微納衛(wèi)星星座的Kuhn-Munkres匹配部署優(yōu)化方法

劉思陽(yáng),蒙 濤,2,雷家坤,金仲和,2

(1. 浙江大學(xué)微小衛(wèi)星研究中心，杭州 310027; 2. 浙江省微納衛(wèi)星研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027)

0 引 言

微納衛(wèi)星星座因成本低、研制周期短、構(gòu)型和功能靈活等特點(diǎn)獲得了廣泛的應(yīng)用空間。為降低發(fā)射成本，一箭多星發(fā)射成為星座發(fā)射與部署組網(wǎng)的主要方式。據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年全球共進(jìn)行102次航天發(fā)射，單發(fā)火箭發(fā)射航天器的平均數(shù)量接近5，包括一箭60星發(fā)射的StarLink衛(wèi)星以及一箭34星發(fā)射的OneWeb衛(wèi)星。一箭多星發(fā)射要求衛(wèi)星通過(guò)軌道控制進(jìn)入目標(biāo)軌位，對(duì)微納衛(wèi)星而言仍有許多問(wèn)題亟待解決。首先，微納衛(wèi)星部署希望盡量減少燃料預(yù)算并使各衛(wèi)星燃耗量均衡，從而提高星座整體的長(zhǎng)期軌控能力。其次，微納衛(wèi)星面臨推力大小、推力器開(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)受限的問(wèn)題，傳統(tǒng)大衛(wèi)星的軌控方案并不適用。同時(shí)，為使星座快速投入在軌服務(wù)，對(duì)部署時(shí)間的把控也同樣重要。此外，實(shí)際中受發(fā)射順序、發(fā)射時(shí)間差、發(fā)射速度等不確定因素的影響，或衛(wèi)星在部署之前已經(jīng)歷較長(zhǎng)時(shí)間在軌而產(chǎn)生位置漂移，許多情況下衛(wèi)星初始位置在不同的軌道面而并非集中到空間一點(diǎn)。因此，一箭多星發(fā)射背景下的微納星座部署問(wèn)題應(yīng)視為以燃料消耗和衛(wèi)星燃耗量均衡性為優(yōu)化目標(biāo)，以部署時(shí)間、推進(jìn)能力和始末狀態(tài)為約束的綜合優(yōu)化問(wèn)題。本文研究一箭多星發(fā)射背景下一個(gè)軌道面的優(yōu)化部署，將具有軌道高度、升交點(diǎn)赤經(jīng)、緯度輻角三維位置差異的衛(wèi)星群部署到同一軌道面不同目標(biāo)相位。

星座部署可劃分為部署規(guī)劃和部署控制兩階段。部署規(guī)劃解決衛(wèi)星目標(biāo)位置的分配問(wèn)題，在以往研究中常隨機(jī)指定或依靠簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)規(guī)則實(shí)現(xiàn)。因?yàn)楫?dāng)衛(wèi)星初始位置簡(jiǎn)化為一點(diǎn)、部署精度要求不高或燃料充足時(shí)，衛(wèi)星目標(biāo)位置的分配對(duì)系統(tǒng)的影響微小。部署控制解決已知始末狀態(tài)的軌道控制問(wèn)題，關(guān)鍵在于節(jié)約燃料，包括異軌部署控制和同軌部署控制。異軌部署控制一般通過(guò)多次發(fā)射并配合發(fā)射窗口實(shí)現(xiàn)，或借助環(huán)境攝動(dòng)實(shí)現(xiàn)軌道面的緩慢分離[1-2]。例如，六顆微納衛(wèi)星組成的FORMOSAT-3/COSMIC星座利用地球扁率攝動(dòng)下不同高度的軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移速率不同的特征，于2006年4月完成軌道面分離[3]。文獻(xiàn)[4]通過(guò)半長(zhǎng)軸調(diào)整間接控制全球星的升交點(diǎn)回歸經(jīng)度。文獻(xiàn)[5]研究了利用J2攝動(dòng)和微推力作用實(shí)現(xiàn)半長(zhǎng)軸、升交點(diǎn)赤經(jīng)和傾角調(diào)整的四種策略及對(duì)應(yīng)燃耗。此類(lèi)方法以部署時(shí)間為代價(jià)，降低了多次發(fā)射的發(fā)射成本。

