明概念挖性質探本源
——以一道三校聯考函數試題的本源及其變式為例

廣州市鐵一中學(510600)何重飛

函數是貫穿高中數學課程的一條主線,函數試題作為綜合考查學生數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等素養的重要載體, 是高考數學必考內容之一, 而函數性質(單調性、奇偶性、對稱性、周期性)是歷年高考考查的重中之重,其中利用函數單調性、奇偶性、對稱性求范圍等綜合性問題更是高考的常客.在“一核四層四翼”新高考評價體系下,高考考查能力更考查素養,評價理念上也逐漸由傳統的“知識立意、能力立意”向“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合評價轉變,近幾年高考考查函數性質這一考點的試題基本遵循“穩中有變、立足基礎、突出能力、銳意求新”的命題指導思想,預計今后的命題將延續這一原則.

下面筆者以一道高三三校聯考函數小壓軸試題為例,談談該試題的設計思路、考查意圖、解法探究及其本源和變式等,并就函數性質這一考點內容的復習備考給出幾點思考和建議,希望可以得到同行們的批評指正.

一、試題及評析

題目(2021 屆高三理科三校(廣鐵一中、廣大附中、廣外)期中聯考第16 題)已知函數f(x)=ex+ex-1+若f(a)≥e++3,則a的取值范圍是____.

評析這是一道題干給出具體函數解析式,求含參數的函數不等式中參數的取值范圍問題,題干簡潔明了,但內涵豐富,是一道難得考查能力更考查素養的好題.函數看似復雜,其實是由四個我們熟知的指數函數和一個常數相加組合而成, 其解析式結構清晰優美, 具有一定的對稱性(需要挖掘).如果直接將參數a帶入函數解析式再解題干所給的條件不等式將會得到一個超越不等式,求解的難度非常大,想必這也不是命題者的設計初衷.因此,解決這個問題應該另辟蹊徑,仔細分析題干,觀察函數構造特點,聯想相關函數性質的定義, 從函數本身的性質出發, 找尋突破口, 回歸本質,探究其本源.

解答解答本題之前,我們先來回顧函數(本文出現的函數都假定為連續的)的一個定義和性質:

定義設函數f(x)的定義域為I, 若對?x ∈I, 都有f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x)), 則稱f(x)是以直線x=a為對稱軸的軸對稱函數, 反之, 若f(x)是以直線x=a為對稱軸的軸對稱函數, 則對?x ∈I, 都有f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x));特別的,當a=0時,f(x)為偶函數,此時直線x= 0(y軸)為函數f(x)的對稱軸.

性質1設函數f(x)的定義域為I, 若f(x)是以直線x=a為對稱軸的軸對稱函數, 且函數f(x)在對稱軸右側定義域內單調遞增(遞減),則f(x1)≤f(x2)?|x1-a|≤|x2-a|(|x1-a|≥|x2-a|)(x1,x2∈I).

現在研究題干中函數f(x)的奇偶性、對稱性及其單調性.由題意知函數f(x)的定義域為R,易知f(x)為非奇非偶函數,但注意到f(1-x)=e1-x+e-x++1=f(x), 故由定義知函數f(x)關于直線x=對稱; 由于f′(x)=故當x≥時,f′(x)≥0,此時函數f(x)單調遞增, 再由對稱性知函數f(x)在上單調遞減.觀察到f(0)= e++3, 所以題干所給條件不等式等價于f(a)≥f(0), 故由函數性質知解得a的范圍為(-∞,0]∪[1,+∞).

反思通過上述解答過程可以發現,本題考查內容較多,綜合性較強,對考生能力及素養要求較高.上述解答過程中的“注意到”、“觀察到”對于考生來講是比較難的,這也是本題的難點所在,如何突破這一難點,挖掘出函數所具有的對稱性質,考生除了要具備敏銳的觀察力,熟悉函數的有關定義,還要在平時訓練中善于總結函數的一些基本性質(單調性、奇偶性、對稱性、周期性)及其數學表征形式.解答中的“注意到”并不是憑空想象出來的,而是通過分析函數的構造特點,發現其背后隱含的對稱性質得到的.

二、試題本源探究及變式

1.問題再探究

我們從函數的自身結構知函數f(x)=+ 1, 若假設函數g(x)= ex+則函數f(x)=g(x)+g(x-1)+1,易知g(x)為R 上的偶函數,其對稱軸為直線x=0(y軸),因為函數g(x-1)圖像是由函數g(x)圖像整體向右平移一個單位長度得到,故g(x-1)是以直線x= 1 為對稱軸的軸對稱函數.分析至此,我們自然會想,兩個形狀一樣,對稱軸不同的兩個軸對稱函數之和是否還為軸對稱函數?

帶著上述問題, 我們不妨假設存在實數m, 使得f(2m-x)=f(x).因為f(x)=g(x)+g(x-1)+1,且g(x)為偶函數,即有g(-x)=g(x),又f(2m-x)=g(2m-x)+g(2m-1-x)+1=f(x),可得(此方程無解), 或因此有f(1- x)=f(x), 故f(x)是以直線x=為對稱軸的軸對稱函數.

