吸氣式高超聲速飛行器助推-巡航軌跡優(yōu)化

趙吉松，李 暢，王晨曦，王 濤，朱博靈，楊 美

(1. 南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016； 2. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

吸氣式高超聲速飛行器由于能夠充分利用大氣層內(nèi)的氧，降低了推進(jìn)劑的攜帶量，能夠大幅度提高推進(jìn)系統(tǒng)的性能，與火箭推進(jìn)技術(shù)相比具有顯著優(yōu)勢(shì)。吸氣式高超聲速飛行器是未來(lái)高超聲速技術(shù)的重要發(fā)展方向[1]。吸氣式或其組合推進(jìn)高超聲速飛行器具有快速響應(yīng)、突防能力強(qiáng)、廉價(jià)便捷進(jìn)入空間等優(yōu)勢(shì)，應(yīng)用前景巨大，潛在應(yīng)用領(lǐng)域包括高超聲速巡航導(dǎo)彈、臨近空間飛行器、高速商業(yè)運(yùn)輸、空天飛行器等。在航空航天運(yùn)輸方面，吸氣式高超聲速飛行器可以大幅度縮短目前航空飛行花費(fèi)的時(shí)間，同時(shí)可以節(jié)約燃料、降低空天發(fā)射成本。在軍事領(lǐng)域，隨著戰(zhàn)爭(zhēng)目的和戰(zhàn)爭(zhēng)形式的不斷改變，任務(wù)要求不斷提高，傳統(tǒng)的常規(guī)導(dǎo)彈系統(tǒng)已經(jīng)不適合一些遠(yuǎn)程快速打擊任務(wù)。吸氣式高超聲速飛行器具有飛行速度快、航程遠(yuǎn)、反應(yīng)迅速、命中率高，可以進(jìn)行全球快速打擊而且不易被攔截的特點(diǎn)，因此成為目前遠(yuǎn)程快速打擊任務(wù)的研究熱點(diǎn)[2]。世界主要航空航天大國(guó)都花費(fèi)大量的人力和物力進(jìn)行吸氣式高超聲速飛行器的相關(guān)研究，增強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵技術(shù)的研究力度，加快推進(jìn)吸氣式高超聲速飛行器的實(shí)用化。從吸氣式高超聲速飛行器在世界各國(guó)的發(fā)展?fàn)顩r來(lái)看，近期的主要應(yīng)用是在武器方面。

軌跡優(yōu)化技術(shù)貫穿吸氣式高超聲速飛行器的全壽命周期，對(duì)于吸氣式高超飛行器設(shè)計(jì)有著十分重要的科學(xué)意義和工程實(shí)際價(jià)值[3]。軌跡優(yōu)化歷來(lái)都被作為飛行器總體設(shè)計(jì)與優(yōu)化的一個(gè)重要組成部分。在吸氣式高超聲速飛行器方案論證與設(shè)計(jì)階段，任何涉及飛行器總體優(yōu)化都離不開(kāi)經(jīng)過(guò)優(yōu)化的軌跡的檢驗(yàn)。在任務(wù)運(yùn)營(yíng)階段，飛行器的設(shè)計(jì)狀態(tài)基本已定，軌跡優(yōu)化是提高飛行器性能為數(shù)不多的途徑，在某種程度上也是唯一途徑。因此，軌跡優(yōu)化對(duì)吸氣式高超聲速飛行器設(shè)計(jì)具有重要意義，是其總體設(shè)計(jì)的核心技術(shù)之一。吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)強(qiáng)耦合、高度非線(xiàn)性的復(fù)雜最優(yōu)控制問(wèn)題，求解難度比較大。吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化問(wèn)題在本質(zhì)上屬于最優(yōu)控制問(wèn)題，其求解方法主要分為間接法和直接法[4]。間接法借助變分法或者最大值原理，把泛函優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解；直接法通過(guò)對(duì)控制變量或狀態(tài)變量進(jìn)行離散把泛函優(yōu)化轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性規(guī)劃(Nonlinear programming, NLP)，然后采用各種非線(xiàn)性規(guī)劃算法求解，比如基于序列二次規(guī)劃(Sequential quadratic programming，SQP)算法的SNOPT[5]和基于內(nèi)點(diǎn)法的IPOPT[6]。直接法中的配點(diǎn)法[4]由于不需要推導(dǎo)最優(yōu)性必要條件，并且對(duì)優(yōu)化初值的敏感性比較低，容易收斂，近年來(lái)得到廣泛研究和應(yīng)用。

在吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化方面，目前國(guó)內(nèi)的相關(guān)研究[7-9]主要針對(duì)空天飛行軌跡，并且采用了比較簡(jiǎn)化的優(yōu)化模型。簡(jiǎn)化模型雖然容易優(yōu)化，但是并不能準(zhǔn)確反應(yīng)飛行器的實(shí)際情況。本文以吸氣式高超聲速巡航飛行器為研究對(duì)象，開(kāi)展火箭助推段和吸氣式飛行段軌跡建模與優(yōu)化研究。

1 吸氣式高超聲速飛行器的飛行剖面

在本文研究中，吸氣式高超聲速飛行器的軌跡任務(wù)剖面如圖1所示，助推火箭將吸氣式高超聲速飛行器從地面加速至高度18.3 km以上、速度Ma4.5以上[10]，然后助推器分離，吸氣式飛行器無(wú)動(dòng)力滑翔飛行一段時(shí)間，主要進(jìn)行狀態(tài)調(diào)整等。當(dāng)吸氣式飛行器滑翔減速至Ma4.5時(shí)，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，將巡航飛行器加速至巡航速度Ma5.1，同時(shí)爬升到某個(gè)特定的高度，然后以等高等速方式巡航飛行。由此帶來(lái)的軌跡優(yōu)化問(wèn)題是如何設(shè)計(jì)吸氣式飛行器的飛行剖面，使得其飛行總航程最大。

圖1 吸氣式高超聲速飛行器的飛行剖面

2 吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化模型

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)飛行剖面的特點(diǎn)，吸氣式高超聲速飛行器的飛行軌跡可以分為火箭助推段、無(wú)動(dòng)力滑翔段、吸氣式爬升段和吸氣式巡航段。在各個(gè)階段，描述飛行器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的微分方程組是相同的，不同之處是其中的升力、阻力、推力等參數(shù)取值不同。

本文研究吸氣式高超聲速飛行器在縱向平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)特性，可簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題。在地心固連極坐標(biāo)系中，描述飛行器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的微分方程組為:

(1)

式中：r是飛行器距地心的距離;θ是航程角;v是速度;γ是航跡角;m是飛行器質(zhì)量;g是重力加速度，g=μ/r2;μ為地球引力常數(shù)，μ= 3.98603195×1014m3/s2;T是飛行器的推力;α為攻角;L為升力;D為阻力;Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖;g0為海平面重力加速度。

為了使得攻角在各飛行階段之間連續(xù)并且能夠?qū)ソ堑淖兓俾蔬M(jìn)行限制，本文引入攻角斜率作為虛擬控制變量，即引入以下新的微分方程:

(2)

式中：u為攻角隨時(shí)間變化的角速率。

2.2 端點(diǎn)條件

火箭助推段的初始條件為:

(3)

式中：t0為初始時(shí)間；r0、θ0、v0、γ0、m0為飛行器的狀態(tài)變量各分量的初值;α0為攻角初值。

在火箭助推段的終點(diǎn)，助推器與巡航飛行器分離，分離時(shí)要求狀態(tài)變量滿(mǎn)足如下約束:

m(t1,f)=mdry+mCruiser

(4)

γ(t1,f)≥γ1f，min

(5)

α(t1,f)≥α1f，min

(6)