同軌部署控制的重點(diǎn)是相位控制，最基本的方法是依靠半長(zhǎng)軸差實(shí)現(xiàn)相位調(diào)整。文獻(xiàn)[6]通過(guò)調(diào)整半長(zhǎng)軸間接調(diào)整相對(duì)相位進(jìn)而實(shí)現(xiàn)軌道面內(nèi)的星座相位控制。文獻(xiàn)[7]采用兩次切向機(jī)動(dòng)軌道轉(zhuǎn)移完成相位調(diào)整。文獻(xiàn)[8]根據(jù)相同原理提出一種基于李雅普諾夫的集群長(zhǎng)期相對(duì)相位控制策略。以上方法僅關(guān)注相位調(diào)整效果，忽略升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移和共面控制。依靠氣動(dòng)阻力差、太陽(yáng)光壓差及其與軌道機(jī)動(dòng)的配合作用實(shí)現(xiàn)相位控制，可極大的減少燃料消耗[9]。文獻(xiàn)[10]以氣動(dòng)阻力差為軌道調(diào)整的唯一手段，研究了CYGNSS星座的部署策略，獲得同軌8星均勻分布的構(gòu)型。文獻(xiàn)[11]調(diào)整展開(kāi)機(jī)構(gòu)姿態(tài)獲得阻力差，實(shí)現(xiàn)同軌衛(wèi)星相位分離，在仿真中將這一方法應(yīng)用到Flock星座中部署。利用差分阻力實(shí)現(xiàn)無(wú)推進(jìn)能力衛(wèi)星的軌道修正和衛(wèi)星位置保持[12-14]的案例也可為星座部署提供參考。但此類(lèi)方法對(duì)于姿態(tài)或展開(kāi)機(jī)構(gòu)具有固定指向需求的衛(wèi)星并不適用。此外，依靠軌道機(jī)動(dòng)可實(shí)現(xiàn)快速入軌，此類(lèi)方法的關(guān)鍵是軌跡與燃料的最優(yōu)化問(wèn)題[15-16]。例如，文獻(xiàn)[17]對(duì)燃料和時(shí)間最優(yōu)路徑規(guī)劃與軌道機(jī)動(dòng)策略進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[18]采用狀態(tài)依賴(lài)Riccati方程方法給出了無(wú)徑向推力的交會(huì)對(duì)接和編隊(duì)星重構(gòu)的最優(yōu)軌道控制。此類(lèi)方法適用于轉(zhuǎn)移距離較短、燃料充足、對(duì)控制精度和時(shí)效要求較高的衛(wèi)星，不局限于同軌部署，因而在編隊(duì)捕獲和交會(huì)對(duì)接中更常見(jiàn)。星座的同軌部署涉及相位分離和共面控制，但目前關(guān)于同軌相位分離的研究將所有衛(wèi)星初始位置近似到一個(gè)點(diǎn)且忽視共面控制，即部署過(guò)程中的升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移。這種簡(jiǎn)化無(wú)法評(píng)估停泊階段的相對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移，需浪費(fèi)大量額外燃料進(jìn)行升交點(diǎn)赤經(jīng)修正。

本文將軌道高度、升交點(diǎn)赤經(jīng)、緯度輻角均不相同的衛(wèi)星群部署到同一軌道面不同目標(biāo)相位，這一場(chǎng)景可看作星座的同軌部署，也可看作“空間-平面”的構(gòu)型變換任務(wù)，具有更強(qiáng)的普適性。部署規(guī)劃方面，利用衛(wèi)星初始位置差異和停泊階段相對(duì)漂移可在J2攝動(dòng)的作用下相互補(bǔ)償?shù)幕舅枷耄谛l(wèi)星位置可互換的假設(shè)，首次嘗試將Kuhn-Munkres(KM)算法引入星座部署并作適應(yīng)性改進(jìn)實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星與目標(biāo)位置的優(yōu)化匹配，節(jié)約部分燃料同時(shí)提高各星燃耗量的均衡性。對(duì)于傾角較低、目標(biāo)相位分布較廣、初始升交點(diǎn)赤經(jīng)處于±0.7°范圍內(nèi)的星群優(yōu)化效果突出。部署控制方面，利用軌道高度差和J2攝動(dòng)實(shí)現(xiàn)相位分離的同時(shí)盡量修正升交點(diǎn)赤經(jīng)。采用切向N次有限常值推力機(jī)動(dòng)實(shí)現(xiàn)軌道機(jī)動(dòng)，適用于推力大小受限，開(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)受限的微納衛(wèi)星推進(jìn)系統(tǒng)。