事實上,對于一般情形,筆者研究發現也有類似性質

性質2設g(x)為偶函數,則f(x)=g(x-a)+g(xb)+c(a,b,c ∈R)是以直線x=為對稱軸的軸對稱函數.

證明因為f(x)=g(x-a)+g(x-b)+c,g(x)為偶函數,故g(x-a)=g(a-x),g(x-b)=g(b-x),又因為f(a+b-x)=g(a+b-x-a)+g(a+b-x-b)+c=g(a-x)+g(b-x)+c=f(x),故由定義知f(x)是以直線為對稱軸的軸對稱函數.

2、試題的本源與變式

從近幾年的高考試題來看,可以發現利用函數對稱性求解含參不等式范圍問題是一個高頻考點,我們可以以本題為例開展變式題組教學,從本題的源頭出發,通過變式讓學生從中體會函數這一性質的本質,掌握這一考點的考查方式及其變化規律.

變式1題干簡潔明了,直接了當考查利用函數單調性性質求范圍問題.(注意定義域)

題1(母題1)已知f(x)是定義在I上且為單調遞增(遞減)的函數,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(直接考查函數單調性性質)

變式2題干給出具體函數(能通過推理比如求導判斷其單調性),先要判斷函數單調性,再根據性質去求范圍.

題組2(1)已知函數f(x)= lnx,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(注意定義域)

(2)已知函數f(x)=則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(以分段函數形式考查函數單調性性質)

變式3題干中給出具體函數(有些是基本初等函數或其組合,可直接觀察單調性,有些需求導來判斷單調性),對條件不等式進行改造,使其一邊為常數.(找到常數作為函數的象所對應的原象是關鍵)

題組3(1)已知函數f(x)=則滿足f(1-2x)≤的x的取值范圍是_____.(對應的函數的原象即f(-1)=是解題的關鍵)

(2)已知函數f(x)=xex,則滿足f(3+2x)≥f(x2)的x的取值范圍是____.(右邊x2≥0 是隱含信息也是關鍵)

變式4題干給出抽象函數,給出一些可以推理判斷函數單調性的性質命題或條件,再行求解范圍.

題組4(1)已知函數f(x)的定義域為I,且對?x ∈I,都有f′(x)≥0,則滿足f(1-2x)≥f(x)的x的取值范圍是____.

(2)已知函數f(x)的定義域為I, 對?x1,x2∈I且x1/=x2,都有＜0(＞0)(或(x1-x2)(f(x1)-f(x2))＜0(＞0)),則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

(3)已知函數f(x)的定義域為I(a,b ∈I且a ＜b),且f(a)＜ f(b), 若對?x1,x2∈ I且x1/=x2, 都有f(x1)/=f(x2), 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(題干中給出單調性等價命題)

變式5題干中函數增加對稱軸屬性(定義、性質或具體函數本身具有對稱軸),結合單調性再求范圍.

題組5(1)(母題2)已知f(x)是定義域為I的偶函數, 且在y軸右側定義域內單調遞增(遞減), 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

(2)已知函數f(x)的定義域為I, 若對?x ∈ I, 都有f(a+x)=f(a - x)( 或f(x)=f(2a - x)), 且函數f(x)在數軸點a右側定義域內單調遞增(遞減), 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

(3)已知函數f(x)的定義域為I,若f(x+a)是偶函數,且函數f(x)在數軸點a右側定義域內單調遞增(遞減),則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(函數f(x)圖像關于x=a對稱)

(4)已知函數f(x)= ex++x2+a, 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(函數f(x)為偶函數且求導易知函數在y軸左側遞減,右側遞增.)

(5)已知函數f(x)= ln(1+|x-1|)-則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(設函數g(x)=ln(1+|x|)-易知函數g(x)為偶函數且函數在y軸右側遞增,且f(x)=g(x-1),所以直線x= 1 是函數f(x)對稱軸,在對稱軸左側遞減右側遞增)

(6)已知函數f(x)= ex-2++(x-1)2+1, 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(設函數g(x)=ex-1++x2+1,易知函數g(x)為偶函數且函數在y軸右側遞增,且f(x)=g(x+1),所以直線x=-1 是函數f(x)對稱軸,在對稱軸左側遞減右側遞增)

(7)已知函數f(x)=ax2-2ax+b(a/=0)無最小值,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(題干隱含拋物線開口向下,在對稱軸左側遞增右側遞減)

(8)已知函數f(x)=g(x-2a)+g(x-2b)+c的定義域為I,且g(x)為偶函數,若函數f(x)在數軸點a+b右側定義域內單調遞增(遞減),則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(性質2 的應用)

(9)已知函數f(x)= 2x2-2x+|x|+|x-1|+3, 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(整理可得函數f(x)= (x2+|x|)+ ((x-1)2+|x-1|)+ 2 =g(x)+g(x -1)+ 2, 其中g(x)=x2+|x|, 利用性質2求解)

(10)(本文開篇討論的原題)已知函數f(x)= ex+ex-1+e-x+e1-x+1,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

變式6利用兩個形狀一樣,對稱軸(對稱中心)不同的兩個函數之積構成的新函數所具有的對稱軸屬性(性質的證明留給感興趣的讀者),結合單調性求解范圍.