式中：t1,f為助推段的終端時(shí)間;mdry為火箭助推器的干質(zhì)量;mCruiser為巡航飛行器的質(zhì)量;γ1f, min、α1f, min分別為助推器分離時(shí)航跡角和攻角的下限。

無(wú)動(dòng)力滑翔段的終端約束為:

Ma(t2, f)=Ma2f

(7)

γ2f，min≤γ(t2, f)≤γ2f，max

(8)

α2f，min≤α(t2, f)≤α2f，max

(9)

h(t2,f)≥h2f

(10)

式中：t2,f為滑翔段的終端時(shí)間;Ma2f為滑翔段的終端馬赫數(shù);γ2f,min和γ2f, max為滑翔段的終端航跡角的下限和上限;α2f, min和αf2, max為滑翔段的終端攻角的下限和上限;h2f為滑翔段終端高度的下限。

吸氣式加速爬升階段的終端約束為:

Ma(t3,f)=MaCruise

(11)

γ(t3,f)=γCruise

(12)

式中：t3,f為吸氣式爬升段的終端時(shí)間;MaCruise為巡航馬赫數(shù);γCruise為巡航狀態(tài)的航跡角。

由于超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖隨馬赫數(shù)增大而減小，為了避免最優(yōu)軌跡的加速爬升段時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，本文對(duì)加速爬升段的總時(shí)間進(jìn)行限制，即:

t3,f-t3,0≤t3, max

(13)

式中：t3,0為吸氣式爬升段的初始時(shí)間，t3, max為吸氣式加速爬升段允許的最長(zhǎng)時(shí)間。

吸氣式巡航段的終端約束條件為:

m(t3,f)=mCruiser-mFuel

(14)

式中：mCruiser為巡航飛行器的燃料質(zhì)量。

2.3 結(jié)點(diǎn)連接條件

在軌跡的各段之間，狀態(tài)變量應(yīng)該保持連續(xù)(當(dāng)存在級(jí)間分離時(shí)，質(zhì)量除外)，即:

x(ti+1,0)-x(ti,f)=δxi,i=1,2,3

(15)

式中：x=[r,θ,v,γ,m,α]T為狀態(tài)向量，當(dāng)i=1時(shí)，δxi=[0, 0, 0, 0, -mdry, 0]T，其中mdry為火箭助推器的干質(zhì)量，當(dāng)i=2或3時(shí)，δxi=0。

2.4 控制變量邊界約束

在各個(gè)飛行階段，攻角均為控制變量之一。攻角及其角速率的變化范圍受到如下約束:

αmin≤α(t)≤αmax

(16)

umin≤u(t)≤umax

(17)

式中：αmin和αmax分別為攻角的下限和上限，umin和umax分別為攻角角速度的下限和上限。在不同飛行階段，這些限制參數(shù)可以取不同值。

在吸氣式飛行階段，發(fā)動(dòng)機(jī)燃料當(dāng)量比ηEQR(t)是另一個(gè)控制變量，其變化范圍的約束如下:

ηEQR，min≤ηEQR(t)≤ηEQR，max

(18)

式中：ηEQR, min和ηEQR, max分別為當(dāng)量比的邊界。

2.5 路徑約束

在火箭助推段和無(wú)動(dòng)力滑翔段，飛行器結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求動(dòng)壓不能過(guò)大，即滿(mǎn)足如下約束:

q(t)≤qS, max

(19)

式中：qS, max為飛行器結(jié)構(gòu)允許的動(dòng)壓上限。

在超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間，要求動(dòng)壓必須在合適范圍內(nèi)，即滿(mǎn)足如下約束:

qR, min≤q(t)≤qR, max

(20)

式中：qR, min和qR, max分別為吸氣式飛行器的超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作要求的動(dòng)壓下限和上限。

在吸氣式巡航段，本文采用等高、等速巡航方式，因此還需要滿(mǎn)足如下路徑約束:

(21)

(22)

(23)

2.6 氣動(dòng)力模型

在軌跡的各段，升力和阻力計(jì)算方法如下:

(24)

(25)

式中：CL和CD分別為飛行器的升力系數(shù)和阻力系數(shù)，含有助推器情況下和助推器分離后飛行器的氣動(dòng)力系數(shù)的取值不同;Sref為氣動(dòng)參考面積;ρ為大氣密度，為了提高模型的精度，本文采用美國(guó)1976版本的標(biāo)準(zhǔn)大氣密度模型[11]插值計(jì)算。

飛行器的氣動(dòng)力系數(shù)采用基于修正牛頓流模型的面元法[12]計(jì)算，即氣流撞擊到飛行器表面之后，法向動(dòng)量損失，切向動(dòng)量不變。據(jù)此可計(jì)算出飛行器表面壓強(qiáng)分布，將表面壓強(qiáng)累加并進(jìn)行黏性修正可得到氣動(dòng)力系數(shù)。圖2給出助推器和巡航器組合體的升力系數(shù)、阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)和攻角變化特性(參考面積Sref=0.154 m2)。由于組合體飛行器在上升段主要以小攻角和負(fù)攻角飛行，因而圖中主要給出小攻角和負(fù)攻角的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)。在圖2中，攻角α=0°時(shí)，升力系數(shù)為負(fù)值，這是由于吸氣式飛行器的進(jìn)氣道下唇口下傾造成的，反應(yīng)了計(jì)算結(jié)果的合理性。目前沒(méi)有對(duì)亞聲速的氣動(dòng)特性進(jìn)行仿真，在軌跡仿真計(jì)算時(shí)，亞聲速采用Ma1.1的氣動(dòng)數(shù)據(jù)。在未來(lái)研究中，可補(bǔ)充亞聲速氣動(dòng)數(shù)據(jù)，進(jìn)一步提高火箭助推段軌跡優(yōu)化模型的精度。

圖2 助推器和巡航器組合體的氣動(dòng)力系數(shù)

表1給出為巡航飛行器的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和升阻比。在攻角α= 10°附近，巡航飛行器的升阻比達(dá)到最大值，對(duì)應(yīng)的最大升阻比為(CL/CD)max= 2.96。當(dāng)攻角α= 0°時(shí)，升力系數(shù)為負(fù)值，同樣是由于吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道下唇口下傾造成的。

表1 巡航飛行器的氣動(dòng)力系數(shù)

2.7 發(fā)動(dòng)機(jī)推力模型

在火箭助推段，假設(shè)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料秒流量保持不變，那么助推段的推力為[13]:

(26)

火箭發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴管出口面積采用如下方法折算:

Aexit=ηIncrease·TBooster,SL/pSL

(27)

在吸氣式飛行段，本文根據(jù)超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道捕獲的空氣流動(dòng)計(jì)算發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，即:

(28)

進(jìn)氣道捕獲的空氣流量為:

(29)

式中：ρ為飛行高度對(duì)應(yīng)的大氣密度;v為飛行速度;SInlet為進(jìn)氣道的捕獲面積;ηNonDedign為在非設(shè)計(jì)點(diǎn)狀態(tài)的情況下進(jìn)氣道流量變化因子。

當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道不在設(shè)計(jì)點(diǎn)工作時(shí)，捕獲的空氣流量會(huì)發(fā)生變化。在設(shè)計(jì)點(diǎn)附近，進(jìn)氣道流量隨馬赫數(shù)和攻角的變化特性可采用如下線(xiàn)性描述:

(30)

式中：Ma和α為分別為巡航器的飛行馬赫數(shù)和攻角，攻角α的單位為度(°)，MaDedign為進(jìn)氣道的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)，αDedign為進(jìn)氣道的設(shè)計(jì)攻角。

根據(jù)進(jìn)氣道捕獲的空氣量，可采用如下方法計(jì)算出超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料秒流量:

(31)

式中：ηQGR表示燃油空氣比(燃料為煤油);ηEQR表示燃料當(dāng)量比;ηEQR為控制變量，通過(guò)軌跡優(yōu)化確定，其變化范圍受到式(18)約束。

超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料比沖由理論比沖經(jīng)過(guò)校正得到。其中，理論比沖取自文獻(xiàn)[12]給出的平均比沖。校正方法是使得理論比沖曲線(xiàn)在校準(zhǔn)點(diǎn)(Ma6.0)的比沖與試驗(yàn)數(shù)據(jù)一致，如圖3所示。

圖3 超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖

2.8 目標(biāo)函數(shù)

軌跡優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是總航程最遠(yuǎn)，即:

minJ=-θ(tf)

(32)

式中：θ(tf)為軌跡終端時(shí)刻飛行器的航程角。

可見(jiàn)，該軌跡優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)復(fù)雜的多段多約束最優(yōu)控制問(wèn)題，并且飛行器的氣動(dòng)力模型和發(fā)動(dòng)機(jī)推力模型都比較復(fù)雜，求解難度比較大。

3 高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化方法

3.1 基于Hermite-Simpson格式的離散方法

軌跡優(yōu)化問(wèn)題本質(zhì)上屬于最優(yōu)控制問(wèn)題。以Bolza型最優(yōu)控制問(wèn)題為例，可描述為：求解控制變量u(t)?Rm，使得如下目標(biāo)函數(shù)最小化:

(33)

式中:M:Rn×R×Rn×R→R,L:Rn×Rm×R→R,x∈Rn,u∈Rm,t∈[t0,tf]?R。

狀態(tài)方程為:

(34)

端點(diǎn)條件為:

E(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(35)

路徑約束為:

C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf]

(36)

式中：f:Rn×Rm×R→Rn,E:Rn×R×Rn×R→Re,C:Rn×Rm×R→Rc。式(33)～(36)所描述的問(wèn)題稱(chēng)為連續(xù)Bolza型最優(yōu)控制問(wèn)題。

本文采用局部配點(diǎn)法求解軌跡優(yōu)化問(wèn)題。首先利用積分變換τ=(t-t0)/(tf-t0)將軌跡優(yōu)化問(wèn)題(式(33)～(36))的時(shí)間區(qū)間變換至歸一化的時(shí)間區(qū)間τ?[0, 1]。假設(shè)單位區(qū)間[0, 1]上的N個(gè)離散節(jié)點(diǎn)為:

G={τi:τi∈[0,1],i=0,1,…,N;τ0=0,

τN=τf=1;τi<τi+1,i=0,1,…,N-1}

(37)

式中：τi稱(chēng)為離散節(jié)點(diǎn)或網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，τi在[0, 1]上可以均勻分布，也可以非均勻分布。

本文采用Hermite-Simpson格式(簡(jiǎn)記HS格式)對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行離散，該格式需要用到區(qū)間中點(diǎn)的變量和函數(shù)值，為此將區(qū)間中點(diǎn)的控制量也作為優(yōu)化變量并且在區(qū)間中點(diǎn)添加路徑約束，即:

(38)

(39)

約束條件為:

(40)

(41)

(42)

E(x0,t0,xf,tf)=0

(43)

其中:

在數(shù)值優(yōu)化時(shí)，為了使軌跡優(yōu)化問(wèn)題具有實(shí)際物理意義，還需要添加時(shí)間差約束:

Δt=tf-t0>0

(44)

3.2 序列二次規(guī)劃算法

由軌跡優(yōu)化問(wèn)題離散得到的NLP問(wèn)題為稀疏問(wèn)題，含有的約束比較多，存在一直處于激活狀態(tài)的等式約束(狀態(tài)方程離散格式約束)，并且目標(biāo)函數(shù)和約束條件的計(jì)算量較大。SQP算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的計(jì)算次數(shù)較少，對(duì)約束問(wèn)題的處理能力強(qiáng)。目前，國(guó)際上基于SQP算法已經(jīng)開(kāi)發(fā)出多款優(yōu)秀的軟件模塊，比如SOCS的內(nèi)部算法[4]，SNOPT[14]等。因此，本研究采用SQP算法求解NLP。