1 星座部署優(yōu)化問(wèn)題建模

初始時(shí)刻，各星半長(zhǎng)軸、升交點(diǎn)赤經(jīng)、緯度輻角各不相同。為把各星部署至同一軌道面，需要進(jìn)行緯度輻角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和半長(zhǎng)軸調(diào)整，如圖1所示。由于J2攝動(dòng)對(duì)偏心率和傾角無(wú)長(zhǎng)期影響，無(wú)法利用J2攝動(dòng)對(duì)二者進(jìn)行修正，在本文的討論中假設(shè)各星傾角和偏心率相同。低軌微納衛(wèi)星星座一般運(yùn)行在圓軌道上，本文偏心率取0。

圖1 衛(wèi)星初始位置與目標(biāo)位置示意圖

J2攝動(dòng)下的平均軌道要素?cái)z動(dòng)方程[19]為：

(1)

式中：a為軌道半長(zhǎng)軸;e為偏心率;i為傾角;Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng);w為近地點(diǎn)輻角;M為平近點(diǎn)角;n為平均角速度;J2為攝動(dòng)常數(shù);Re為地球半徑。

1.1 緯度輻角調(diào)整

(2)

緯度輻角調(diào)整所需時(shí)間為:

(3)

1.2 升交點(diǎn)赤經(jīng)調(diào)整

圓軌道中，J2攝動(dòng)引起的升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移速率與平均角速度、半長(zhǎng)軸和傾角的關(guān)系為:

(4)

由此可利用兩星半長(zhǎng)軸差間接調(diào)整相對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)[4]。此外，升交點(diǎn)赤經(jīng)還可由法向推力直接修正(以下稱(chēng)直接修正法)。修正ΔΩ所需速度增量為[20]:

(5)

(6)

法向推力也會(huì)改變傾角，傾角改變量Δi與法向推力ΔVi的關(guān)系為:

(7)

(8)

(9)

式中：ΔVΩ+i為聯(lián)合修正燃耗;i0為初始傾角;u1,u2為兩次機(jī)動(dòng)的緯度輻角。

當(dāng)小推力衛(wèi)星無(wú)法一次性輸出全部速度增量時(shí)，可以在最佳修正位置附近適當(dāng)延長(zhǎng)推力器開(kāi)機(jī)時(shí)間(總?cè)己膶⒋笥讦min)，或者在最佳修正位置附近開(kāi)機(jī)較短時(shí)間，每軌開(kāi)機(jī)兩次，直至速度增量輸出完畢(總?cè)己募s為ΔVmin)。為方便計(jì)算和比較，下文在升交點(diǎn)赤經(jīng)修正燃耗的理論計(jì)算中均取最小燃耗。在數(shù)值仿真中，取修正時(shí)間和燃耗的折中方案，即在最佳修正位置附近延長(zhǎng)開(kāi)機(jī)時(shí)間。

1.3 半長(zhǎng)軸調(diào)整與推力模型

切向N次有限常值推力機(jī)動(dòng)可實(shí)現(xiàn)半長(zhǎng)軸調(diào)整[20]，對(duì)推力大小和開(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)無(wú)特殊要求。期間衛(wèi)星沿特定弧線(xiàn)飛行至目標(biāo)位置，飛行軌跡由N段推力作用區(qū)間和N-1段自由飛行區(qū)間組成，可配合推力器開(kāi)機(jī)-關(guān)機(jī)時(shí)間執(zhí)行。設(shè)徑向轉(zhuǎn)移距離為Δz，則每段推力作用區(qū)間的速度增量為:

(10)

總速度增量為:

(11)

式中：n為目標(biāo)軌道平均角速度。轉(zhuǎn)移總時(shí)間為:

ΔT=TonN+Toff(N-1)

(12)

軌道轉(zhuǎn)移期間衛(wèi)星航向轉(zhuǎn)移距離和轉(zhuǎn)移角分別為:

(13)

(14)

根據(jù)半長(zhǎng)軸與偏心率聯(lián)合調(diào)整方法[20]，在緯度輻角為u和u+π時(shí)執(zhí)行兩次速度增量相等的軌道機(jī)動(dòng)，半長(zhǎng)軸調(diào)整不改變偏心率。實(shí)際執(zhí)行時(shí)可在兩個(gè)機(jī)動(dòng)點(diǎn)附近延長(zhǎng)開(kāi)機(jī)弧段，每軌執(zhí)行兩次對(duì)稱(chēng)的軌道機(jī)動(dòng)，配合切向N次有限常值推力機(jī)動(dòng)直至ΔVa輸出完畢。

