考慮狀態約束的彈性高超聲速飛行器自適應飽和容錯控制

陳 峣，譚立國，魏毅寅，段廣仁

(1. 哈爾濱工業大學控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業大學空間基礎科學研究中心，哈爾濱 150001)

0 引 言

高超聲速飛行器具有時變快、非線性強、耦合強及不確定性大等特點[1-2]。通常采用細長體外形和輕結構設計，在發生彈性形變時可能會對飛行器的控制量產生影響，進而加大了執行器發生故障的概率[3]。另外，高超聲速飛行器主要以超燃沖壓發動機作為動力推進系統，飛行狀態變量的變化對其工作性能影響很大，只有當飛行狀態滿足相關約束條件時，超燃沖壓發動機才可以正常工作。所以，研究執行器故障和狀態約束下的彈性高超聲速飛行器的魯棒控制方法，對提升高超聲速飛行器的可靠性和安全性具有重要意義。

近年來，隨著現代控制理論的快速發展，非線性控制方法在高超聲速飛行器跟蹤控制領域中得到了廣泛應用，并取得豐富的研究成果。文獻[4-5]利用滑模控制和自適應控制，針對高超聲速飛行器剛體模型，設計了自適應滑模控制器。文獻[6]采用跟蹤微分器，設計了高超聲速飛行器動態面控制器。文獻[7]針對彈性高超聲速飛行器，將滑模控制與反步法相結合，設計了反步滑模控制器。為增強系統的魯棒性，文獻[8-9]將外界干擾、模型參數不確定性視為未知有界的系統干擾，利用非齊次觀測器對干擾進行估計，設計了高超聲速飛行器自適應快速終端跟蹤控制器。進一步考慮彈性模態對高超聲速飛行器的影響，文獻[10-11]利用超螺旋滑模控制理論，針對彈性高超聲速飛行器設計了自適應超螺旋滑模跟蹤控制器。文獻[12-15]利用智能控制算法，對彈性高超聲速飛行器跟蹤控制問題進行了研究分析。另外，高超聲速飛行器的動力推進系統為超燃沖壓發動機，只有當飛行狀態滿足一定約束時，該發動機才能正常工作[12-14]。為解決上述問題，文獻[16-17]通過引入屏障李雅普諾夫函數，針對非線性系統設計了滿足狀態約束條件的自適應控制器。文獻[18-19]利用屏障李雅普諾夫函數、反步法和自適應技術，設計了能同時滿足跟蹤性能和飛行過程中狀態約束的控制器。

在實際控制系統中，由于物理機構的限制使得執行機構提供的控制力(力矩)是有限大小的，忽略執行機構的飽和會使得所設計的控制器魯棒性降低。因此，在設計控制器時必須考慮輸入飽和問題。文獻[20-21]通過引入輔助系統，利用滑模控制理論和自適應控制算法，設計了剛體高超聲速飛行器飽和跟蹤控制器。文獻[22-24]針對彈性高超聲速飛行器設計了抗飽和的自適應反步跟蹤控制器。文獻[25]在切換控制理論的基礎上，利用線性矩陣不等式方案，設計了抗飽和切換控制器。此外，由于一體化結構設計以及高溫，高速等復雜飛行條件的影響，使得飛行器執行機構容易發生飽和，這將進一步提高執行器發生故障的頻率，從而導致系統性能下降。文獻[26]在二階滑模趨近律和有限時間觀測器的基礎上，設計了彈性高超聲速飛行器故障容錯控制器。文獻[27] 針對高超聲速飛行器，根據被動容錯思想，設計了具有容錯功能的控制器。文獻[28-29] 設計了魯棒自適應容錯控制器，該控制器可以保證系統模型參數不確定性和執行機構故障情況下高超聲速飛行器的穩定性。文獻[30] 設計了抗飽和容錯控制器，該控制器以滑模控制和自適應控制器為基礎，可以保證控制輸出滿足執行器的物理約束條件。

為進一步解決帶有多種約束條件下的彈性高超聲速飛行器跟蹤控制問題，本文采用被動容錯控制的思想，結合自適應控制、反步控制、設計了跟蹤控制器。與上述相關文獻相比，本文的主要創新點如下：