3.3 稀疏差分算法

采用基于梯度的方法(比如SQP算法)求解NLP時(shí)，提供其目標(biāo)函數(shù)和約束對(duì)優(yōu)化變量的偏導(dǎo)數(shù)能夠顯著提高求解效率。研究表明[15-16]，由軌跡優(yōu)化問(wèn)題離散得到的NLP問(wèn)題的偏導(dǎo)數(shù)矩陣(目標(biāo)函數(shù)和全部約束對(duì)全部自變量的偏導(dǎo)數(shù))是非常稀疏的，其中大多數(shù)元素為零(大約占比90%占以上，離散節(jié)點(diǎn)數(shù)越多偏導(dǎo)數(shù)矩陣越稀疏)。本研究采用稀疏差分算法[16]為SNOPT提供NLP問(wèn)題的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣(即雅克比矩陣，定義為目標(biāo)函數(shù)和全部約束對(duì)全部自變量的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣)。稀疏差分法通過(guò)分析偏導(dǎo)數(shù)矩陣的稀疏特性，將其中占絕大多數(shù)的零元素識(shí)別出來(lái)，然后將非零元素的值通過(guò)矩陣鏈?zhǔn)角髮?dǎo)運(yùn)算分解為原始軌跡優(yōu)化問(wèn)題的偏導(dǎo)數(shù)，最后采用有限差分法計(jì)算。此外，本文還對(duì)NLP進(jìn)行了規(guī)范化處理，以降低問(wèn)題的病態(tài)性。

4 仿真結(jié)果

4.1 軌跡優(yōu)化結(jié)果

吸氣式高超聲速飛行器各段軌跡的初始條件和終端條件見(jiàn)表2，其中橫線(xiàn)表示無(wú)約束；控制變量邊界約束的參數(shù)取值為：umin= -1 (°)/s，umax=1 (°)/s，αmin=-6°(助推段)、0°(滑翔段)、2°(吸氣式段)，αmax= 0°(助推段)、10°(滑翔段和吸氣式段)，ηEQR, min=0.2，ηEQR,max= 0.8；路徑約束的參數(shù)取值為：qS, max=150 kPa，qR, min=30 kPa，qR,max=100 kPa；火箭發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)取值為：TBoostter,SL=35.01 kN，ηIncrease= 0.18，Isp1= 240 s，pSL= 1.013×105Pa，g0= 9.8 N/s2；超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)取值為：MaDedign= 5.1，αDedign=8.5°，SInlet=0.058 m2，ηQGR=14.81；吸氣式爬升段的最長(zhǎng)時(shí)間t3, max=120 s。