推力器連續(xù)開(kāi)機(jī)時(shí)間為T(mén)on，推力間隔時(shí)間為T(mén)off，可輸出的最大推力為tmax，則T時(shí)刻實(shí)際推力t為:

(15)

若推力器持續(xù)工作，可將推力間隔時(shí)間Toff取0，對(duì)應(yīng)連續(xù)常值推力機(jī)動(dòng)。

1.4 星座部署優(yōu)化模型

半長(zhǎng)軸、緯度輻角、升交點(diǎn)赤經(jīng)三者之間存在耦合關(guān)系[21]，緯度輻角和升交點(diǎn)赤經(jīng)可由軌道高度間接控制。因此可通過(guò)優(yōu)化停泊軌道高度以及衛(wèi)星與目標(biāo)緯度輻角之間的匹配關(guān)系，盡量使各星的升交點(diǎn)赤經(jīng)和緯度輻角得到同步控制。當(dāng)二者沖突時(shí)，優(yōu)先確保緯度輻角的控制精度，最后由直接修正法修正升交點(diǎn)赤經(jīng)余量。

(16)

(17)

sk星軌道高度轉(zhuǎn)移所需速度增量為:

(18)

sk星總速度增量(總?cè)己?為:

(19)

K個(gè)衛(wèi)星的平均燃耗為:

(20)

燃耗量均衡性可由各星總速度增量的方差評(píng)估:

(21)

單星部署時(shí)間由停泊軌道運(yùn)行時(shí)間和兩次軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間組成:

(22)

(23)

TonNm2+Toff(Nm2-1)

(24)

T=maxTk

(25)

(26)

2 星座部署優(yōu)化問(wèn)題求解

鑒于星座部署問(wèn)題可利用許多先驗(yàn)知識(shí)來(lái)提高求解質(zhì)量和效率，本文通過(guò)理論分析逐步確定優(yōu)化變量或盡量縮小優(yōu)化變量的取值范圍，將部署優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化為衛(wèi)星與目標(biāo)緯度輻角(目標(biāo)位置)的匹配。將其看作帶權(quán)值的二分圖匹配問(wèn)題，采用KM算法求最優(yōu)解。該算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，無(wú)需迭代，能夠快速給出優(yōu)化結(jié)果。

2.1 目標(biāo)軌道與停泊軌道的確定

從節(jié)約燃料的角度考慮，初始軌道較高的衛(wèi)星期望較高的停泊軌道(與目標(biāo)軌道相比)；初始升交點(diǎn)赤經(jīng)較小的衛(wèi)星也期望較高的停泊軌道以便借助軌道高度差修正更多的升交點(diǎn)赤經(jīng)余量；由于目標(biāo)緯度輻角未確定，相位對(duì)停泊軌道高度的期望不明確。因此，當(dāng)初始軌道高度和升交點(diǎn)赤經(jīng)對(duì)停泊軌道高度期望一致時(shí)，可縮小停泊軌道高度的取值范圍；當(dāng)二者沖突時(shí)則需遍歷全部備選停泊軌道。在此基礎(chǔ)上挑選目標(biāo)相位，使得三者盡量依靠自然運(yùn)動(dòng)和最小燃耗得到同步調(diào)整。引入期望因子F來(lái)描述衛(wèi)星對(duì)停泊軌道高度的偏好：

(27)

適合衛(wèi)星sk的停泊軌道半長(zhǎng)軸取值范圍為:

(28)

式中：amax為軌道調(diào)整量約束。據(jù)此可先計(jì)算每個(gè)衛(wèi)星對(duì)于每個(gè)目標(biāo)位置的最佳停泊軌道高度及最小燃耗，再經(jīng)過(guò)綜合優(yōu)化匹配為各星分配最合適的位置，停泊軌道高度也隨之確定。步驟如下：

1)衛(wèi)星sk計(jì)算從初始緯度輻角運(yùn)動(dòng)至各目標(biāo)緯度輻角所需走過(guò)的弧度值：

(29)