題組6(1)已知函數f(x)=k·g(x-2a)·g(x-2b)+t的定義域為I, 且g(x)為偶函數(奇函數), 若函數f(x)在數軸點a+b右側定義域內單調遞增(遞減), 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

(2)已知函數f(x)=2x4-4x3+6x2-4x+5,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(分析整理可得函數f(x)=2(x2+1)[(x-1)2+1]+1=2·g(x)·g(x-1)+1,其中g(x)=x2+1 為偶函數且滿足(1)中的函數構造,故其對稱軸為直線x=

(3)已知函數f(x)= 2(ex -e-x)(ex-1-e1-x)+ 1,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(設g(x)=ex-e-x,知其為奇函數,則f(x)=2g(x)·g(x-1)+1且其對稱軸為x=

變式7題干中增加函數對稱中心屬性,改變題設中的條件不等式,再利用函數單調性求范圍問題.

題組7(1)已知f(x)是定義域為I,對稱中心為(a,b)的中心對稱函數(或對?x ∈I,都有f(a+x)+f(a-x)=2b(或f(2a-x)+f(x)= 2b)),且在數軸點a右側定義域內單調遞增(遞減),則滿足f(t2)+f(2t)＜2b(＞2b)的t的取值范圍是____.(這一重要性質的證明留給感興趣的讀者)

(2)已知函數f(x)=+x+ 1, 則滿足f(a2)+f(a)≤2 的a的取值范圍是____.(注意定義域,易知(0,1)是函數f(x)的對稱中心, 且求導可知函數在(0,1)單增.)

(3)已知函數f(x)=+2x+1,則滿足f(a2)+f(2a)≥3 的a的取值范圍是____.(易知(0,是函數f(x)的對稱中心,求導可知函數在(0,+∞)單增.)

變式8考查的本質一致,引進參數,通過推理分析求參數范圍,或者改變提問方式.

題組8(1)已知函數f(x)=(a ＞0 且a /= 1), 若不等式f(ax2+bx+c)＞0 的解集為(1,2), 且b ∈(-5,1),則a的取值范圍是____.

(2)已知函數f(x)=ln(3x++1,若對m ＞0,都有f(a)≤m+-5,則a的取值范圍是____.

(3)已知函數f(x)= 21-|1-x|+1,若a=f(20.3),b=f(lg 2),c=f(log0.53),則a,b,c的大小關系是____.

三、教學啟示及備考建議

1、熟讀課標、研究高考、把握方向

課程標準是服務教學,指導教學的綱領性文件,熟讀課標是一線教師的基本要求,我們需明確課標中對函數教學的內容和要求.在“一核四層四翼”新高考評價體系下,要認真研究高考,做真題、研真題、用真題,歷年高考真題為我們提供了高考考查的內容、范圍、力度和要求,研究真題我們才能明確考試方向,掌握命題規律,才能有的放矢,把握備考方向,提高備考效率.

2、回歸教材、重視概念、注重基礎高考命題源于教材又高于教材,許多高考試題的原型就是教材例習題的改編,因此教師們在這一考點的備考復習教學中須立足教材,吃透課本中的典型例習題,落實基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗.《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出:“高中數學課程應該返璞歸真,努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.”數學概念是數學的本質,無概念則無規則可言,對于相對抽象的函數及其性質,概念更是至關重要.備考時應該著重強調函數的性質(單調性、奇偶性、對稱性、周期性)的基本概念及其數學表征形式的推理論證,引導學生掌握奇偶函數以及對稱函數的一些基本構造原理,加強學生對這一考點基礎知識的訓練.解題教學時,應該引導學生回顧概念的基礎上對題目信息進行加工整理和挖掘,重視解決這一類問題經常用到的數形結合、轉化與劃歸、函數與方程等數學思想方法的應用,培養學生分析問題和解決問題的能力.

3、精選例題、變式訓練、提高效率在復習備考中,各類試題試卷非常多,教師們應該在明確考綱、熟悉高考真題的基礎上,依綱精心選擇適合本班學生的、恰當的、質量高的試題試卷讓學生加以學習與訓練,避開偏題和怪題,提高備考效率.函數試題綜合性強,解法靈活,抽象思維要求較高,在備考教學中適當開展“追根溯源、變式訓練、題組教學”可有效的揭示解題規律,提高學生數學抽象素養,培養學生思維的靈活性和創造性,從而達到復習的目的和效果.