表2 各段軌跡的初始條件和終端條件

圖4給出優(yōu)化的攻角和燃料當(dāng)量比隨時(shí)間變化曲線(xiàn)。其中，圓圈等符號(hào)表示離散最優(yōu)解，細(xì)實(shí)線(xiàn)為插值結(jié)果。圖5給出最優(yōu)軌跡對(duì)應(yīng)的飛行高度、馬赫數(shù)、航跡角和質(zhì)量隨時(shí)間變化曲線(xiàn)。其中，圓圈等符號(hào)表示離散最優(yōu)解，細(xì)實(shí)線(xiàn)為根據(jù)圖4所示的最優(yōu)攻角和最優(yōu)燃料當(dāng)量比對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行數(shù)值積分得到的結(jié)果。圖中已經(jīng)看不出二者差異；在巡航段的終端時(shí)刻，各個(gè)狀態(tài)變量的離散最優(yōu)解和數(shù)值積分結(jié)果的差異分別為3.49 m，-15.07 m，-0.16 m/s，0.0041°，-0.018 kg。可見(jiàn)，各狀態(tài)變量的終端差異都非常小，反應(yīng)了本文的優(yōu)化方法具有較高的精度。圖4中的攻角曲線(xiàn)表明，飛行器在火箭助推段垂直起飛，然后以較小的負(fù)攻角(-6°)轉(zhuǎn)彎，最后快速恢復(fù)到零攻角，這一特征符合工程要求。攻角在巡航段之前變化較為復(fù)雜，但是保持連續(xù)并且變化的角速度不超過(guò)設(shè)定的1 (°)/s。由圖4和圖5可知，在無(wú)動(dòng)力滑翔段的終端，攻角為4.1°，航跡角為1.5°，馬赫數(shù)為4.5，高度為18.3 km，滿(mǎn)足超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)在啟動(dòng)時(shí)對(duì)這些參數(shù)的要求。

由圖4可知，在吸氣式加速爬升段，巡航器以最大燃料當(dāng)量比工作；在吸氣式巡航飛行段，攻角從7.4°附近逐漸降低至6.5°附近，該攻角與巡航器的最大升阻比攻角存在一些差異(巡航器的最大升阻比攻角在8°～11°附近)。這是因?yàn)樽顑?yōu)軌跡除了考慮巡航飛行器的升阻力特性，還需要考慮超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的推阻特性，追求整體性能最優(yōu)。雖然巡航段是等高等速飛行，但是隨著燃料的消耗，飛行器質(zhì)量減小，需要的平衡升力也相應(yīng)減小，相應(yīng)的攻角會(huì)減小，對(duì)應(yīng)的阻力會(huì)減小，因而使得用于平衡阻力的推力也減小(即燃料當(dāng)量比減小)。

圖4 最優(yōu)控制隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

由圖5可知，飛行器在火箭助推器的推力作用下加速至一定的高度和速度，助推器分離；然后巡航飛行器滑翔一段距離，進(jìn)行飛行狀態(tài)的調(diào)整；接著超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)，飛行器在超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的推力作用下繼續(xù)加速爬升；達(dá)到巡航條件之后飛行器按照等高等速方式持續(xù)巡航飛行，巡航馬赫數(shù)為5.1，嚴(yán)格滿(mǎn)足要求，巡航高度為25.7 km(該飛行高度為軌跡優(yōu)化搜索得到的最優(yōu)高度)。

圖5 最優(yōu)狀態(tài)隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖6給出最優(yōu)軌跡的航程高度曲線(xiàn)。可見(jiàn)，飛行器的全段最大航程為1040.1 km。圖7給出最優(yōu)軌跡對(duì)應(yīng)的動(dòng)壓隨時(shí)間變化曲線(xiàn)。在助推段和無(wú)動(dòng)力滑翔段，最大動(dòng)壓不超過(guò)150 kPa，并且持續(xù)時(shí)間較短，滿(mǎn)足飛行器的結(jié)構(gòu)承載能力要求，在超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間，動(dòng)壓介于41.6 kPa和100 kPa之間，符合超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)動(dòng)壓的要求。

圖6 最優(yōu)高度-航程曲線(xiàn)

圖7 最優(yōu)動(dòng)壓隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

在計(jì)算效率方面，本研究采用MATLAB 2017編程，在微型桌面工作站上(操作系統(tǒng)Win 7，CPU Intel i5 3.4 GHz，單核參與運(yùn)算，內(nèi)存4 GB)，優(yōu)化一條最大航程軌跡耗時(shí)約2.3 s。可見(jiàn)，本研究建立的軌跡優(yōu)化方法具有較高的優(yōu)化效率。