2)衛(wèi)星sk對(duì)于每個(gè)目標(biāo)緯度輻角，遍歷自身全部備選的停泊軌道，根據(jù)式(19)、(22)計(jì)算到達(dá)該緯度輻角的燃料成本和時(shí)間成本，并找出自身對(duì)于每個(gè)緯度輻角的最優(yōu)停泊軌道及其部署成本。對(duì)固定的初始位置和目標(biāo)位置，部署時(shí)間與燃耗呈單調(diào)性關(guān)系，對(duì)一個(gè)參數(shù)有明確期望時(shí)最優(yōu)解很容易選擇。例如，某星初始高度為495 km，目標(biāo)高度為498.5 km，計(jì)劃走過(guò)200°或160°到達(dá)目標(biāo)位置。圖2顯示了較高或較低兩種停泊軌道(與目標(biāo)軌道相比)對(duì)應(yīng)的部署燃耗與部署時(shí)間關(guān)系。若要求部署任務(wù)在30天內(nèi)完成，則可選擇圖中陰影區(qū)域內(nèi)的解，但滿(mǎn)足時(shí)間要求的最佳解為三角形標(biāo)注的解。

圖2 基于燃耗與部署時(shí)間的最優(yōu)停泊軌道選擇

3)遍歷全部衛(wèi)星，獲得每個(gè)衛(wèi)星對(duì)于每個(gè)目標(biāo)緯度輻角的最優(yōu)停泊軌道高度及其最小燃耗。

2.2 基于KM算法的目標(biāo)位置優(yōu)化匹配

衛(wèi)星需要從K個(gè)目標(biāo)緯度輻角中選擇一個(gè)作為自身目標(biāo)位置。這一過(guò)程實(shí)際上是各星帶著自身最小到達(dá)成本(燃耗)挑選目標(biāo)位置的過(guò)程，使自身總?cè)己谋M量小的同時(shí)還需綜合考慮星座燃耗的優(yōu)化與均衡，實(shí)現(xiàn)星座部署成本的整體優(yōu)化。

2.2.1Kuhn-Munkres算法

Kuhn-Munkres算法由Kuhn[22]和Munkres[23]二人分別在1955年和1957年獨(dú)立提出，簡(jiǎn)稱(chēng)KM算法，被廣泛運(yùn)用于帶權(quán)完全二分圖的最優(yōu)匹配問(wèn)題。若將衛(wèi)星和目標(biāo)位置看作一個(gè)無(wú)向圖的點(diǎn)集合，衛(wèi)星與位置之間的匹配關(guān)系看作無(wú)向圖的邊，衛(wèi)星到達(dá)各位置所需的最小燃耗看作邊的權(quán)值，這一問(wèn)題即為典型的帶權(quán)值的二分圖最優(yōu)匹配問(wèn)題，可用KM算法獲得最優(yōu)解。由于每個(gè)衛(wèi)星必定對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)位置，因此在約束條件設(shè)置合理時(shí)必定能夠找到該二分圖的完美匹配。二分圖是否存在完美匹配可由Hall匹配定理及其推論得出。若無(wú)法得到此二分圖的完美匹配，則表明約束條件設(shè)置不合理，應(yīng)調(diào)整部署時(shí)間約束或軌道調(diào)整量約束。

設(shè)帶權(quán)完全二分圖G=(S,P,E,W),頂點(diǎn)集S={s1,s2,…,sk}代表衛(wèi)星，頂點(diǎn)集P={p1,p2,…,pk}代表目標(biāo)位置。邊集E代表衛(wèi)星與位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系，若在規(guī)定時(shí)間和規(guī)定軌道調(diào)整量?jī)?nèi)，某星sk能夠達(dá)到某位置j，則邊skpj存在。邊skpj的權(quán)值用wkj=w(skpj)描述，表示衛(wèi)星sk對(duì)于位置pj的最小達(dá)到成本(最小燃耗)。由于KM算法默認(rèn)尋找最大權(quán)匹配，應(yīng)先對(duì)權(quán)值wkj取倒數(shù)。KM算法的詳細(xì)研究可參考文獻(xiàn)[24]，本文僅簡(jiǎn)要說(shuō)明其過(guò)程。Kuhn-Munkres算法步驟如下：

1)為頂點(diǎn)集S、P取平凡標(biāo)號(hào)l,確定l相等子圖Gl，并從Gl中選取任意匹配M。

2)由M出發(fā)，用匈牙利算法求出Gl的最大匹配M′。如M′是完美匹配，則M′是最優(yōu)匹配，計(jì)算結(jié)束,否則轉(zhuǎn)步驟3)。

3)計(jì)算更新量αl更新標(biāo)號(hào)l并返回步驟1)。

(30)

(31)

