一道2021年模擬考試橢圓試題的探究

首都師范大學附屬回龍觀育新學校(102208)李路軍 李洪景

1 試題呈現

題目(海淀區2020-2021 高三期末練習19 題)橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,E是橢圓C上一點,且|F1F2|=2,|EF1|+|EF2|=4.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;(答案:=1)

(Ⅱ)M,N是y軸上的兩個動點(點M與點E位于x軸的兩側),∠MF1N= ∠MEN= 90°,直線EM交x軸于點P,求的值.

2 問題(Ⅱ)的解法探究

解法一設M(0,m),N(0,n),E(x0,y0).又F1(-1,0),F2(1,0).因為∠MF1N= 90°, 所以= 0, 即(1,m)·(1,n)= 1 +mn= 0.所以mn=-1.又因為∠MEN=90°,所以=0,即(x0,y0-m)·(x0,y0-n)=-m)y0-1=0.又因為=1,所以4--m)y0-1 = 0.即m)y0-3 = 0.所以y0=或y0=-3m.因為點M與點E位于x軸的兩側,即y0與m異號,所以y0=-3m.所以

解法二設MN中點為T(0,t),E(x0,y0).因∠MF1N=∠MEN=90°,則|TF1|=|TE|.即+2ty0-3=0.所以y0= 3(-t±因為點M與點E位于x軸的兩側, 所以yM=t ?所以

解法三如圖1,設E(x0,y0),由題意可知, 點E不是橢圓的頂點, 設NE的方程為y -y0=k(x-x0)(設k ＜0),得N(0,y0-kx0); 因為∠MEN= 90°, 則直線ME的方程為y - y0=得M(0,y0+又因為∠MF1N=90°;所以得

圖1

因為設=t(t為常數), 即=t, 得k=代入(1)式,化簡得= 1, 所以t=-3.則

3 題目一般化

性質1橢圓C:= 1(a ＞ b ＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,E是橢圓C上一點,M,N是y軸上的兩個動點(點M與點E位于x軸的兩側),∠MF1N= ∠MEN= 90°, 直線EM交x軸于點P, 則

證明設E(x0,y0),由題意可知,點E非橢圓頂點,假設E在橢圓第一象限內, 設NE方程為y -y0=k(x-x0),得N(0,y0- kx0); 因為∠MEN= 90°, 則直線ME方程為y - y0=(x - x0), 得M(0,y0+又因為∠MF1N=90°;所以=0,得

性質2橢圓C:= 1(a ＞ b ＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,E是橢圓C上一點,M,N是y軸上的兩個動點(點M與點E位于x軸的兩側),∠MF1N=∠MEN=90°,則NE為橢圓切線.

證明由性質1 證明知kOE·kNE=根據橢圓第三定義,則NE為橢圓切線.

性質3橢圓= 1(a ＞b ＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,E是橢圓C上一點, 過E的切線交y軸于點N, 過E且與切線垂直的直線交y軸于M, 則∠MF1N=90°.

證明設E(x0,y0), 則過點E的切線方程為,得過點E且與切線垂直的直線方程為,得=c2-c2=0.則∠MF1N=90°.

性質4橢圓C:1(a ＞ b ＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,E是橢圓C上一點,M,N是y軸上的兩個動點(點M與點E位于x軸的兩側),∠MF1N= ∠MEN= 90°, 直線EM交NF1于點A,直線F1M交NE于點B,直線EF2交y軸于點Q,如圖2,則直線AB與x軸平行,且A,B,Q三點共線.

圖2

證明因為∠MF1N= ∠MEN= 90°,所以點M為三角形ABN的垂心, 則直線AB與x軸平行.設E(x0,y0),根據上述證明可知,直線EF2的方程為y=(x-c),得yQ=下面只需證明yQ=yA;直線NF1、EM的方程分別為= 1 與聯立消元得yA=只需證其可化為=1.得證.

4 類比到雙曲線

雙曲線C:=1 的左、右焦點分別為F1,F2,E是雙曲線C上一點.如圖3.

圖3

性質5M,N是y軸上的兩個動點(點M與點E位于x軸的兩側),∠MF1N= ∠MEN= 90°,直線EM交x軸于點P,則b2.

性質6M,N是y軸上的兩個動點(點M與點E位于x軸的兩側),∠MF1N=∠MEN=90°,則ME為雙曲線切線.

性質7E是雙曲線C上一點,M,N是y軸上的兩個動點(點M與點E位于x軸的兩側),∠MF1N= ∠MEN=90°,直線EM交NF1于點A,直線F1M交NE于點B,直線EF2交y軸于點Q,如圖4.則直線AB與x軸平行,且A,B,Q三點共線.

圖4

性質8過E的切線交y軸于點M,過E且與切線垂直的直線交y軸于N,則∠MF1N=90°.

5 平面幾何背景

實際上,如果去掉橢圓或雙曲線,對于一個三角形的垂心有如下相關性質.如圖5,ΔABC中,其垂心為M,三個垂足分別是D,E,F,如圖.則點F關于AD的對稱點P在直線DE上.

證明以BC、AD所在直線分別為x,y軸,D為坐標原點建立平面直角坐標系, 如圖6.設B(-b,0),C(c,0),A(0,a), 利用直線AC與BE方程, 得點同理得點點F關于AD的對稱點可得kDE=kDP, 故三點共線;

圖6

同理點F關于BE的對稱點在直線DE上.點D關于BE的對稱點在直線EF上.即對于任一三角形,一條邊上的高線的垂足關于高的對稱點與另外兩個垂足共線.