4.2 參數(shù)影響分析

本文首先以巡航飛行器的升阻比為例，研究典型設(shè)計(jì)參數(shù)變化對(duì)最大航程的影響。圖8給出不同升阻比情況下(其它參數(shù)不變)的最優(yōu)攻角和最優(yōu)燃料當(dāng)量比隨時(shí)間變化曲線(xiàn)對(duì)比，圖9給出不同升阻比情況下的高度航程曲線(xiàn)。其中，基準(zhǔn)升阻比取上一節(jié)仿真采用的升阻比，升阻比增加或者減小通過(guò)將升力系數(shù)和阻力系數(shù)同步縮放得到。可見(jiàn)，不同升阻比對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制變量和最優(yōu)軌跡的變化趨勢(shì)類(lèi)似，但是具體取值差異明顯。表3給出升阻比變化對(duì)最優(yōu)飛行高度和最大航程的影響。可見(jiàn)，升阻比變化使得最大航程近似按比例變化。

表3 升阻比對(duì)最大航程的影響

圖8 不同升阻比情況下最優(yōu)控制隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖9 不同升阻比情況下最優(yōu)高度-航程曲線(xiàn)

采用類(lèi)似的方法，本文還研究了超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖變化對(duì)最優(yōu)軌跡的影響。圖10給出不同比沖情況下的最優(yōu)攻角和最優(yōu)燃料當(dāng)量比隨時(shí)間變化曲線(xiàn)，圖11給出不同比沖情況下的高度航程曲線(xiàn)。其中，基準(zhǔn)比沖取上一節(jié)仿真采用的比沖(參見(jiàn)圖3)。由圖10可知，不同比沖對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制變量和最優(yōu)軌跡的變化趨勢(shì)類(lèi)似。表4給出比沖變化對(duì)最優(yōu)飛行高度和最大航程的影響。可見(jiàn)，隨著比沖增加，最優(yōu)飛行高度和最大航程都增加，因?yàn)楸葲_增加意味著超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)在相同的空氣流量情況下可以產(chǎn)生更大的推力。此外，由表4可知，比沖降低時(shí)飛行器的航程變化更為敏感。

表4 比沖對(duì)最大航程的影響

圖10 不同比沖情況下最優(yōu)控制隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖11 不同比沖情況下最優(yōu)高度-航程曲線(xiàn)

可見(jiàn)，本文的軌跡優(yōu)化方法能夠快速、方便地分析設(shè)計(jì)參數(shù)變化對(duì)飛行性能指標(biāo)的影響。

5 結(jié) 論

軌跡優(yōu)化技術(shù)是吸氣式高超聲速飛行器總體設(shè)計(jì)的核心技術(shù)之一，對(duì)于充分發(fā)揮飛行器的總體性能具有重要意義。本文以吸氣式高超聲速巡航飛行器為研究對(duì)象，建立了比較詳細(xì)的火箭助推段和吸氣式飛行段的軌跡優(yōu)化模型；基于配點(diǎn)法建立了吸氣式高超聲速巡航飛行器軌跡優(yōu)化方法，即將軌跡優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)配點(diǎn)法離散轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，然后借助于規(guī)范化處理、稀疏分析和SQP算法求解非線(xiàn)性規(guī)劃得到最優(yōu)軌跡；對(duì)吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化進(jìn)行了仿真研究，給出了全段最大航程軌跡的優(yōu)化結(jié)果，并檢驗(yàn)了軌跡優(yōu)化方法的精度；最后研究了升阻比和比沖等設(shè)計(jì)參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)飛行軌跡的影響。仿真結(jié)果表明：本文建立的軌跡優(yōu)化方法能夠快速(在桌面計(jì)算機(jī)上耗時(shí)2～3 s)求解吸氣式高超聲速飛行器多段軌跡優(yōu)化問(wèn)題，具有較好的優(yōu)化能力和通用性，并且具有較高的精度，此外還能夠快速分析設(shè)計(jì)參數(shù)變化帶來(lái)的影響，展示了方法在吸氣式飛行器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用潛力。