1) 在控制器設計過程中，通過引入新型正切型屏障李雅普諾夫函數來確保所設計的控制器能夠滿足高超聲速飛行器的狀態約束和跟蹤性能。

2) 與文獻[8]相比，本文通過引入雙曲正切函數處理輸入飽和問題，保證高超聲速飛行器在實際控制系統執行過程中滿足執行器機構物理約束條件。

3)與文獻[20]相比，本文同時考慮了輸入飽和、執行器故障、狀態約束等條件，使得所設計的控制策略，具有更好的工程意義。

本文的主要內容如下：首先，給出了彈性高超聲速飛行器控制模型；其次，利用反步法、雙曲正切函數和自適應控制技術，分別針對速度子系統和高度子系統設計了自適應抗飽和故障容錯跟蹤控制器，且借助Lyapunov理論證明了所設計的跟蹤控制器的速度和高度有限時間收斂性；再次，結合仿真實驗分析了所設計控制器的性能；最后，給出本文的結論。

1 模型描述及相關引理

1.1 彈性高超聲速飛行器模型

考慮到高超聲速飛行器剛體動力學和彈性動力學氣動耦合，系統模型[2]：

(1)

推力T、阻力D、升力L、俯仰角力矩M和廣義力Ni表達式為:

(2)

式中:氣動力和氣動力矩系數CT,φ(α,Δτ1,M∞)、CT(α,Δτ1,M∞,Ad)、CD(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CL(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CM(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CNi(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)為關于M∞、Ad、α、Δτ1和Δτ2的非線性函數，具體的表達式如下所示:

(3)

1.2 控制面模型

考慮氣動參數的不確定性，可得到如下的氣動力、氣動力矩以及廣義力的不確定部分的表達式:

(4)

其中:ΔCT,φ、 ΔCT、 ΔCD、 ΔCL、 ΔCM及ΔCNi的表達式如下:

(5)

在高超聲速飛行器剛體模型中將彈性模態部分視為系統擾動進行處理,考慮到空氣參數的不確定性,則進一步控制模型為:

(6)

其中:dV、dγ、dα和dq為氣動參數和彈性模態引起的系統不確定項,則dV、dγ、dα和dq的具體表述式如下所示:

其中,S為參數特征面積。

同時考慮輸入飽和及執行器故障模型如下:

φ=ρVsat(φ),δe=ρhsat(δe)

(7)

其中:ρV和ρh為失效故障因子，且滿足0<ρV<1, 0<ρh<1, sat(φ)為飽和函數。

注1：在執行器故障模型(8)中，φ和δe分別高超聲速飛行器控制系統中的發動機節流閥和舵偏角的參考輸入;ρV和ρh分別表示為速度及高度執行機構中發生的故障，且滿足于0≤ρi<1(i=V,h)。

根據式(7)，式(6)可重寫為:

(8)

控制目標：針對彈性高超聲速飛行控制系統式(8)，在控制限幅、執行機構失效的情況下，在所設計的抗飽和故障容錯控制策略作用下，能夠控制飛行器對速度參考信號Vd和高度參考信號hd進行快速穩定高精度跟蹤，同時保證攻角、俯仰角、俯仰角速率滿足給定狀態約束條件。

2 控制器設計

針對速度和高度兩個子系統，根據被動容錯思想、結合反步法和自適應控制方法，分別設計了自適應抗飽和的故障容錯控制器，通過引入新型屏障李雅普諾夫函數，能夠保證系統狀態在飛行過程中滿足狀態約束條件。

為方便控制器的設計，給出以下引理。

引理1[27].對于任意實數x和非零實數y，下面不等式成立:

0≤|x|(1-tanh(|x/y|))≤α|y|

(9)

其中:α>0，其最小值α*滿足α*=x*(1-tanhx*)，則x*滿足方程e-2x*+1-2x*=0。

2.1 速度子系統控制器設計

定義速度跟蹤誤差zV:

zV=V-Vd

(10)

其中:Vd為速度參考信號。

對式(10)求導:

(11)

為處理執行器輸入飽和問題，引入光滑雙曲正切函數如下:

sat(φ)=h(φ)=φ+Δφ

(12)

h(φ)=φmaxtanh(φ/φmax)

(13)

其中:φmax為正常數。

根據式(12)，則(11)可重寫為:

(14)

假設1：在系統(14)中，干擾gVρVΔφ+dV(t)存在未知上界，則滿足下列不等式:

|gVρVΔφ+dV(t)|≤εV

(15)

其中:εV為未知正常數。

為了保證速度期望的跟蹤性能|zV|≤AzV，其中AzV>0，定義屏障李雅普諾夫函數如下:

(16)

對式(16)求導可得:

(17)

根據式(17)，利用反步法和自適應算法，設計了帶有狀態約束的自適應飽和故障容錯控制器:

(18)

(19)

(20)

其中:kV1、ξV、λV1和λV 2為正常數。

定理1.考慮系統(8)，且滿足假設條件1，在控制器(18)和自適應律(19)～(20)作用下，則跟蹤誤差變量zV收斂到如下區域:

(21)

其中:cV和cV 0是與控制器參數相關的常數。

證明：選取李雅普諾夫函數如下:

(22)

利用式(18)對V1求導整理可得:

(23)

由引理1可知，下列不等式成立:

(24)

將式(24)代入式(23)整理可得:

(25)

令

cV=min{kV1,λV1,λV 2}

(26)

(27)

根據式(26)～(27)，式(25)可以整理為:

(28)

對式(28)求解可得:

(29)

由式(29)可得V1(t)≤V1(0)，即V1(t)是有界的，聯合屏障李雅普諾夫函數式(16)，可得不等式如下:

(30)

進一步可得:

(31)

定理1證畢。

2.2 高度子系統控制器設計

高度誤差變量zh定義為:

zh=h-hd

(32)

其中:hd為速度參考信號。

對式(32)求導:

(33)

進一步可得期望的航跡角信號:

(34)

其中:kh1>0是常數。

為了系統的反饋形式，下式將式(8)進行轉化:

(35)

假設2.在高度系統模型(35)中，總的干擾項dγ和dα有界，且滿足式:

|dγ|≤εγ, |dα|≤εα

(36)

其中:εγ>0和εα>0且未知。

Step1：航跡角跟蹤誤差變量zγ定義:

zγ=γ-γc

(37)

對式(37)求導可得:

(38)

為了保證航跡角期望的跟蹤性能|zγ|≤Azγ，其中:Azγ>0，定義屏障李雅普諾夫函數如下:

(39)

對式(39)求導可得:

(40)

根據式(40)，設計虛擬控制器αc如下:

(41)

(42)

其中:kγ1、ξγ和λγ為正常數。

為了克服對虛擬控制器αc多次微分所導致計算復雜問題，引入一階命令濾波器如下:

(43)

其中:αc和αd分別為一階命令濾波器的輸入及輸出信號，且τ1為正常數。

定義濾波器微分跟蹤誤差yα為:

yα=αd-αc

(44)

將虛擬控制器式(41)代入式(40)整理可得:

(45)

Step2：定義攻角誤差zα=α-αc，并求導得:

(46)

為保證攻角期望的跟蹤性能|zα|≤Azα，其中Azα>0，定義屏障李雅普諾夫函數如下:

(47)

對式(47)求導可得:

(48)

根據式(46)，設計虛擬控制器qc如下:

(49)

(50)

其中:kα1,ξα和λα為正常數。

為克服對虛擬控制器qc多次微分所導致計算復雜，引入一階命令濾波器如下:

(51)

其中:qc和qd分別為命令濾波器的輸入和輸出信號，且τ2為正常數。

定義濾波器微分跟蹤誤差yq為:

yq=qd-qc

(52)

將式(49)代入(48)整理可得:

(53)

Step3：定義俯仰角速率跟蹤誤差zq=q-qd，并求導可得:

(54)

為了處理執行輸入飽和問題，引入光滑雙曲正切函數如下:

sat(δe)=h(δe)=δe+Δδe

(55)

h(δe)=δemaxtanh(δe/δemax)

(56)

其中:δemax為正常數。則式(54)可重寫為:

(57)

假設3：在系統(57)中，干擾gqρhΔδe+dq存在未知上界，則滿足下列不等式:

|gqρhΔδe+dq|≤εh

(58)

其中，εh為未知正常數。

為保證俯仰角速率期望的跟蹤性能|zq|≤Azq，其中Azq>0，定義屏障李雅普諾夫函數如下:

(59)

對式(59)求導可得:

(60)

根據式(57)，結合自適應控制算法，設計了帶有狀態約束的飽和故障容錯控制器如下:

(61)

(62)

(63)

其中:kq1、ξq、λq1和λq2為正常數。

定理2.考慮系統(35)且滿足假設條件2，在控制器式(61)和自適應律式(62)～(63)作用下為制導律，誤差變量zh、zγ、zα和zq漸近收斂到如下區域。

(64)

其中：ch0和ch是與控制器參數相關的常數。

證明.考慮李雅普諾夫函數

(65)

利用式(40)、(53)、(60)、(61)對式(65)求導可得:

(66)