KM算法中用到匈牙利算法求解二分圖的最大匹配，匈牙利算法步驟如下：

1)取G的任意匹配M。

2)若M包括S中全部頂點(diǎn)，計(jì)算結(jié)束,否則轉(zhuǎn)步驟3)。

3)在S中尋找M匹配的非飽和點(diǎn)s，令Q={s},B=?。其中：符號(hào)Q代表圖G中任意頂點(diǎn)集合。符號(hào)B代表頂點(diǎn)集P中，在匹配M下與集合A={s|s∈S-u}中頂點(diǎn)配對(duì)的頂點(diǎn)集合，其中u為S中關(guān)于匹配M的非飽和點(diǎn)。

4)若點(diǎn)集Q的鄰集|NG(Q)|=|B|,計(jì)算結(jié)束。否則，在NG(Q)-B中任選一個(gè)頂點(diǎn)p。

5)如p為M匹配的飽和點(diǎn)，轉(zhuǎn)步驟6)。否則找到從s到p的M-可擴(kuò)路R，作對(duì)稱(chēng)差得M=MΔE(R),轉(zhuǎn)步驟2)。

6)找到與p匹配的點(diǎn)s，令Q=Q∪{s},B=B∪{y}，轉(zhuǎn)步驟4)。

2.2.2KM算法實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星位置匹配

圖3 KM算法實(shí)現(xiàn)3星優(yōu)化匹配過(guò)程

1)從s1出發(fā)進(jìn)行匹配，s1與p3頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)之和與邊權(quán)重相同，匹配成功(圖3(b))。

2)從s2出發(fā)進(jìn)行匹配，只有s2與p3頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)之和與邊權(quán)重相同但s1與s2產(chǎn)生沖突，匹配失敗。

3)為參與沖突的頂點(diǎn)s1、s2、s3更新標(biāo)號(hào)，左頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)減1，右頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)加1。可匹配邊變?yōu)閟1-p3，s2-p3，s1-p1(新增)。即發(fā)生沖突時(shí)，有n個(gè)左頂點(diǎn)和n-1個(gè)右頂點(diǎn)參與，通過(guò)更新標(biāo)號(hào)，整體能效下降(成本增加)了αl(n-(n-1))。

4)從s2出發(fā)進(jìn)行匹配，s2-p1，匹配成功(圖3(c))。

5)從s3出發(fā)進(jìn)行匹配，沒(méi)有符合與s3標(biāo)號(hào)之和等于邊權(quán)重的頂點(diǎn)，匹配失敗。

6)為s3更新標(biāo)號(hào)，并從s3出發(fā)進(jìn)行匹配，發(fā)生沖突，匹配失敗(圖3(d))。

7)為參與沖突的頂點(diǎn)s1、s2、s3、p1、p3更新標(biāo)號(hào)，可匹配邊變?yōu)閟1-p1、s1-p3、s2-p1、s2-p2、s2-p3、s3-p3(圖3(e))。用匈牙利算法取目前相等子圖的最大匹配，該最大匹配已經(jīng)是完美匹配，算法結(jié)束(圖3(f))。

可見(jiàn)，每發(fā)生一次沖突整體能效將降低一次，但由于每次降低的能效值都是最低值，整體仍是最優(yōu)匹配。KM算法的核心思想是首先為頂點(diǎn)匹配最優(yōu)邊，發(fā)生沖突時(shí)以降低整體能效為代價(jià)解決沖突，每次降低的能效均是最小值，再利用匈牙利算法完成最大匹配，最終獲得整體能效最高的匹配方案。

2.3 星座部署算法流程

星座部署算法可由地面或主星執(zhí)行，解算最佳部署方式后回傳部署指令至各星。以主星集中控制為例，星座啟動(dòng)部署后，主星收集從星軌道要素并確定參考軌道與參考相位。隨后主星依據(jù)參考軌道與當(dāng)前從星位置信息確定各從星停泊軌道的選擇范圍，并解算各從星到達(dá)各目標(biāo)位置所需的燃料成本。最后利用KM優(yōu)化算法對(duì)各從星與目標(biāo)位置進(jìn)行優(yōu)化匹配，同時(shí)確定停泊軌道高度并將信息回傳至從星。從星收到指令后執(zhí)行軌道機(jī)動(dòng)，達(dá)到停泊軌道后自由飛行一段時(shí)間并返回目標(biāo)軌道。最后，主星收集當(dāng)前各從星升交點(diǎn)赤經(jīng)信息并以均值為目標(biāo)升交點(diǎn)赤經(jīng)，解算從星升交點(diǎn)赤經(jīng)修正量并回傳，從星執(zhí)行升交點(diǎn)赤經(jīng)修正后，星座部署完成。優(yōu)化后的星座部署算法流程見(jiàn)圖4。

