛力原理，可以在不懂運動學理論的情況下，用靜力學理論和動力學理論聯合求解運動學中的速度問題.

對于定常約束運動學系統，例如已知A物體的速度（角速度或線速度），通過B，C，D等中間介質物體傳遞到E物體，求E物體的速度.利用虛力原理求解這類問題時，其統一解題模式為：對于A和E兩個物體，在涉及角速度的物體上添加虛力偶，在涉及線速度的物體上添加虛力，并設想系統在虛力系作用下處于靜止平衡狀態；再以實位移替代虛位移，并把虛力想象為真實力，對系統列虛功原理方程（定常約束系統中實位移屬于虛位移）；然后用靜力學力系平衡理論寫出虛力系平衡方程，并與虛功原理方程聯立求解，即可求出E物體的角速度或線速度.若引入滑動摩擦力，還能很直觀地求出物體間的相對速度.

虛力原理與虛位移原理讓靜力學和運動學成為相互對偶、相輔相成的統一體，讓靜力學和運動學這兩套原本看似毫不相干的理論有了內在聯系性，也為求解運動學中速度問題提供了新思路、新方法.