由引理1可知，下列不等式成立:

(67)

將式(67)代入式(66)整理可得:

0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(68)

根據：

(69)

(70)

將式(69)和式(70)代入式(68)整理可得:

0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(71)

令

(72)

0.2785ξγδγ+0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(73)

利用式(72)和式(73)，式(71)可整理為：

(74)

對式(72)求解可得:

(75)

由式(75)可得V2(t)≤V2(0)，即V2(t)是有界的，聯合屏障李雅普諾夫函數式(39)、(47)和(59)，可得不等式如下:

(76)

(77)

(78)

進一步可得:

(79)

(80)

(81)

定理2證畢。

3 仿真分析

為了定量分析本文所設計控制策略的性能，對非線性運動方程(1)和氣動模型(2)～(3)進行仿真，參考文獻[2]中氣動參數,見表1。

表1 高超聲速飛行器參數

3.1 執行器無故障的仿真分析

高超聲速飛行器期望速度指令為Vd=4650.3 m/s，期望高度指令為hd=34328 m，控制參數選取如下：AzV=3、kV1=0.54、ξV=0.01、λV1=0.02、λV 2=0.02、kh1=0.1、kγ1=0.5、ξγ=ξq=ξα=0.01、λγ=λα=λq1=λq2=0.02、τ1=τ2=0.02、kα1=0.3、kq1=0.46和Azγ=Azα=Azq=0.15。則仿真結果如圖1～圖5所示。

圖1 速度跟蹤曲線

圖2 高度跟蹤曲線

圖3 控制輸入φc和δe曲線

圖4 狀態變量γ,α和q曲線

圖5 彈性模態η1和η2曲線

從圖1～圖2分別給出了速度和高度的跟蹤曲線仿真結果可知，即使存在外界干擾、模型參數不確定性和輸入飽和情形下，速度誤差和高度誤差在有限時間內收斂到零的附近區域，能夠滿足跟蹤性能。從圖3給出控制輸入曲線可知，控制輸入在整個控制過程中是有界的。由圖4給出飛行器的其他狀態曲線可知，航跡角、攻角和俯仰率在短時間內趨于穩態值且滿足預期的狀態約束條件。圖5描述了彈性模型的曲線，表明彈性模態變量η1和η2在經歷較短暫態后趨于穩定值。

3.2 帶有執行器故障的仿真分析

為驗證所設計控制器對執行器發生故障時的有效性，控制參數和參考信號與3.1節相同，在仿真中，假設故障形式如式(82)所示，其仿真結果如圖6～圖11所示。

圖6 速度跟蹤曲線

圖7 高度跟蹤曲線

圖8 控制輸入φc和δe曲線

圖9 狀態變量γ和α曲線

圖10 俯仰角速率q曲線

圖11 彈性模態η1和η2曲線

(82)

圖6～圖7分別給出了兩個狀態的跟蹤結果，從圖中可以看出，當飛行器發生執行機構失效故障時，所設計的容錯控制器能夠快速自動調整控制增益，以實現對故障影響的有效處理，使得速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差均在較短時間內收斂到平衡點，且其精度達到了控制系統的性能要求。圖8所產生的控制變化曲線，從圖中可以看出，輸入曲線變化平緩，并能夠滿足執行器物理受限的要求。從圖9～圖10所示的高超聲速飛行器其它狀態量的變化曲線可知，當控制器發生故障時，由于控制器對故障進行有效處理，使得較短的時間內航跡角γ，攻角α和俯仰角θ迅速趨于穩定，且各個誤差變量zγ、zθ和zq分別快速的收斂至|zγ|≤0.15、|zθ|≤0.15和|zq|≤0.15。圖11為執行機構故障下的彈性狀態變化曲線，彈性模態變量η1和η2在較短時間內趨于穩態值，并能保持在一定范圍內變化。

4 結論

本文針對帶有狀態約束的高超聲速飛行器跟蹤控制問題進行了深入的研究，同時考慮到彈性耦合、執行器輸入受限和執行器故障的工程實際需求，在構造一種新型屏障李雅普諾夫函數基礎上，利用反步法、雙曲正切函數、一階濾波器和自適應控制技術，提出了一種自適應抗飽和故障容錯控制策略，通過屏障李雅普諾夫函數的有界性，使得所設計的控制策略在滿足飛行狀態約束的同時具有良好的控制性能。借助李雅普諾夫函數對所設計的控制器進行了穩定性證明，并通過仿真分析進一步驗證了所設計控制策略的性能。