圖4 星座優(yōu)化部署算法流程圖

3 仿真校驗(yàn)

初始時(shí)刻，10個(gè)衛(wèi)星在軌道高度500 km±5 km，升交點(diǎn)赤經(jīng)0°±0.5°，緯度輻角0°±10°的空間內(nèi)隨機(jī)分布，軌道偏心率為0，傾角為30°。隨機(jī)生成各星初始軌道要素，見(jiàn)表1。其中以緯度輻角u代替近地點(diǎn)輻角和平近點(diǎn)角來(lái)表示圓軌道衛(wèi)星相位。部署任務(wù)的約束如下：

表1 衛(wèi)星初始軌道要素

1)構(gòu)型約束：各星同平面且相位均勻分布。

2)時(shí)間約束：軌道高度部署和相位部署任務(wù)在20天內(nèi)完成。

3)軌道調(diào)整量約束：各星原始軌道高度與停泊軌道高度差小于10 km。

3.1 傳統(tǒng)部署方法計(jì)算結(jié)果

傳統(tǒng)部署過(guò)程利用軌道高度差實(shí)現(xiàn)相位分離時(shí)，通常忽略衛(wèi)星初始位置差異[19][25]。為公平對(duì)比，本文保留衛(wèi)星高度差異。按逆時(shí)針順序?qū)δ繕?biāo)位置依次命名為1～10號(hào)，如圖5(a)所示，按構(gòu)型約束相鄰目標(biāo)位置相位相差36°。傳統(tǒng)部署過(guò)程如下：

1)根據(jù)軌道高度將衛(wèi)星分為兩組，軌道較低的一半衛(wèi)星分配1～5號(hào)位置，將執(zhí)行降軌機(jī)動(dòng)；軌道較高一半衛(wèi)星分配6～10號(hào)位置，將執(zhí)行抬軌機(jī)動(dòng)，如圖5(b)所示。以軌道高度居中的兩星(S5、S6)的軌道高度均值作為目標(biāo)軌道高度。

圖5 衛(wèi)星與目標(biāo)位置的未優(yōu)化匹配結(jié)果

2)計(jì)算各星到達(dá)各自目標(biāo)緯度輻角需要走過(guò)的相位角。根據(jù)時(shí)間約束和軌道高度調(diào)整量約束計(jì)算各星對(duì)應(yīng)的停泊軌道高度，執(zhí)行軌道機(jī)動(dòng)并停泊。

3)全部衛(wèi)星返回目標(biāo)軌道后，用升交點(diǎn)赤經(jīng)直接修正法將各星升交點(diǎn)赤經(jīng)修正至當(dāng)前升交點(diǎn)赤經(jīng)中心位置。

表2顯示了采用傳統(tǒng)部署方法得到的各星停泊軌道高度、返回目標(biāo)軌道后需要修正的升交點(diǎn)赤經(jīng)余量和總?cè)己摹．?dāng)部署時(shí)間約束(不包括升交點(diǎn)赤經(jīng)修正)為20天時(shí)，采用傳統(tǒng)方法部署得到的各星平均燃耗為21.620 m/s，燃耗方差為367.709 m2/s2。

表2 衛(wèi)星目標(biāo)位置、停泊軌道高度與燃料預(yù)算-未優(yōu)化

3.2 基于KM的部署優(yōu)化算法優(yōu)化結(jié)果

運(yùn)用本文提出的部署優(yōu)化算法得到各星與目標(biāo)位置的匹配關(guān)系如圖6(b)所示。各星停泊軌道高度優(yōu)化結(jié)果、返回目標(biāo)軌道后需要修正的升交點(diǎn)赤經(jīng)余以及總?cè)己牧恳?jiàn)表3。當(dāng)部署時(shí)間約束(不包括升交點(diǎn)赤經(jīng)修正)為20天時(shí)，采用優(yōu)化部署算法得到的各星平均燃耗為9.034 m/s，燃耗方差為5.594 m2/s2。對(duì)比傳統(tǒng)部署方法結(jié)果(平均燃耗21.620 m/s，方差367.709 m2/s2)可見(jiàn)，當(dāng)構(gòu)型約束、部署時(shí)間約束與軌道調(diào)整量約束相同的情況下，本文提出的優(yōu)化算法顯著優(yōu)于未經(jīng)優(yōu)化的傳統(tǒng)部署方案，優(yōu)化后的結(jié)果在降低各星燃耗的同時(shí)，大大提高各星燃耗量的均衡性。

圖6 衛(wèi)星與目標(biāo)位置的優(yōu)化匹配結(jié)果

3.3 KM的部署優(yōu)化數(shù)值仿真

表3 衛(wèi)星目標(biāo)位置、停泊軌道高度優(yōu)化結(jié)果與燃料預(yù)算

圖7 半長(zhǎng)軸部署效果

圖8 緯度輻角部署效果

圖9 升交點(diǎn)赤經(jīng)部署效果

表4 衛(wèi)星燃料預(yù)算仿真結(jié)果

圖10 S1星推力施加情況

3.4 部署優(yōu)化算法適用范圍討論

顯然，依靠停泊階段J2攝動(dòng)能夠修正的升交點(diǎn)赤經(jīng)量是有限的，且與停泊軌道高度、傾角、偏心率、停泊時(shí)間和緯度輻角調(diào)整量有關(guān)，即：

(32)

圖11 升交點(diǎn)赤經(jīng)修正量與傾角、緯度輻角調(diào)整量的關(guān)系

當(dāng)依靠停泊階段J2攝動(dòng)差修正的升交點(diǎn)赤經(jīng)量恰好等于升交點(diǎn)赤經(jīng)全部待調(diào)量時(shí)，衛(wèi)星返回目標(biāo)軌道時(shí)的升交點(diǎn)赤經(jīng)恰為目標(biāo)升交點(diǎn)赤經(jīng)，無(wú)需花費(fèi)額外燃料用于升交點(diǎn)赤經(jīng)修正，此時(shí)算法效益實(shí)現(xiàn)最大化。然而實(shí)際中難以遇到幾個(gè)參數(shù)完美匹配的情況，只能借此修正部分升交點(diǎn)赤經(jīng)。用升交點(diǎn)赤經(jīng)直接修正燃料ΔVΩ在衛(wèi)星總?cè)己摩中的占比定義優(yōu)化算法效率：

(33)

即借助J2攝動(dòng)修正的升交點(diǎn)赤經(jīng)量越多，則升交點(diǎn)赤經(jīng)余量越少，ΔVΩ在ΔV中占比越小，優(yōu)化算法效率k越高。顯然k與軌道參數(shù)和緯度輻角調(diào)整量直接相關(guān)。500 km圓軌道，停泊時(shí)間為20天時(shí)，依據(jù)式(14)、(16)、(33)可繪制不同傾角下優(yōu)化算法效率與初始升交點(diǎn)赤經(jīng)分布范圍的關(guān)系，如圖12所示。可見(jiàn)該優(yōu)化算法更適用于低傾角軌道以及緯度輻角調(diào)整量較大的情形。若以0.5為算法效率臨界值，則該算法針對(duì)初始升交點(diǎn)赤經(jīng)在±0.7°范圍內(nèi)分布的星群有較為突出的表現(xiàn)。具體場(chǎng)景下仍需根據(jù)軌道參數(shù)和緯度輻角調(diào)整量，參考式(32～33)評(píng)估適用性。

圖12 優(yōu)化算法效率與傾角、初始升交點(diǎn)赤經(jīng)分布的關(guān)系

4 結(jié) 論

針對(duì)異面至同面的低軌微納衛(wèi)星星座部署問(wèn)題，本文提出一種基于KM匹配的星座部署優(yōu)化方法。利用J2攝動(dòng)下的停泊階段相對(duì)漂移來(lái)補(bǔ)償初始位置差異，引入KM算法實(shí)現(xiàn)停泊軌道和目標(biāo)位置的優(yōu)化，在相位部署的同時(shí)盡量修正升交點(diǎn)赤經(jīng)。采用N次有限常值推力實(shí)現(xiàn)軌道機(jī)動(dòng)，適用于推力受限的微納衛(wèi)星。在相同時(shí)間、目標(biāo)構(gòu)型和軌道高度調(diào)整量約束下，優(yōu)化部署算法可將最小燃耗均值和方差由21.62 m/s、367.71 m2/s2降至9.03 m/s、5.59 m2/s2。最后對(duì)優(yōu)化算法適用范圍做出討論。該方法彌補(bǔ)了傳統(tǒng)部署方法對(duì)衛(wèi)星初始位置差異的忽略問(wèn)題，算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，能夠快速給出優(yōu)化結(jié)果，適用于在軌實(shí)時(shí)規(guī)劃，也可以擴(kuò)展到星座變構(gòu)或重構(gòu)等應(yīng)用場(chǎng)景中。